★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 16:13:55 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 19:53:11 ] a[1]=a,a[n+1]=cos(a[n])とするとき どんなaに対しても lim[n→∞]a[n]が存在することを示せ 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 23:45:03 ] >>496 これのsinバージョンの完璧な証明を今も見たことないんだけど 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 00:13:54 ] sinだったら簡単じゃん。 a_0=a かつ a_{n+1} = sin(a_n) とする。 -1 ≦ a_1 ≦ 1 である。 0 ≦ a_1 ≦ 1 としてよい。（そうでないときは b_n = -a_n を考えれば良い） { a_n } は常に正なので下に有界であり、かつ単調減少である。 有界単調数列は必ず或る有限実数値に収束するので、その収束値を A とする。 A = sin(A)より A = 0。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 00:17:52 ] >>498 すまん これのことだった 数列 {a[n]} を a[0] = x, a[n+1] = sin(a[n])　　(n≧0) で定める 0＜x＜π のとき lim[n→∞]((√n)a[n]) = √3 であることを証明せよ 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 01:53:11 ] >>496　-1≦a_2≦1より 0<a_3≦1 ∴n≧3のとき 0<a_n≦1 以上より 0<a≦1としても一般性に差し支えない。 さて、cos0>0,cos1-1<0であるから 　cosα=αなるαが(0,1]内に少なくとも一つ存在する。 　f(t)=cost-tは(0,1]内で単調であるからそのような数はだだ一つ 　よってそれをαとする。 　cosの単調性より a_n<α⇒a_(n+1)>α a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。 　ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。 　よってそれらはβ,γにそれぞれ収束する。 　そしてβ=cosγ,γ=cosβを満たす。 　よってβ=cos(cosβ)　γ=cos(cosγ) ここでg(t)=cos(cost)-tとおくと 　g(α)=0 g'(t)=sin(cost)*sint-1<0 　よってβ=γ=α。すなわちa_nはαに収束する。　/// 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 02:57:49 ] >>496 東工大ぽいな 502 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 03:13:32 ] ＞a_n<α⇒a_(n+1)>α ＞a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。 ＞ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。 意味不明 0点 503 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 06:33:39 ] cos(cos(a))/cos(a)=sin(cos(a))sin(a)/sin(a)=>|sin(cos(a))|<1 for all a 504 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 06:35:44 ] an+1=log(an)の収束半径をもとめな。 505 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 06:36:33 ] an+1=log(an)log(an)cos(an)の収束半径をもとめな。 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 07:33:34 ] >>502 a_[n+2]=cos[cosa_n]>(<)a_nが抜けてた。 g(t)はここで出しておくべきだったな。 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 18:12:38 ] xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。 このとき平面PQRの通過しうる領域の体積を求めよ。 ただしOは原点である。 508 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 18:24:36 ] >>507 >>481 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 18:33:16 ] >>481 平面だと無限大になるから 三角形PQRの通過しうる領域の体積と解釈しておｋ？ 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 18:48:17 ] >>418,507 1/18 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 21:38:09 ] >>507 計算してPQRの通る曲面(包絡面？)が √x+√y+√z=1、x≧0,y≧0,z≧0 となって体積を計算したら1/90になった 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 21:38:40 ] 訂正 √x+√y+√z≦1、x≧0,y≧0,z≧0 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 22:22:13 ] 難易度高いです＞＜ 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 22:47:41 ] >>511 どうやってやったの？ 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 00:32:35 ] >>507 1/30？ 516 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 00:34:00 ] 俺も1/30になった 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 01:15:59 ] 511-512だけど>>515-516お二方はどうやったの？ なんかこう違うと、何が何やらわけがわからなくなっちまった。 ついでに>>481の(1)は√x+√y≦1、x≧0,y≧0になった。 一応texで打ってみるかな 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 01:21:57 ] >>517 ごめん やりなおしたら1/90になった 519 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 01:30:20 ] >>517ですが www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=toudais+sol1.PNG www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=toudais+sol2.PNG こんなかんじです ちょっと今、手直ししてますが、p≠0,r≠0で解答してました。