代数的整数論 012

213 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/07/02(木) 14:25:19 ] 命題 X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。 写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。 ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。 F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。 f を X 上で定義され、F または [-∞, +∞] に値をとる関数とする。 f(π(x))ψ(x) が本質的にμ可積分であるとき、 f は本質的にν可積分であり、 ∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。 証明 Φ = { K ⊂ X; K はコンパクトで ψ は K 上で連続 } とおく。 過去スレ011の90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族 (μ_i), i ∈ I が 存在し、μ = Σμ_i となる。 ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I はΦに属し、互いに交わらない局所可算な族である。 各 i に対して ν_i を (μ_i)適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度とする。 任意の g ∈ K+(Y, R) に対して ∫ g dν = ∫ (gπ)ψ dμ = Σ ∫ (gπ)ψ dμ_i = Σ ∫ g dν_i よって、ν = Σν_i となる。 過去スレ011の669より、(fπ)ψ は各 i に対して本質的に(μ_i)-可積分であり、 族 (∫ (fπ)ψ dμ_i), i ∈ I は絶対総和可能であり、 ∫ (fπ)ψ dμ = Σ∫(fπ)ψ dμ_i となる。 >>212より、各 i に対して f は(ν_i)-可積分であり、 ∫ f dν_i = ∫ (fπ)ψ dμ_i である。 過去スレ011の671より、f は本質的にν可積分であり、 族 (∫ f dν_i), i ∈ I は絶対総和可能であり、 ∫ f dν = Σ∫ f dν_i である。 よって、∫ f dν = Σ∫ f dν_i = Σ∫ (fπ)ψ dμ_i = ∫ (fπ)ψ dμ 証明終

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