命題 X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。 写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。 ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。 f を Y から位相空間 G への写像で、ν可測であるとする。 このとき、fπ はμ可測である。
証明 π はμ可測であるから、X の任意のコンパクト集合 M と、任意の実数 ε ＞ 0 に対して、K ⊂ M で μ(M - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K があり、 π の K への制限が連続になる。
π(K) はコンパクトであるから、Y のν零集合 N と Y のコンパクト集合の 列 (L_n), n = 1, 2, . . . で、f の各 L_n への制限が連続になるような ものが存在し、N と (L_n) は π(K) の分割になる。
π^(-1)(N) ∩ K と (π^(-1)(L_n) ∩ K), n = 1, 2, . . . は K の分割である。 >>205より、π^(-1)(N) は局所μ零集合であるから、π^(-1)(N) ∩ K は μ零集合である。 π^(-1)(L_n) ∩ K はコンパクトで、fπ の π^(-1)(L_n) ∩ K への制限は 連続である。
よって、P ⊂ K で μ(K - P) ＜ ε となるコンパクトな P で fπ の P への制限が連続になるものが存在する。 P ⊂ M で μ(M - P) = μ((M - K) ∪ (K - P)) ＜ 2ε であるから fπ は X 上でμ可測である。 証明終
