★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 20:54:04 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 17:01:03 ] >>205 再受験 このスレで大昔に既出 207 名前：保守奔流　コン mailto:sage [2008/01/27(日) 17:16:07 ] >>187 円周。OA方向を x軸とし OA=a とおくと 0≦a<1, 　{x - a/(1-a^2)}^2 + y^2 = (2-a^2)/{(1-a^2)^2}. 208 名前：保守奔流　コン mailto:sage [2008/01/27(日) 17:17:44 ] >>187 訂正 円周。OA方向を x軸とし OA=a とおくと 0≦a<1, 　{x ＋ a/(1-a^2)}^2 + y^2 = (2-a^2)/{(1-a^2)^2}. 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 17:24:41 ] >>204 慶医落ちでテラワロスってお前・・どこ出身だよｗ 210 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 17:36:23 ] 208さん正解！私はパラメータでときましたが あなたはどうやって？ 211 名前：188 mailto:sage [2008/01/27(日) 17:52:06 ] >188 の訂正 　B[k] = B'[k] - B'[1] + Π[j=2,n] {B'[j] - B'[1]}, 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 18:42:45 ] >>209 慶應理工だ 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 18:43:39 ] >>209 トリニティー・アカデミー 214 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 18:56:07 ] >>212 ちょｗｗおまｗｗ 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 19:30:35 ] >201 示しますだ。 (1)　(1+1/n)^n = Σ[k=0,n] C[n,k](1/n)^k 　　= Σ[k=0,n] n(n-1)…(n-k+1)(1/n)^k (1/k!) 　　= Σ[k=0,n] (1-1/n)(1-2/n)……(1-(k-1)/n)(1/k!)　　…… nについて単調増加だお. 　　< Σ[k=0,n] (1/k!) 　　< 1 + Σ[k=1,n] 1/(2^(k-1))　　　　　　　　　　　(*) 　　= 1 + 2 　　= 3. ∵　k! = 2･3･4……k > 2･2･2……2 = 2^(k-1), (2)　(1)より、(1+1/n)^n はnについて単調増加だから 　e > (1 + 1/k)^k, 　3^(1/k) > e^(1/k) > (k+1)/k, 　(与式) > Σ[k=1,n] (k+1) = n(n+3)/2. 216 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 20:30:32 ] アナキースト コンって本物？ 本物なら模試うp 217 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 22:42:09 ] 高一♂です。2.5時間かけて作りました。 もっと複雑にしようともしましたが、こっちが倒れそうなのでやめます。 頭の体操がてらにどぞ。（一瞬で解かれたら俺涙目） a+b=k (1/2)+(1/a)+(1/b)=k を満たす。（a,b,k:実数） このとき、abの取りうる範囲を求めよ。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 22:47:06 ] >>217 適切なスレで聞き直しておいてやった。感謝しる！！！ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/713 219 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 22:57:06 ] 明らかに偽名の人だから住所もでたらめ ていうか偽名でうけてる人にききたいんだが、自分の住所正確に書いてるのか？ 220 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 22:59:10 ] ちなみに俺はあの文系の奴ではない 俺は理系 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:00:44 ] >>217 k≠1以外の全ての実数 222 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 23:01:55 ] あと偽名はやめとくべき 電話かかってくるぞwww 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:02:04 ] >>221は書き間違えた　kは1以外の全ての実数 224 名前：217 mailto:sage [2008/01/27(日) 23:07:44 ] sage忘れスマソ。 kの範囲ではなく、abの範囲ですよ。 kの範囲だとしても違います。 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:10:06 ] ああ、また書き間違えた、abの範囲が1以外の全ての実数 226 名前：217 mailto:sage [2008/01/27(日) 23:14:39 ] >>225 あとは、a,bが実数という条件を考慮すればおｋです。（判別式≧0） 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:28:37 ] >>226 k(2k^2-k-8)≧0　あと面倒なのでパス 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:32:43 ] 細かい議論除くとab≠0,1って所か 229 名前：217 mailto:sage [2008/01/27(日) 23:35:33 ] では、答えを投下。 ３次式が顔を覗かせますが、因数分解で回避出来ます。 