p=0,r=0の場合は(1)に帰着して結局>>511になるんですけど 520 名前：518 mailto:sage [2008/08/03(日) 01:46:58 ] >>519 俺も同じくz=tでの切断から考えて ORの値を固定 でその断面積を求めたあとでORを動かした時の最大値がOR=√tのときで あとは積分で1/90 途中ノートのページが変わるときに文字を写し間違えて最大値がくるってしまった なんか>>517みるとすごく簡単に解けているように見えるな 521 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 01:48:23 ] >>519 ＧＪ 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:02:10 ] >>519 問題のとこ平面PQR→三角形PQRに訂正 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:03:06 ] >>519 なんじゃこりゃあああ！！！ てふかなんかでわざわざ作ったのか？ てっきり紙に適当な数式書いてアップしただけかと思った 524 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 02:18:25 ] >>522 了解 >>523 TeXでおこしてPDFをキャプチャして貼り付けたんです。 他の問題も同様にしてます。Wordって少し使い勝手が悪くて 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:31:41 ] >>524 やっぱてふ使ってわざわざ… 分からない問題はここに書けというスレとこことあともう一つくらいしかスレみてないけど 数学板でこういうの見たの初めてで感動したよ 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:47:06 ] >>525 このスレの方でPDFで神解答してる人は見たことありますよ(ベクトルがらみの益田さんの問題だったかな) これが原文 www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=todai+sakumon.pdf 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:47:47 ] 貼り付け専用なので尺一杯ですが。 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 04:12:32 ] 益田とかいたな 最近見ないけど逮捕されたんかな 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 05:28:16 ] 単に飽きたのでは。 サイトの問題全部アーカイブで公開してから消えてほしかった。 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 06:04:57 ] >>499 (略解) 　|x|≦1 とする。 　sin(x)^2 = {1 - cos(2x)}/2　なので, 　x^2 - (1/3)x^4 < sin(x)^2 < x^2 -(1/3)x^4 + (2/45)x^6 < (x^2)/{1+(1/3)x^2}, 　1/x^2 + 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 > 1/x^2 + 1/3, 　1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3, これに x=a[n] を代入する。 　a[n] → 0 (n→∞)　 は既知ゆえ、 　1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞), 　1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞), これをnで割る。 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 06:27:32 ] >>492 与式を辺々たすと 　(X+Y)^2 + (X+Y) = 11 + 9 = 20, 　X+Y = -5, 4. 下の式より 　X+Y = -5 のとき, XY=-14,　　{X,Y}={-7,2} 　X+Y = 4 のとき, XY=-5,　　　{X,Y}={-1,5} 532 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 07:46:40 ] >>531 これはひどい 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 12:19:16 ] >>530 > 1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞), ちゃんと計算すると、1/(a[n])^2 - (n/3) は n→∞ で発散するよ 534 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 13:27:04 ] sin(sin(a))/sin(a)=-cos(sin(a))cos(a)/cos(a)=>|cos(sin(a))|<1 for all a 535 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:03:07 ] a, b, c をabc=1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ． ( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１ 　 536 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:03:56 ] 次の条件を満たす正整数ｎは存在するか． 　 ｎを割り切る相異なる素数はちょうど2000 個ある． ２n + 1 はｎで割り切れる 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 14:09:15 ] 存在しない ２n + 1 はｎで割り切れるよりほぼ自明 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 14:09:18 ] >>534　うっわ恥ずかしいやつ＾＾； 539 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:10:22 ] ２^n + 1 はｎで割り切れる 540 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:19:54 ] a,b=1/a,c=1 (2a-1)(1/a)(1/a)=2/a-1/a^2 2=2at a=1/t (2/t-1)t^2=(2-t)t t=1->a=1 f=1 541 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:36:11 ] a,b,c=1/ab ( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１ (a-1+1/b)(b-1+1/ab)(1/ab-1+1/a) (ab-b+1)(1-(ab-b)^2)/ababb (z+1)(1-z^2)/ababb z=1,-1 z<-1 ab-b<-1 0<b<-1/(a-1)->a<1 542 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 15:06:31 ] a<(b-1)/b a->0->b->1 z->-1 f-> a->1->b->∞ z->-∞ z=(a-1)b -z^3/a^2b^3=-(a-1)^3/a^2->0 543 名前：518 mailto:sage [2008/08/03(日) 15:18:00 ] 式だけ書いてる奴ってなんなの？