- 1 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/02(金) 21:53:23 ]
- 面白い問題、教えてください
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/23(火) 16:42:52 ]
- 問１：命題１が真であることを証明せよ。
問２：a,b,c:複素数の場合に命題１と同様の真である命題を作ることは可能か。
可能ならばその命題（命題２とする）を示せ。
というところか。
華麗にスルーされた理由がよくわかるなｗ
問題文が書けない。命題という言葉の意味がわかってない。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/23(火) 17:33:20 ]
- >>613
どこの国の方ですか？ にほん は たいへん でしょうけど ことば には なれてくださいね
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/23(火) 19:08:31 ]
- 全ての自然数nについて
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
が成り立つことを証明せよ。
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/23(火) 19:08:32 ]
- （１）
任意のa+b+c=0を満たす実数a,b,cに対し、f(x)*f(y)=f(z)を満たす整数x,y,zをすべて求めよ。
ただし、f(x)=(a^x+b^x+c^x)/xとする。
（２）
任意のa+b+c=0を満たす複素数a,b,cに対し、f(x)*f(y)=f(z)を満たす整数x,y,zをすべて求めよ。
ただし、f(x)=(a^x+b^x+c^x)/xとする。
と和訳してみました。（２）の方が簡単に見えるのはおれの眼の錯覚でしょうか？
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/23(火) 19:12:30 ]
- 俺にはどちらも同じくらい難しく見えます。
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/23(火) 23:07:52 ]
- >>620
n=1 のとき、等号成立。
n≧2 のとき、各辺の対数を考える。
log(n!) = log(2) + log(3) + ･･･ + log(n),
これを積分で近似しよう。
f(x) = log(x) とおく。
f "(x) = -1/(x^2) < 0 だから f は上に凸。割線 ≦ f(x) ≦ 接線。
∫[3/2, n+(1/2)] f(x)dx < f(2) + f(3) + ･･･ + f(n) < (1/2){f(2)+f(n)} + ∫[2,n] f(x)dx,
f(x) = log(x) を代入して
[ x*log(x) -x ](x=3/2,n+(1/2)) < log(n!) < (1/2)log(2n) + [ x*log(x) -x ](x=2,n),
(n +1/2)log(n +1/2) -(n-1) -(3/2)log(3/2) < log(n!) < (1/2)log(2n) + n*log(n) -n -2*log(2) +2
(n +1/2)log(n) -(n-1) -(3/2)log(3/2) + (1/2) < log(n!) < (n +1/2)*log(n) -(n-1) -(3/2)log(2) +1 ･････(＊)
(n +1/2)log(n) -(n-1) +(1/2)log(8e/27) < log(n!) < (n +1/2)*log(n) -(n-1) + log(e/√8),
√(8e/27) * n^(n +1/2) / exp(n-1) * < n! < (e/√8) * n^(n +1/2) / exp(n-1)
0.80541･･･ * n^(n +1/2) / exp(n-1) * < n! < 0.96105･･･ * n^(n +1/2) / exp(n-1)
これから与式を示される。
＊) log(1+(1/2n)) = log((2n+1)/2n) = -log(2n/(2n+1)) = -log(1 - 1/(2n+1)) > 1/(2n+1),
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/24(水) 23:06:47 ]
- 俺の会心の作（と思ってる）>>512がスルーされてるのはなぜディスカ？（TT)
もしかして有名or既出問題だった？
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/24(水) 23:13:50 ]
- 大して面白くもないからだろ
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/24(水) 23:18:34 ]
- その割には似たような>>516にはレスが付いてるんだぜ？
うー悔しい。
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/24(水) 23:32:31 ]
- これは”ひねられてる”からだろ
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/24(水) 23:33:38 ]
- うまいッ…のか？
- 629 名前：シベリアよりのお手紙 mailto:sage [2008/09/25(木) 02:19:32 ]
- >>302
9手
o-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----
oo----*o----oo----**----*o----*o----*o----*o----**----**----
*oo---ooo---*oo---**o---***---*o*---*o*---*oo---*o*---o**---
oooo--oooo--*ooo--*ooo--*oo*--**o*--**o*--****--***o--****--
ooooo-ooooo-ooooo-ooooo-ooooo-o*ooo-oo**o-****o-****o-*****-