【 ab＜0,(33-√65)/32≦ab＜1,1＜ab≦(33+√65)/32 】 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:37:46 ] 「0^0 = 1」の証明は高校生にはどうだろう 2年ほど前からどこかで出さないかと思ってるんだが 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:48:24 ] 0^0=1とは限らないけどな 色々な定義を与えて、どれも結果が異なって面白いねー ぐらいじゃね？ 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:48:28 ] lim[x->+0] x^x のこと？ どうやって計算させる？ 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:52:33 ] >>231 「0^0≠1」のときってあるえるのか？ 証明間違ってたのかもしれん、 ここにいるのが少し恥ずかしくなってきた >>232 limを使って証明させればいける（いけた）！ ……だったんだが、少し自信なくなってきた 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:54:25 ] >>233 つ0^x 235 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 23:56:03 ] >>222 一昨年仮面中に東大実戦で偽名使ったがかかってこなかった。 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:02:02 ] >>234 「0^0=1」か「0^0=0」かって話だよね そうか…「0!=1」と同じくらいばかげた話だったか 付き合ってくれた人達ありがとう(´・ω・`) 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:06:04 ] 0^0は極限のとり方次第で好きな実数に収束させられた気がする 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:09:12 ] >>237 それに踊らされてたのか この時期になると2年間ﾜｸﾜｸしてたんだけどな じゃあ、万が一出るとしても>>231みたいな出題方式だな 239 名前：アナーキスト コン [2008/01/28(月) 00:20:29 ] うそだー(笑) てか今年多分理科三類あしきりでおちるから来年理科一類で正しい住所書いてうけますwwwwそうすれば文理にアナーキスト コンwww 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:21:39 ] >>238 すぐに例が思いつかなかったのでぐぐったら出てきた まぁ参考程度にどうぞ ttp://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/xtothex1/node2.html 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:27:18 ] >>240 親切にありがとうございます。 飛んだら1回開いたことのあるページでした 何を学んだんだ、あの時の自分は。もうやだーー 242 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 02:00:46 ] 243 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 16:41:16 ] aは正の実数定数とする．xについての3次方程式 　x^3-3ax^2+3(a^2-1)x-a^3-1=0 の正の実数解をg(a)と定める．このとき，任意の正の実数p,qおよび0＜t＜1をみたす実数tに対して 　tg(p)+(1-t)g(q)≦g(tp+(1-t)q) が成り立つことを示せ． 244 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 16:42:15 ] >>243は等号いりません． 245 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 17:01:06 ] >>194 知能指数低そうな奴だな 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 17:15:24 ] >>243 問題あってる？ 247 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 22:02:44 ] >>246 どこか間違ってますか？ 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:19:06 ] >>201 東大の傾向を見れば、e<3の証明とか、log xやe^xの定義に従っての微分とかは今後出そう。 阪大は2003年に誘導つきで円周率が無理数であることの証明を出したとか。 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:47:40 ] >>248 確かに、eの近似もπの近似もlog2の近似も出たし、 定義に従って公式を証明する問題も出た。 だからって、また出るかも、ってのはちょっと短絡的じゃないか。 「次に出る」ものを予想しなきゃ。次は何だ。 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:56:04 ] ζ(2)とか？ 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 23:36:11 ] >>250 案外そういうのは東大はださない 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 23:40:03 ] >>250　札幌医大で昔でた。 253 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 23:47:19 ] ゼータだすとしてもζ(3)の近似値あたりではないかと(阪大が近いのをだしてますが)． ζ(2)とかζ(4)は値が有名ですから東大はむしろ敬遠しそうな気がします． 254 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 00:28:19 ] >>253 ζ(3)の近似の問題おもしろそうなんで作問してください 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 00:54:09 ] （１）（正ｐ角形の一つの内角）＋（正ｑ角形の一つの内角）＋（正ｒ角形の一つの内角）＝３６０度 となる（p,q,r）の組み合わせを全て求めよ。