- 261 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/07/04(土) 14:14:24 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度とする。
Z と Y を X の局所コンパクトな部分空間で Z ⊂ Y とする。
このとき、μ|Z = (μ|Y)|Z である。
証明
g ∈ K(Z, C) に対して、Z では g に一致し、Y - Z では 0 となる
Y 上の関数を g' とする。
Y では g' に一致し、X - Y では 0 となる X 上の関数を g'' とする。
μ|Z の定義(過去スレ011の63)より、∫ g d(μ|Z) = ∫ g'' dμ
(μ|Y)|Z の定義より、∫ g d((μ|Y)|Z) = ∫ g' d(μ|Y)
一方、>>250より、∫ g' d(μ|Y) = ∫ g'' dμ
g'' は コンパクト集合の外で 0 だからμ可積分である。
よって、∫ g'' dμ は(本質的ではない)普通の積分である。
以上から、∫ g d(μ|Z) = ∫ g d((μ|Y)|Z)
よって、μ|Z = (μ|Y)|Z である。
証明終
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