池沼？ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 15:25:08 ] かなり昔からいるkitty 545 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 16:20:07 ] a->0->b->1 z->-1 c->1/a ( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + a) (2/a - 1 )->0 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 18:29:44 ] king 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 18:32:00 ] >>499って事実としては正しいの？ 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 18:46:48 ] >>547 >>440のスレにあるけど誰も解けてないみたいだし、正しいかは不明 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 19:01:41 ] 実際に第100項とか第1000項くらいまで確かめてみれば 正しいかどうかの予想は付くんだろうけど、 俺プログラミング出来ないからなあ、、 流石によほど暇じゃないと函数電卓で計算する気は起きないなｗ 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 19:12:15 ] >>547 第25項くらいまで電卓で計算してみたけど，実際に√3付近の数に収束していってる からあってるかと． 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 19:39:34 ] 25項で決めるとは 552 名前：>>440 >>533 mailto:sage [2008/08/03(日) 21:27:15 ] >>530 で大体あってる >>533 で指摘したとこは、正しくは (1/a[n]^2) - (n/3) = (1/5)log(n) + O(1) になるはず α[n+1]-α[n] → β (n→∞) のとき α[n]/n → β (n→∞) を示すのは良く見る問題だから、これを定理と認めれば > 1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞) からすぐに 1/(n*a[n]^2) → 1/3 (n→∞) 不等式で挟もうとすると結構面倒で、自分の用意していたのは↓みたいなの (途中まで >>530 のを借りる) > 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3 まで正しいとして、 |x|≦1 のとき 1/(3-x^2) ≦ (1/3)+(1/6)x^2 が成立するので (1/3) + (1/6)x^2 ＞ (1/sin^2(x)) - (1/x^2) ＞ 1/3 x = a[n], sin(x) = a[n+1] を代入して (1/3) + (1/6)a[n]^2 ＞ (1/a[n+1]^2) - (1/a[n]^2) ＞ 1/3 見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とすると 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*) 左の不等号から、n≧2 で b[n] ＞ n - 1 + b[1] ＞ n - 1 … (**) これを (*) の右の不等号式に入れると、n≧3 で b[n] ＜ n - 2 + (1/2){1 + (1/2) + (1/3) + … + (1/(n-2))} + b[2] ＜ n + (1/2)log(n) + b[2] これと (**) から、n≧3 で a[n] の評価は (√3)/√{1 + (1/2)(log(n)/n) + (b[2]/n)} ＜ (√n)a[n] ＜ (√3)/√(1-(1/n)) 挟み撃ちにより (√n)a[n] → √3 (n→∞) 553 名前：552 mailto:sage [2008/08/03(日) 22:38:42 ] × 不等号式 ○ 不等式 × 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*) ○ 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (3/(2b[n])) … (*) だった 以下も適当に修正しといて 554 名前：530 mailto:sage [2008/08/04(月) 06:24:20 ] >>499 (訂正) 　1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3, まで正しいとして、 見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とする。 >>552 k≧N のとき (N:自然数) 　b[N]/(b[N]-1) ≧ b[k]/(b[k]-1) > b[k+1] - b[k] > 1, k=N,N+1,･･･,n-1 について相加平均すると 　b[N]/(b[N]-1) > (b[n] - b[N])/(n-N) > 1, ここで n→∞ とすると 　b[N]/(b[N]-1) ≧ lim[n→∞) b[n]/n ≧ 1, Nはじゅうぶん大きく取ってよいから 　 lim[n→∞) b[n]/n = 1. 555 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/08/04(月) 08:26:32 ] Reply:>>546 私を呼んでないか。 556 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/04(月) 20:05:09 ] sin(x)>x sin(x) monotonic for 0<x<pi/2 sin(sin(...(x)))->1 sin(sin(x))/sin(x)->cos(sin(x))cos(x)/cos(x)->cos(sin(x))->1+0 as x->0,pi 557 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/04(月) 20:08:46 ] math.coe.uga.edu/EMT669/Student.Folders/Willis.Emily/Essay1/Essay1.html 558 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/05(火) 09:27:27 ] 「ｐ、ｑ、ｒ　are　natural　numbers　ａｎｄ　satisfing　ｐ≦ｑ≦ｒ． ａｎｄ、ｐ、ｑ are even　numbers and ｒ is odd number. find the most small positive integral number satisfing √ｐ×√ｑ×√ｒ」 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 10:37:13 ] 18 = (√2)(√6)(√27) ってこと？ 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 10:38:36 ] ＺＥＵＳって数学だけじゃなく英語も出来ないんだな。 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 11:14:20 ] √p×√q×√rを満たす最小の整数を求めよ…… ごくり…… 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 11:31:05 ] わざわざ英語で書いてるあたりどこかの問題をコピペしてるっぽい。 