命題 X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。 写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。 ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。 S = {x ∈ X; ψ(x) ＞ 0} とおく。 f を Y から位相空間 G への写像で、fπ は S 上でμ可測であるとする。 このとき、f はν可測である。
証明 Φ = { L ; L は Y のコンパクト集合で f の L への制限は連続 } とおく。 N を任意の L ∈ Φ に対し N ∩ L がν零集合となるような Y の部分集合とする。
Ψ = { K; K は S のコンパクト集合で π および fπ の K への制限は連続 } とおく。 過去スレ011の122より、Φ は S においてμ密である。
任意の K ∈ Ψ をとる。 π の K への制限 π|K : K → π(K) を考える。 fπ の K への制限は連続であるから、過去スレ011の808より、f の π(K) への制限は 連続である。よって、π(K) ∈ Φ である。 仮定より、N ∩ π(K) はν零集合である。 よって、>>205より、π^(-1)(N ∩ π(K)) ∩ S は局所μ零集合である。 よって、K ∩ π^(-1)(N) ⊂ π^(-1)(N ∩ π(K)) ∩ S は局所μ零集合であるが、 K はコンパクトなので K ∩ π^(-1)(N) はμ零集合である。 過去スレ011の50より、π^(-1)(N) ∩ S は局所μ零集合である。 よって、>>205より、N は局所ν零集合である。 よって、過去スレ011の50より、Φ はν密である。 よって、過去スレ008の177より、f はν可測である。 証明終
