★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 16:13:55 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 855 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/18(月) 09:01:27 ] 0≦ｔ≦Ｔの範囲で、加速度が減速しないまま、 直線上を微小な動きをする物体がある。 その物体の速度が、ｔ＝（１／２）Ｔの時点で、 平均速度を超えることができないことを示せ。 （ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した 　アメリカの名門大学の数学科の定期試験） 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 11:54:55 ] >>855 その問題が簡単なことにも気づけないの？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 14:29:44 ] 東大でe^π>21を示せって問題あったけどこれの評価を厳しくしてe^π>23を示すことはできるかな？ 使っていいのはe>2.71,π>3.14ね 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 14:34:37 ] 23>2.71^3.14だから無理ぽっい 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 15:14:48 ] 857ではないが関数電卓あるいはgogleでe^(pi) とうつとe^(pi) = 23.1406926 区分でうまく面積評価すればできるのかこれ？ 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 15:29:53 ] e>2.718を使えばe^π>23が示せるな 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 16:43:37 ] こういう単純な数値評価って 「計算は面倒だがこの方法で原理的にはいくらでも近似できる」 というような方法が生徒に理解されていたら、 必ずしも面倒な計算させなくても良いと思う。 式と式同士の評価だとそうはいかんし、計算量的な事を考えさせるような 良問ならそうでもないんだけど。（ただ受験生には荷が重いだろう） 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:51:46 ] 東大のは単なる1次近似で評価できる。 過去にも類題があった。 863 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 01:14:32 ] すべての自然数nで a[n]>0 �納k=1,n]a[k]≧√n となるとき �納k=1,n](a[k])^2≧{log(n+1)}/4 であること示せ 864 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 06:32:28 ] pを5以上の素数とするとき (2pCp-2)/2p^3 は自然数であることを示せ 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 06:48:33 ] >>852 ,854 　IMO-1985 @ Helsinki, Problem 6 866 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 13:43:39 ] A,Bを2次正方行列とするとき |A+B|+|A-B|=2|A|+2|B| が成り立つことを示せ ただしX=(x　y) 　　　　(z　w) のとき|X|=xw-yzとする 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 15:13:47 ] また勘違いゴミがカス問題貼り付けてますね。（苦笑） 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 19:11:30 ] ＺＥＵＳしねよマジで 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 21:12:31 ] >>866 　A = { a_i,j }, 　B = { b_i,j }, とおくと 　|A+B| = (a_11+b_11)(a_22+b_22) - (a_12+b_12)(a_21+b_21), 　|A-B| = (a_11-b_11)(a_22-b_22) - (a_12-b_12)(a_21-b_21), ∴ |A+B| + |A-B| = 2a_11*a_22 + 2b_11*b_22 - 2a_12*a_21 - 2b_12*b_21 　　　= 2(a_11*a_22 - a_12*a_21) + 2(b_11*b_22 - b_12*b_21) 　　　= 2|A| + 2|B|. 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 23:40:00 ] >>823 x=8. y=30. >>864 (2pCp-2)/2p^3=0. 871 名前：→ mailto:sage [2008/08/20(水) 02:47:03 ] (1)f(x)=x^2とする。 0.f(1)f(2)f(3)…=0.1491625… が無理数であることを示せ 　 (2)f(x)=x^n　(nは自然数)とする。 0.f(1)f(2)f(3)… が無理数であることを示せ 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 03:09:50 ] >>870 これは盲点だった >>823 の補題2 以下を訂正 xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^2+y^2)/(xy+1) が平方数とならない (x,y) が存在したとして、そのうち x が最小のものを考える xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1 従って、ある非負整数 z が存在して x^4+1 = (xy+1)(xz+1)　　…(*) z=0 のときは y=x^3、(x^2+y^2)/(xy+1) = x^2 で、これは平方数なので、z＞0 (*) から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^3z+1 なので x＞z (x^2+z^2)/(xz+1) - (x^2+y^2)/(xy+1) = (y-z){x^4+1 - (xy+1)(xz+1)}/{x(xy+1)(xz+1)} なので、(*) より (x^2+z^2)/(xz+1) = (x^2+y^2)/(xy+1) (x^2+y^2)/(xy+1) は平方数ではないので、(x^2+z^2)/(xz+1) も平方数ではない これは x の最小性に反する つまり、xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^+y^2)/(xy+1) が平方数とならない (x,y) は存在しない■ 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 03:23:59 ] >>870 (10C5-2)/(2*5^3)=1 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 07:41:32 ] ******** N = (x^2 + y^2)/(1+xy) is a Square www.mathpages.com/home/kmath334.htm 875 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 21:25:15 ] 今年の東大の問題で x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π で囲まれる図形の面積求めるやつって うまく処理できますか？ 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 21:29:31 ] グラフの左をつなげるとクレープみたいだ 877 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:08:49 ] x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π x=rcos2t y=rtsint dx=cos2tdr-rsin2tdt dy=tsintdr+(rsint+rtcost)dt dxdy=(cos2t(rsint+rtcost)+rtsintsin2t)drdt 878 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:12:45 ] SSdxdy=SSAdrdt=.5S(cos2t(sint+tcost)+tsintsin2t)dt あとはオイラー 879 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:57:02 ] O(0,0)A(2,0)B(0,1)とし、辺ABを1:nに内分する点をPnとする。 ∠AOPn＝θn,APn＝ln とする。 lim[n→∞]ln/θnを求めよ。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:07:21 ] >>879 P_n=(2/(n+1),n/(n+1))より tanθn=(ln/√5)/(n/n+1)=(n+1)ln/n√5 ln/tanθn=√5n/(n+1) tanθ/θ→1より、 lim[n→∞]ln/θn=√5 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:16:55 ] >>871 f(10^m)を考えれば明らか。 　10・・・0(mn桁) なる小数部分が無限遠方にいくらでも出現するから。 　小数部分は循環しない。つまり無理数。//// 882 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 23:20:50 ] 第 6 問 3 人で ‘ジャンケン’ をして勝者をきめることにする.たとえば,1 人が ‘紙’ を出し,他の 2 人が ‘石’ を 出せば,ただ 1 回でちょうど 1 人の勝者がきまることになる.3 人で ‘ジャンケン’ をして,負けた人は次 の回に参加しないことにして,ちょうど 1 人の勝者がきまるまで,‘ジャンケン’ をくり返すことにする. このとき,k 回目にはじめてちょうど 1 人の勝者がきまる確率を求めよ. 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:27:45 ] >>882 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:29:02 ] 三人のときに三人とも相子になる確率は (3!+3)/3^3=1/3 三人のときに二人で相子になる確率は 3*3/3^3=1/3 三人のときに一人の価値が決まるのは 1/3 二人のときは1/3で相子、2/3で勝ちが決まる。 今、0<j<n番目で三人から二人に落ちたとするとその時の確率は 　(1/3)^n*2 　一方最後まで三人だった場合は 　(1/3)^n ∴求める確率は(2n-1)(1/3)^n 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:05:08 ] >>882 第 6 問って何の問題？>>883の反応からして、ひょっとすると今年の東大実戦の問題か？ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:13:27 ] >>878 　S = (1/2)��(x･dy - y･dx) = (1/2)�怒x･(dy/dt) - y･(dx/dt)}dt でつね。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:18:46 ] >>885 超有名問題だが。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:23:27 ] >>887 超有名な何の第６問？ 889 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 00:33:15 ] >>880不正解 答えは2/π 890 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 00:36:11 ] >>880 2/πは別の問題の答えだったm(_ _)m どちらにせよ答えは2√5で不正解 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:41:01 ] 円上に適当な三点をとり三角形をつくる。 その三角形の三角の二等分線と円の交点で新たな三角形をつくる。 この作業を繰り返すと三角形が正三角形に近づくことを示せ。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:52:15 ] >>890　tanの所ミスったな。 　どちらにしろ駅弁レベルの問題だが。 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:54:18 ] >>891 正三角形に近づくことの定義は？ 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:02:44 ] >>888 71年の東大 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:03:06 ] 当たり前の定義でいいんじゃないの。 ３辺の極限が同じ値になる、とか、三つの内角の極限がみなπ/3になる、とかね。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:11:18 ] 円周上に五点を順に取って五角形ABCDEを作る。 円周上に V, W, X, Y, Z を等間隔に取ったとき 　（五角形ABCDEの面積）＜（正五角形VWXYZの面積） となる（つまり五角形の面積は正五角形のときに最大になること） を以下のように示した。 　AB ≠ BC のとき、弧 AC の中点を B' に動かすと 　（五角形ABCDEの面積）＜（五角形AB'CDEの面積）だから 　五角形ABCDEの面積が最大となるとき、 AB = BC = CD = DE = EA となる。 　したがってこのとき五角形は正五角形となる。(q.e.d.) この証明のどこが間違っているか？ 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:12:28 ] 弧 AC の中点を B' に動かすと ↓ 弧 AC の中点を B' とすると 898 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 07:02:22 ] 第 5 問 〔新〕 z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-√（3）y＋z＝ 1 より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ. 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 09:17:57 ] √(3y)なのか(√3)yなのかy^(1/3)なのかはっきりしてくれ 900 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 12:31:27 ] >>899 いや、平面っていってるしわかるだろ 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 12:51:53 ] >>900 いまのゆとりは平面の方程式習わないし、わからないのがいても仕方がないんじゃね？ 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 12:59:14 ] すまない普通に見落としてた 弁解の余地がないです 903 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 15:26:52 ] C:y=x^2とする。C上の点PとC上にない点Aを考える。 点PにおけるCの接線と2点A,Pを通る直線が垂直であるとき、線分APをAからCに下ろした垂線という。 点Aがy=x^2に異なる三本の垂線を下ろすことができる範囲に存在するとき、少なくとも2本の垂線の長さが等しくなるAの範囲を求めよ。 904 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:23:02 ] 第 5 問 〔新〕 z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-(3^0.5)y＋z＝ 1 より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ. 905 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:44:21 ] 日本ードイツ　１ー２ 906 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:47:18 ] 日本ードイツ　０ー２ 907 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/22(金) 02:36:25 ] ここの人たちって大体何完レベルですか

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