>>509
10進数 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) に対する解
* 0: 1, 1: 7, 2: 3, 3: 2, 4: 1, 5: 1, 6: 1, 7: 2, 8: 1, 9: 1
* 0: 1, 1:11, 2: 2, 3: 1, 4: 1, 5: 1, 6: 1, 7: 1, 8: 1, 9: 1
2個の解が見つかりました(18.787秒)
>>618
問1: 他にも解があるよ。f(-1)f(3)=f(2), f(1)f(n)=f(1)。これで全部だったけど。
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 23:39:17 ]
- ある男が1万人に１人が発症する重病の検査で、陽性反応が出てしまった。
検査は99%の正確性を誇る。
この病気は、有効な治療法もなく、発病すれば確実に死亡する。
この男が助かる確率はいくらか？
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 23:52:47 ]
- >>630 発症者が間違って陰性と言われる場合もある、でいいんだよな？
発症者が陽性と診断される確率は99％
違う場合は1％。
よって、無作為に選んだ人間が、正しく陽性と言われる確率は(1/10000)*99/100
誤って陽性と言われる確率は(9999/10000)*1/100
∴求める確率は[(9999/10000)*1/100]/[[(9999/10000)*1/100]+[(1/10000)*99/100]]
(めんどいので計算略）
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 00:01:56 ]
- なんで、陽性反応が出てるのに陰性の場合の計算なんかいるんだ？
何万人に１人の病気か知らんけど、陽性が出た奴 100人つれてきたら
99人死ぬんだろ？
こいつが助かるのは残りの１人になるしかないんだから、1% だと思うが。
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 00:09:12 ]
- >>632 違うよ、本来死ぬやつが陽性でないことも考えると少なくとも1じゃないことは明らか。
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 00:22:58 ]
- >>620
積分を使わない別解
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/553
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 00:45:56 ]
- >>630
前に同じような問題で、確率スレで大荒れに荒れた。
問題は、「99%の正確性」という部分の解釈。
「罹患していないものを確率aで陰性と正しく判定し、確率1-aで陽性と間違って判定する」
「罹患しているものを確率bで陽性と正しく判定し、確率1-bで陰性と間違って判定する」
という２通りの確率が想定でき、その表現でa=b=0.99という意味に解釈できるかという
部分が問題になるが、単に出題側が前提を明らかにすればいいだけのところを
なぜか納得できない奴が出現して、gdgd
そんな中に>>632のような奴も紛れ込んで、発散。
>>632
では、陰性と判断された奴のうちの１％は死ぬのか？
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 01:13:40 ]
- たとえば10億人に一人発症する病気で30％の正確性である場合を考えれば
>>632が間違っていることは直感的にもすぐわかるだろう。
- 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 09:28:21 ]
- 検査を受けた任意の一人が陰性または陽性と判定されているものが合っている確率でないの？
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 09:42:13 ]
- 陽性反応が出た人が真に陽性である確率が99％っていう意味ではないの？
んで、真に陽性である人が発症する確率が1/10000ってことではないの？
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 09:49:15 ]
- こういうのの評価法を知っている人は、
真の陽性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率が99％、
真の陰性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率が1％っていう意味だと思うんだろうけど、
数学の問題としてでたら、>>637-638のように解釈される気もする。
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 10:49:12 ]
- > 真の陽性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率
> 真の陰性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率
このふたつは足して１になるとは限らない。
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 18:23:48 ]
- ほとんど出題の不備だな
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/26(金) 22:49:09 ]
- 周期が2πである関数f(x)を、昇冪の順の整式で表せ。
ただし未定義の点については考慮しない。また、f(x)とは以下で表される。
f(x)=-π/4 (-π<x<0)
f(x)=π/4 (0<x<π)
- 643 名前：642 mailto:sage [2008/09/26(金) 22:50:48 ]
- 考慮しないってのは、どんな値が来てもいいって意味で使いました。
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 00:00:00 ]