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 20:05:09 ] コピペだとすると、所々無意味に全角になっているのが気持ち悪い 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 20:13:42 ] あんな酷い英文がコピペであるはずがない。 565 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/05(火) 22:04:10 ] most smaller　(笑) 566 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/05(火) 22:36:44 ] If X chooses a prime number and simulataneously Y guesses whether it is odd or even (with gain or loss of ＄1), who has the advantage? 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:30:03 ] You is a big fool man. 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:41:18 ] おまえら、わざとやってるのか？ 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:51:47 ] 東大入試史上最も難しい問題より難しいっぽい問題が 中央大学の文系で出てるんだけど誰か解いてみたいっていう猛者はいるか？ このスレの住人なら知っていて当たり前だろうと思うが、n次元超平面上格子点存在問題 570 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 00:57:07 ] >>569 いつ出たの？うｐ 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:07:48 ] >>570 11年前に出てるけど出題者としてあるまじき行為というバッシングを受けてたっぽい 幾何学としても代数学としても有名な事実だが、文系の人にやらせるにはあまりにひどい問題 a_1、a_2、…、a_nを与えられた正の整数とする。 その最大公約数をdとするとき、 a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d を満たす整数x_1、x_2、…、x_nが存在することを示せ。 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:12:44 ] 東大受験生だと解ける奴はそれなりに居るよ。 何せ知識問題だから。 中央大文系だと全滅の懼れが大きいが。 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:16:19 ] ところでどこが幾何学なのか良く分からん。 少なくとも「n次元超平面上格子点存在問題」じゃないと思う。 574 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:18:08 ] さんくす 解いてみる 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:27:20 ] >>571　n=2のとき、a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 　a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。 　n=kのとき、題意が成り立つと仮定すると、 　a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d'なるx_1....x_nが存在する。 この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd 　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。/// 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:28:39 ] 安全に証明を行えるという点で幾何学の問題を代数学で というのは数学を学んでいくとよくある手法だな 逆に代数の問題を関数論でというようなパターンも大学２年でやる 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:29:12 ] Euclidの互除法と帰納法で証明しても良いし、 どっちかというとそっちのほうが計算的だけどもっと簡単に証明。 gcm(a_1, a_2, ........., a_n) = d である。 a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n}と表せる形の整数の集合 I を考える。 I = { x ∈ Z : 或る x_{1}, ........, x_{n} が存在して n = a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} } x ∈ I ならば x の倍数 nx も I の要素であり、またx, y ∈ I ならば x ± y ∈ I となる。 よって I の要素の絶対値のうち最小のものを e とすると I は e の倍数の集合となることがわかる。 （∵ e' = ne + e'' , 0 ＜ e'' ＜ e とすると e'' ∈ I となり矛盾する。） 或る x_1, ........, x_n が存在して e = a_1x_1 + ......... + a_nx_n だから e は d の倍数。 また a_i は I に含まれるので、逆に a_i は e の倍数。よって e は a_1, ........., a_n の公約数。 よって e = d。つまり d は a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} の形に表すことが出来る。 quod erat demonstrandum. と、ここまで解いてリロードしたら>>575が既に解いてた。 でも「a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。」 これ使って良いのかな。 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:31:52 ] これでバッシングって、マーチはすげえな。 地底くらいなら普通にだすだろ。サービス問題として。 579 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:32:09 ] n=2の場合は稀に出題されるよね 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:23:00 ] >>571の問題は解決するのに歴史的時間を要してるからなぁ >>575の解法でいくと5点もらえていいほうかな この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd 　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。/// この証明はないだろ…さすがに…帰納法の意味わかってるのか？ 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:27:30 ] は？ちゃんと読めよマーチのカスｗ 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:32:14 ] 幾何学的な証明は？ 