- 212 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/07/02(木) 14:12:01 ]
- 命題
X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
さらに、Supp(μ) はコンパクトで、ψ はその上で有界であるとする。
ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f を X 上で定義され、F または [-∞, +∞] に値をとる関数とする。
このとき、f がν可積分であるためには f(π(x))ψ(x) がμ可積分であることが、
必要十分である。
このとき、∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x))ψ(x) dμ(x) である。
証明
Supp(μ) がコンパクトであるから μ(X) ＜ +∞ である。
>>200より、∫^e 1 dν(y) = ∫^e 1 dμ(x) である。
よって、∫^e 1 dν(y) ＜ +∞ である。
よって、sup {ν(L) ; L は Y のコンパクト集合全体を動く} ＜ +∞ である。
よって、ν(Y) ＜ +∞ である。
f がν可積分であるとする。
>>209より、f(π(x))ψ(x) は本質的にμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x))ψ(x) dμ(x) であるが、
μ(X) ＜ +∞ かつ ψ はSupp(μ)上で有界であるから
f(π(x))ψ(x) はμ可積分である。
逆に f(π(x))ψ(x) がμ可積分であるとする。
f(π(x)) = (f(π(x))ψ(x))/ψ(x) は S で可測である。
よって、>>206より、f はν可測である。
>>200より、∫^e |f(y)| dν(y) = ∫^e |f(π(x))|ψ(x) dμ(x) ＜ +∞ である。
よって、過去スレ011の363より、f は本質的にν可積分である。
ν(Y) ＜ +∞ であるから f はν可積分である。
よって、>>209より、∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x))ψ(x) dμ(x) である。
証明終
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