- 心理学で出てくる有名問題 ＞630
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 00:11:05 ]
- この種の問題は一度聞いたことがあるけど
（陽性反応が出たからと言って実際に陽性である
確率は必ずしも高くないという結果が出る）
＞検査は99%の正確性を誇る。
ってのはどの出題者もこういう風に表現すんの？
もっとも、そうだとしても不備なのは変わらんけどな。
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 00:12:28 ]
- >>642
整式って言ったら普通は有限項の多項式を意味すると思うんだけど
本当にそれで良いの？
「考慮しない」とかそういう言葉をオリジナルな意味で使ってるようだから
どうもそういう細かい表現をきちんと考えてるとは思えないけど。
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 05:42:12 ]
- 重さが相異なる五つの重りA,B,C,D,Eがある。これらを天秤を用いて、重い順に並べなければならない。
(1)天秤の使用回数７回以下で、確実に並べ替え可能であることを証明せよ。
(2)次の条件の時、出された可能性のある結論（並び順）を全て挙げよ。
条件
・天秤使用回数７回以下でソート可能な手順を用いた
・最初の３回は、A>B,C>D,A>Cという結果が出た
・天秤の使用回数６回で結論が出た
- 648 名前：642 mailto:sage [2008/09/27(土) 11:10:56 ]
- >>646
すまん、項数が有限じゃない物も普通は整式って言うと思ってた。
大学出ておいたほうが良かったな・・・
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 12:22:44 ]
- >>647
色々考えてみたが
天秤のみを使うなら8回の比較が必要で、
最も重い錘と最も軽い錘を手で持った時にどちらが重いか分かるなら7回で十分。
という考察結果になったorz
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 13:55:24 ]
- >>645
俺が以前見た問題では、誤った陽性反応が出る確率と書いてあったよ。
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 15:22:24 ]
- ABDEが平行四辺形のとき？は何度になるか
p.pic.to/tt3ch
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 16:13:22 ]
- 三角関数使って長さ測っていけば一発で終わりだな……
初等幾何の問題なんだろうけど
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 20:56:51 ]
- >>652
直線ADに対してEと対称の位置にFをとると
△DEFは正三角形。
∠DAF=∠DAE=∠ADBで、
AF=AE=DBなので、
四角形AFBDは等脚台形
∠ABF=∠BAD=∠EDA=30°
∠ABE=∠DEB=15°
よって∠FBE=45°
また、∠FEB=∠FED-∠DEB=45°
よって、FB=FE
∠BFD=∠FDA=∠EDA=30°でFB=FDより
∠FBD=75°
∠EBD=75°-45°=30°
∠BEA=∠EBD=30°
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/27(土) 21:01:34 ]
- ではそれに関連して。
長方形でも菱形でもない平行四辺形であり、
4辺と２本の対角線を加えた６本の直線が互いになす角が全て度数法で有理数となるのは
>>651の形だけであることを証明せよ。
- 655 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/28(日) 20:35:45 ]
- >>631
これ計算すると約99%になるから、要するに陰性が出たときの検査の正確さが
わからないような検査は、あんまり信頼性がないってことだよね。
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 21:07:29 ]
- >651
単純にAD間から点を垂直に二等辺三角形になるように伸ばして
180－(90＋45＋15)=30
ではダメですか？
低学歴の通りすがりの図形好きです。
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 21:10:05 ]
- AD間ではなくAE間でしたm(__)m
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 22:24:32 ]
- >>656
ごめん、わかるように書いて。
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 22:30:24 ]
- >>656
AEの中点をFとして、AEに垂直になるようFから直線をひき、その直線上に点Gを取って、△AEGが直角二等辺三角形になるようにするってこと？
そうだとしたら、全然だめ
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 22:33:02 ]
- >>656
点を垂直に伸ばす・・・？
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 22:35:10 ]
- 656ではないけれど
辺DE上にCD=CFとなるような点Fをとる
このとき三角形ACFは正三角形、また角度を見ればEF=CF
従って三角形AFEは直角二等辺三角形、よって角AECは30度
一般に、15度のところをx度、30度のところをy度、？のところをz度として
zをxとyを用いて表せ、を考えてるんだが酔ってて分からん
- 662 名前：655 mailto:sage [2008/09/28(日) 23:01:30 ]
- ちょっと>>655は無視してちょ。勘違いしてた。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 23:02:00 ]