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:32:58 ] >>580 d'はn項までの数の最大公約数(nのときの仮定より。) 　A_n=d',x'1A_n+x'_2a_n+1=d(n=2のときによる) 　であるが、何か問題でも？ 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:33:16 ] >>579 出るわ aとｂは与えられた正の整数でaとbは互いに素である 直線ax+by=1は格子点を通ることを示せ 格子点とはx座標とy座標が共に整数の点のことであるって奴が出た 【　時　間　が　な　く　て】　わからんかったけど 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:38:46 ] >>583 d'とa_(n+1)の最大公約数がdってどっから出てきたの？ まさか仮定ってn=2のときa_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1ですよってところからきたの？ n=2のとき帰納法で与えられたa_1とお前が作りだしたd'って全く別物じゃない？ 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:42:56 ] >>585　アホ？すべてのa_nはd*a'_iに分解できる。 　よってd'=rdとなり、d'とa_n+1はdを共通因子に持つ。 仮にd'とdの最大公約数d''>d⇒a_1・・・a_n+1の最大公約数もd''→矛盾。 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:51:43 ] >>586 だからお前が帰納法使っているときに仮定よりn=k個の場合は a_1〜a_kの最大公約数はd'とおいてるんだろ？ で、n=2のときa_1とa_2の最大公約数はdとおいてるんだよな？ 当然のことだがこのa_1とa_2はn=2のときとn=kのときで全くの別物ってのはOK？ 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:53:18 ] >>587　何言ってんだ？お前帰納法の意味まるでわかってないな。 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:56:52 ] >>588 ということはまさかお前n=2のとき使ったa_1,a_2とｎ=kのときのa_1,a_2が同じ数だー とか思っちゃっているわけだな？ それに対しておれが帰納法まるでわかってないみたいに言ってるであってる？ そのへんがよくわからんないんだけど 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:58:30 ] 同じ数って何の話してんだ？ a_1....a_nは任意の整数の組だぞ？ dとd'は区別するために書いただけでただの最大公約数だぞ？ 大丈夫か？ 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:02:40 ] n=2のとき、"任意の"a_1,a_2に対して題意は成立 n＞3のとき、"任意の"a_1...a_nに対し題意が成立すると仮定 ⇒a_1x_1+・・・+a_nx_n=d' a_1=d',a_2=a_n+1とおいてn=2の場合より題意成立。(当然整数同士の積は整数である） どこに問題が？ 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:04:38 ] >>590 数学的帰納法において気をつけなければならない点 a_1....a_nは与えられた正の整数とあるとき、n=2,n=kの場合、 a_1,a_2の与えられた二つの正の整数、n=kの与えられたk個の正の整数を考える この問題は数学的帰納法だけではとてもじゃないが、たちうちできない ちょっとおれ今から整数論で完璧な証明書くので待ってくれ 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:06:36 ] 完璧な証明はどうでもいいからまず>>591に反論してみてよ。 俺の頭の中じゃ何回考えてもおかしな点が見つからん。 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:24:54 ] >>593 今まで間違っているとかいいまくっていたけどよく読んでみたらこれほどの解答はなかった あまりにも速く解いていたので嫉妬して適当な因縁つけてただけでした お前の解答は完璧だと読んでみたらわかった 今まで間違ってるとかいって本当に申し訳ない…ごめんなさい…あってます…そろそろ寝ます I={a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n　|　x_1,x_2,…,x_nは任意の整数} Nを自然数全体の集合とする I∩Nの最小元をd~とすると、任意のX∈I∩Nに対して X=d~*q+r　（q>0,0=<r<d~）…�@ d~∈I∩Nだから d~=a_1*x_1(0)+a_2*x_2(0)+…+a_n*x_n(0)…�A なるx_1(0),x_2(0),…,x_n(0)が存在する X=a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_nとも表されるから�@は r=X-d~*q=a_1*(x_1-q*x_1(0))+…+a_n*(x_n-q*x_n(0)) ここでr>0とすれば、r∈I∩Nとなり、0<r<d~から、rがI∩Nの最小元より小さくなり矛盾 よってr=0,X=d~*q つまり、d~∈I∩Nは任意のX∈I∩Nの最小の公約数である故に、 a_1,…,a_n∈I∩Nの最小の公約数である そこでd~=dを示す �Aにおいて右辺はa_1,…a_nの任意の公約数ｃで割り切れるべきだから d~はｃで割り切れる 故にc=<d~=<dで、cの最大値はdだから d~=d∈I∩N ∴d=a_1*x_1(0)+…+a_n*x_n(0) よってx_1=x_1(0),x_2=x_2(0),…,x_n=x_n(0)なる整数が存在する a_1,…,a_n∈IだからI∩Nの最小元d~はa_1,…,a_nの公約数であるということを 普通にしてはならないのはそれを示すことがこの問題のキーポイントであるから 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:41:24 ] 数学的帰納法を楽しげに語っているのでおれも間違い探しで参加するぞー(^o^)/ 今日はなかなか>>577といいレベル高い奴がいるんですぐにみつけられそうだが気にしない 相異なるn個の点の集合のどの2点を通る直線も この集合内の第3の点を通るという性質をもつならばこれらの点は全て一直線上にある。 数学的帰納法により示す。 n=3のとき、 2点を通る直線を任意に選ぶと仮定よりその直線はそれ以外の第3の点を通るので、 これらの点は全て一直線上にあることが示せた。 n=kのとき成り立つとしてn=k+1のときを示す。 n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば 他の点は全て一直線上にあるのでk+1個目の点も含めて k+1個の点は全て一直線上にあることが示せた。 これにより題意は示せた。 この帰納法の使い方のおかしさを指摘してみろークズどもー(^o^)/ 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:55:57 ] ＞n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば そのような直線が存在するという証明がされていない。 というかn=2の時点で直線はきまってしまう。(ユークリッド幾何より） よってそのような直線は一般に考えられない。

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