- 29 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/06/28(日) 18:56:12 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
g と h を局所μ-可積分(過去スレ010の504)な実数値関数とする。
このとき次の等式が成り立つ。
sup(gμ, hμ) = sup(g, h)μ
inf(gμ, hμ) = inf(g, h)μ
証明
>>27より、sup(gμ, hμ) = (gμ + hμ + |(g - h)μ|)/2
>>211より、この右辺は
((g + h)μ + |g - h|μ)/2 = (g + h + |g - h|)μ/2
= sup(g, h)μ
に等しい。
同様に、>>28より、
inf(gμ, hμ) = (gμ + hμ - |(g - h)μ|)/2
>>211より、この右辺は
((g + h)μ - |g - h|μ)/2 = (g + h - |g - h|)μ/2
= inf(g, h)μ
に等しい。
証明終