- >>659の解釈は間違ってるかな？
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 23:37:04 ]
- 656です
自分で読んでも意味がワケワカメでしたのでピクトを使いました。
言葉足らずスイマセンでしたm(__)m
i.pic.to/temes
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 23:42:56 ]
- 663さん。
微妙に違ってましてFEGを作るはずだったのですが説明が無茶苦茶でしたね(´・ω・｀)
詳しくは一つ上のレスを見ていただければ有り難いです。
皆さん混乱させて申し訳ないですm(__)m
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/28(日) 23:52:14 ]
- PCから画像が見れなくてゲンナリ
必ずそのような補助線が引けるとは限らなくて更にゲンナリ
- 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 00:35:07 ]
- まあ、既に>>653と>>661の２通りの解も出たことだし、
>>665のことはそっとしといてやろう．．．
- 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 00:42:01 ]
- >>659
その無駄な空白に憤りを感じるのだが！
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 01:08:47 ]
- 点FからAEに対して垂直に直線を引くところまでは理解できたんだが
FE=FGなる点Gを作った時にそれがED上に来るかどうかは証明が必要かと
もし来なければ、全く意味のない補助線を引いたことになるからな
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 01:20:21 ]
- >>653の方法でも>>661の方法でも一般の平行四辺形では解けないのだが
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 01:30:30 ]
- >>670
だからなに？
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 01:32:33 ]
- 俺は670じゃないが
>>671
>>654が解けない
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 01:32:52 ]
- いや、誰か解いてくれないかなーと思って
そんなにカリカリするなよ
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/29(月) 01:42:15 ]
- >>654はさすがに初等幾何ではなく代数的に考えるんだろうな
- 675 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/30(火) 00:57:05 ]
- これが日教組の算数の授業だ！
1 スレ立て代行 New! 2008/09/29(月) 07:21:52 神 ID:e5OaSCfm0● BE:?-DIA(120000)
img.2ch.net/ico/u_shingi.gif
日教組HPの小学生向け算数教室
www.jtu-net.or.jp/education/sansu/series/08.html
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 08:29:50 ]
- 子供が、戦闘機の感想しか言わないのがなさけない。
教育に、そして数学に思想を入れるなとは言わないが、せめて
「１あたりの数を習うったら、戦闘機が無用に早いことがわかった。
１あたりの数、超便利。算数、すげー大事。戦闘機いらない。」
くらいの感想が出るような使い方にしておけばいいのに
これじゃあ、偉大なる将軍様の下さった教室の広さのほうがマシだろ。
数学が、科学が、思想のために使われるのはいっこうに構わないが
これでは、子供が科学離れを起こすのも無理はないな。
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 08:32:44 ]
- 感想を書いたのも大人
面白い問題まだー？
- 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 10:05:38 ]
- >>647(2)のヒント
３回の比較終了時点で可能性の残っている並び順を全て列挙してから、
次に比較すべき重りがどれとどれなのか検討せよ。
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 14:55:16 ]
- >>675
> 嘉手納町が東京（とうきょう）より混（こ）んでいるなんて、信（しん）じられない。
信じなくていいですよ。 嘉手納町の人口密度は基地面積を差っ引いても
東京にある武蔵野市の４０％です。 武蔵野市は東京と下では閑静な住宅街が続く
ゆったりとした街ですが、嘉手納町の2.5倍もの密度で人が住んでいます。
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 16:18:52 ]
- この問題、かなり難しい。
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1119495251
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 16:39:23 ]
- >>647(2)の回答(前半)
A>C>D、A>Bより、考えられる並び順は以下の15通り。
E>A>B>C>D,A>E>B>C>D,A>B>E>C>D,A>B>C>E>D
A>B>C>D>E,E>A>C>B>D,A>E>C>B>D,A>C>E>B>D
A>C>B>E>D,A>C>B>D>E,E>A>C>D>B,A>E>C>D>B
A>C>E>D>B,A>C>D>E>B,A>C>D>B>E
あと高々4回の比較で全てを特定しなければならないので、1回目の比較でこの数を8:7に分割する。
