代数的整数論 012

205 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/07/02(木) 11:09:41 ] 命題 X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。 写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。 ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。 S = {x ∈ X; ψ(x) ＞ 0} とおく。 Y の部分集合 N が局所ν零集合であるためには、 π^(-1)(N) ∩ S が局所μ零集合であることが必要十分である。 証明 >>200より、 ∫^e χ_N(y) dν(y) = ∫^e χ_N(π(x))ψ(x) dμ(x) である。 x ∈ π^(-1)(N) ∩ S のとき、χ_N(π(x))ψ(x) = ψ(x) ＞ 0 x ∈ X - (π^(-1)(N) ∩ S) のとき、χ_N(π(x))ψ(x) = 0 である。 N が局所ν零集合であれば、∫^e χ_N(y) dν(y) = 0 である。 よって、∫^e χ_N(π(x))ψ(x) dμ(x) = 0 となる。 よって、上記から χ_N(π(x))ψ(x) は局所μ^-a.e. に 0 である。 よって、π^(-1)(N) ∩ S は、局所μ零集合である。 逆に、π^(-1)(N) ∩ S が局所μ零集合であれば、 上記から χ_N(π(x))ψ(x) は局所μ^-a.e. に 0 となり、 ∫^e χ_N(π(x))ψ(x) dμ(x) = 0 となる。 よって、∫^e χ_N(y) dν(y) = 0 となり、N は局所ν零集合である。 証明終

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