7の方に分類された物をさらに4:3に分割し、3の方に分類されたものを2:1に分割した時、
1の方に分類されたものは計6回の比較で特定された事になる。
最初の1回で8:7に分割可能な比較方法はCとEとを比較した場合のみ。
A>C>D、A>B、E>Cとした場合に考えられる並び順は以下の7通り。
E>A>B>C>D,A>E>B>C>D,A>B>E>C>D,E>A>C>B>D
A>E>C>B>D,E>A>C>D>B,A>E>C>D>B
2回目の比較でこれを4:3に分割可能な比較方法はEとAとを比較した場合(i)、BとCとを比較した場合(ii)の
2通り。
(i)E>A>C>D,A>Bとした場合に考えられる並び順は以下の3通り
E>A>B>C>D,E>A>C>B>D,E>A>C>D>B
(ii)A>B>C>D、E>Cとした場合に考えられる並び順は以下の3通り
E>A>B>C>D,A>E>B>C>D,A>B>E>C>D
よって6回目の比較で結論が出たとすると、その並び順は多く見積もっても以下の4種類のどれかである。
E>A>B>C>D,E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>D
ここで「多く見積もって」と書いたのは、この比較方法で比較していない残りの部分について、必ず計7回目までで
比較が終了する事を示していないためである。
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 16:41:35 ]
- >>647(2)の回答(後半)
前半の順序で比較した場合に、片割れが必ず7回目の比較までにソートが終了する事を示す。
(i)最初に分割した、残りのC>Eの部分は以下の8通り。(A>C>D、A>B、C>E)
A>B>C>E>D,A>B>C>D>E,A>C>E>B>D,A>C>B>E>D
A>C>B>D>E,A>C>E>D>B,A>C>D>E>B,A>C>D>B>E
まずDとEとを比較する。
(i-i)D>Eの場合
A>C>D>E、A>Bより考えられる組み合わせは以下の4通り。
A>B>C>D>E,A>C>B>D>E,A>C>D>B>E,A>C>D>E>B
ここでBとDとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。
(i-ii)E>Dの場合
A>C>E>D、A>Bより考えられる組み合わせは以下の4通り。
A>B>C>E>D,A>C>B>E>D,A>C>E>B>D,A>C>E>D>B
ここでBとEとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。
(ii)2回目に分割した残りの部分について示す。(ii-i)ではAとEとの比較結果、(ii-ii)ではBとCとの比較結果について扱う。
(ii-i)2回目に分割した、残りのA<Eの部分は次の4通り
A>B>E>C>D,A>E>B>C>D,A>E>C>B>D,A>E>C>D>B
ここでBとCとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。
(ii-ii)2回目に分割した、残りのC>Bの部分は次の4通り
E>A>C>B>D,A>E>C>B>D,E>A>C>D>B,A>E>C>D>B
ここでAとEとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。
結論：(前半)の順序と方法で分割を行った時に全ての場合において7回目の比較まででソートが可能である事が示せた。
答え：E>A>B>C>D,E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>D
- 683 名前：681-682 mailto:sage [2008/09/30(火) 16:42:46 ]
- これで合ってますか？>>647
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 18:49:25 ]
- >>680
> 問 原点０から出発して、数直線上を通る点Ｐがある。
> 点Ｐは、硬貨を投げて表が出ると+２だけ移動し、
> 裏が出ると-１だけ移動する。
>
> このとき、
> 点Ｐが座標３以上の点に初めて到着するまで
> 硬貨を投げ続ける。
> このとき、投げる回数の期待値を求めよ。
(略解)
a[n] を
座標 3-n に居るときの、コインを投げる期待回数
とする
a[0] = a[-1] = 0,
a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1]) (n≧1)
が成立し、これを解くと
a[n] = 2n + (3-√5)(1 - ((1-√5)/2)^n)
求める期待値は
a[3] = (4√5) - 2 = 6.94427191
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 18:53:28 ]
- × が成立し、これを解くと
○ が成立し、これの a[n]→0 (n→∞) となる解を求めると
- 686 名前：684 mailto:sage [2008/09/30(火) 19:10:35 ]
- 訂正になってなかった
a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1])
の一般解は A,B,C を任意定数として
a[n] = 2n + A + B*((1+√5)/2)^n + C*((1-√5)/2)^n
となる。
a[n] = O(n) のはずだから B=0 となる解を求めればよい
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 20:24:23 ]
- >>680
「数学Ａの確率の問題です」という時点で釣りだろう。
答えが１より小さいってのもナメくさっとるｗ
（投稿者が釣られた結果なのかもしらんが）
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 20:50:20 ]
- >>684
隣接4項間の漸化式なので、a[1]の値が確定しないと
それ以上の項が決定できない気がするんだが。
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:29:45 ]
- >>688
a[n] = O(n)という情報があるから、初項に関する条件は少し弱められるのでは？
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:40:46 ]
- >>686
特性方程式はx^4-2x^3+x+2=0
となり、実数解を持たないわけだが。
＞a[n] = 2n + A + B*((1+√5)/2)^n + C*((1-√5)/2)^n
＞となる。
の所でダウト。
- 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:45:20 ]
- 期待値の計算が苦手な俺に
＞a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1])
この式が成り立つ理由を教えてくれ(´・ω・｀)
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:45:54 ]
- あ、全然違った。
>>690は無視してちょ
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:59:15 ]
- >>690
a[n] = (1/2)*(1+a[n-2]) + (1/2)*(1+a[n+1])
と書いた方が分かり易いかもしれない。
つまり、今いる位置でコインを振って、
表が出たら期待値が1増えて2つ右に移動、
裏が出たら期待値が1増えて1つ左に移動。
- 694 名前：647 mailto:sage [2008/09/30(火) 23:16:21 ]
- >>681
> よって6回目の比較で結論が出たとすると、その並び順は多く見積もっても以下の4種類のどれかである。
> E>A>B>C>D,E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>D
上の部分をよく見直してみてください。その訂正を以て、正解です。
- 695 名前：681 mailto:sage [2008/09/30(火) 23:30:34 ]
- >>647
OK,E>A>B>C>Dが重複してるわ
答え：E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>Dの3通り
- 696 名前：681 mailto:sage [2008/09/30(火) 23:33:40 ]
- comment
678のヒントがなかったらあと1週間位の時間を要求していたと思う。
面白かったよ
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 22:39:13 ]
- >>680
ちょうどn回目に上がるパターン数をf(n)とすると、
f(n) = 0 (n=1 mod3)
C(n+2, [n/3]+1) (n=0 or 2 mod3)
だな。[ ] はガウス記号。
あとは Σ[1→∞]n*f(n)/2^n の極限値を求めればいいわけだが‥‥
nCrヲタの出現を待つとしよう。
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 22:42:38 ]
- >nCrヲタ
どんなヲタだｗｗｗ
- 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 22:53:39 ]
- >>697
ちょうど2回目で上がるパターンは1通りしかないが、その式によると
f(2)＝C(4,1)＝4となってしまう。
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 23:08:27 ]
- >>698
nCrヲタって群生体で不等式ヲタで三角関数ヲタでもあるらしい…
- 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 23:20:36 ]
- 俺はnCrでどんぶり飯三杯はいけるぜ
- 702 名前：697 mailto:sage [2008/10/01(水) 23:24:16 ]
- >>699
指摘サンクス。正しくは以下だった
f(n) = 0 (n=1 mod3)
C(n+2, [n/3]+1)/(n+2) (n=0 or 2 mod3)
- 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 23:46:56 ]
- >>701
それは単なる nCr デブだ。
- 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 00:21:09 ]
- 俺はnCrで3回はヌケる
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 00:23:41 ]
- >>704
それは単なるnCrフェチだ
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 00:57:12 ]
- 俺はnCrで三回はコケる。
- 707 名前：697 mailto:sage [2008/10/02(木) 01:07:40 ]
- ついでに>>684の漸化式を、a[1]=aとして解いてみた。
a[n]-a[n-1]-2 = {a[n-1]-a[n-2]-2} + {a[n-2]-a[n-3]-2}
と変形できるので、3項間に帰着される。結果、
p=(1+√5)/2、q=(1-√5)/2 とおくと
a[n] = 2n + {(2p-a)p^2(1-p^n) - (2q-a)q^2(1-q^n)}/√5
となり、確かに>>686のような形になったものの、やはりa[1]の
値が（定数部分にも）入ってきているため、a[1]の値なしには
a[3]を確定できそうにない。
- 708 名前：697 mailto:sage [2008/10/02(木) 01:32:24 ]
- a[n]のオーダーがO(n)になる理由がわからん。
確かにそれを仮定すれば、p^nの項を潰すようにaを決められるな。
- 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 03:56:21 ]
- >>708
a[n]ってのは、言い換えると、原点から出発して最初にn以上の地点に到達するまでの
回数の期待値だから、たとえばa[100ぐらい]=xぐらいならば、
a[200ぐらい]は、100ぐらいに最初に到達した時点を一区切りとみなすと、
100ぐらいに最初に到達したら終わりという試行を２回繰り返すことを考えればいいので
a[200ぐらい]=2xぐらいと言える。
だから、a[n]のオーダーがO(n)という予想は悪くない。
（a[n]がnにかかわらず無限大に発散するのでないかぎり。）
ただ、オーダーってどうやって証明すればいいんだろう。
ちなみに、1回で+2移動なんてのがなければ（例えばその代わりにプラス方向の確率の方が大きいとかなら）
上記の「ぐらい」は全部消せるのだが。
- 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 11:59:43 ]
- 俺には>>702が成り立つ理由も分からんぜ
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/10/02(木) 19:28:42 ]
- 一応出来たっぽい。
B ≠ 0 のとき a(n+1) - a(n) は指数函数的に増加。
B = 0 のとき a(n + 1) - a(n) → 2 (n → ∞)。
従ってこれを大雑把に評価すれば良い。
（初期位置の座標 3-n から）
確率 1/2 で -1 進み、確率 1/2 で +2 進むという試行を繰り返す。
k 回の試行のうち、 t 回目の試行までに
-1 が x(t) 回、 +2 が y(t) 回出たとして
試行中常に 2y - x ≦ n-1 となる確率を p(n,k) と置く。
p(n,k)は k に関して単調減少、 n に関して単調増加。
a(n)
= ∑_{k=1}^{k=∞} k(p(n,k+1) - p(n,k))
= ∑_{k=1}^{k=∞} p(n,k)。
従って
a(n+1) - a(n)
∑_{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)。
2y(t) - 2x(t) ≦ 2k だから 2k ≦ n-1 つまり k ≦ (n-1)/2 のとき
n が充分でかいから p(n,k) = 1。このとき p(n+1,k) も常に 1 となる。
従って
a(n+1) - a(n)
= ∑_{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
= ∑_{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) - p(n,k)
< ∑_{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) < [(n+1)/2] < (n+1)/2
ここで 0 ≦ p(n+1) ≦ 1 、[ ]は整数部分。
つまり a(n+1) - a(n) は高々 n の一次の速さでしか増大しないので B = 0。
従って実際は a(n) ～ 2n、a(n+1) - a(n) → 2。 □
Catalan数使ってどうにか出来ないか試したりして
結局帰宅後すぐ取り掛かって今になるまで掛かった。長かったー、、
- 712 名前：711 mailto:sage [2008/10/02(木) 19:36:31 ]
- 「n に関して単調増加」の直ぐ下を
a(n)
= ∑_{k=1}^{k=∞} k(p(n,k-1) - p(n,k))
~~~~~~~~~
に訂正。
- 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 02:23:35 ]
- >>711
> = ∑_{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
> = ∑_{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) - p(n,k)
のところ
= ∑_{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
= ∑_{k=[(n+1)/2]}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
じゃないのか？
- 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 03:16:40 BE:164279849-2BP(10)]
- あ、そうかも、、
- 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 19:22:32 ]
- 高３だけど、問題自作してみた。
Oを原点とする座標平面上に、どちらも原点Oではない、
相異なる2点A,Bがある。
線形変換（１次変換）f は、
f (OA↑) ＝ 2*OB↑， f (OB↑) ＝ 3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをf によって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。
- 716 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/04(土) 21:57:16 ]
- 【例題】sinθ＋cosθ＝1.5の時､sinθcosθはいくらか？
解答(1)
(sinθ－0.5)の2乗＋(cosθ－0.5)の2乗＝1.5－(sinθ＋cosθ)
sinθ＋cosθ＝1.5を代入して
(sinθ－0.5)の2乗＋(cosθ－0.5)の2乗＝0
sinθ＝cosθ＝0.5
∴sinθcosθ＝0.25
解答(2)
(sinθ＋cosθ)の2乗＝1＋2sinθcosθ
sinθ＋cosθ＝1.5を代入して
1.5の2乗＝1＋2sinθcosθ
∴sinθcosθ＝0.625
解答(1)､解答(2)より0.25＝0.625
どこに矛盾があるのか？
- 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:00:46 ]
- 仮定
- 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:09:01 ]
- 仮定を認めるなら解答(1)の3,4行目
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