ただし、ｐ≦ｑ≦ｒとする。 （２）正ｐ角形、正ｑ角形、正ｒ角形の３種類のタイルがたくさんある。ただし、ｐ＜ｑ＜ｒで、タイルの辺長は全て同じ。 この３種類のタイルを、一つの頂点を共有し、重ならないように並べる（※）。 このようにして並べ、平面を覆い尽くせる（p,q,r）の組み合わせは？ （３）（２）のように並べた時、正ｒ角形のタイルが占める面積は全体のどれくらいか？ （※） 全ての頂点には、三種類のタイルの頂点が集まっている。 あるタイルの頂点が、他のタイルの辺上に来るようなこともない。 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 09:00:00 ] >>240のように０＾０は不定形だから０＾０＝１ではないと書いている人は ０＾１も不定形であることに気づいていない。 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 10:17:32 ] >>256 普通に0であることが証明できるが。 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 10:30:01 ] ｘ＝ｅｘｐ（−ｔ−（ｔ＾２）ｉ）。 ｙ＝１＋（１／ｔ）ｉ。 ｔ−＞＋∞のときｌｉｍ（ｘ）＝０，ｌｉｍ（ｙ）＝１。 ｘ＾ｙ＝ｅｘｐ（（−１−ｔ＾２）ｉ）。 ｜ｘ＾ｙ｜＝１なのでｌｉｍ（ｘ＾ｙ）＝０にならない。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:02:13 ] 正しいような。正しくないような。 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:19:07 ] 正しいだろ。 そもそも複素数範囲ではx≦0で定義されないし。 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:46:54 ] (e^a)^b = e^(ab) って計算が乱暴な気がする 例えば、a=2πi, b=1/2 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:47:17 ] じゃあこれは？ x=(1-√3)/(1+√3)、y=(1+√3)/(1-√3)のとき、 √{(x^y)/(y^x)}を求めよ。　1998つくば国際大 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:58:50 ] >>261 じゃあ0であることを証明してみろよ 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 12:22:37 ] 複素数の範囲だと x^y=exp(2πk/t-(1+t^2)i) となって k = -[t]t ていう風にとれば x^y → 0 にはなるんだよな。 こう考えていいもんかどうかは知らんけど。 265 名前：261 mailto:sage [2008/01/29(火) 12:30:35 ] >>263 0^1=0 と主張した覚えはないが？ 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 12:41:36 ] >>257 >普通に0であることが証明できるが。 >普通に0であることが証明できるが。 >普通に0であることが証明できるが。 まさか今さら別人だというつもりじゃないだろうな？ 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 13:08:01 ] 複素数の範囲では |x| > 0 に対して x^y = e^(ylogx) と定義される これは、指数関数の周期性より、log の多価性に依らず一意に定まる でもこれは x = 0 の場合を含んでいないから、x = 0 の場合は別に定義しなくてはならない n を正整数とすれば 0^n = (0をn回かけたもの) = 0 と解釈するのが自然な気がする 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 13:10:12 ] 任意の実数 p に対して x(t) = exp(1/t+2π[t]i) y(t) = 1 + i p/(2π[t]) と定義すると lim[t→∞] x(t) = 1 lim[t→∞] y(t) = 1 x(t)^(y(t)) = exp((1/t + 2π[t]i)(1 + i p/(2π[t]))) = exp(1/t-p + i(2π[t]+p/( 2π[t]t))) → exp(-p) で、1^1 が任意の値 p に収束するって言うのは ok? 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 13:22:13 ] x^y の定義に極限持ち込むのは変だろ常考 270 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 13:27:45 ] 今のスレになって急に議論が増えたな 271 名前：267 mailto:sage [2008/01/29(火) 13:47:44 ] 一意に定まらないよね、ごめんね 272 名前：261 mailto:sage [2008/01/29(火) 19:05:03 ] >>266 別人 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 21:22:48 ] △ABC の外接円において、点 A の存在しない側の弧 BC の中点を D、 点 B の存在しない側の弧 CA の中点を E、点 C の存在しない側の弧 AB の中点を F とする。 △ABC と △DEF が合同となるための、 △ABC が満たすべき必要十分条件を求めよ。 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 22:52:20 ] >>243 　(与式) = (x-a)^3 -3x-1 =0, x=g(a) が正の実数解ならば、 　a = g(a) - {3g(a)+1}^(1/3) = h(g(a)), ここに 　h(b) = b - (3b+1)^(1/3), は g(a) の逆関数である。 h(b) は単調増加, h '(b) >0　　(b>0) h(b) は下に凸, h "(b) >0　　(b>0) ∴g "(a) = h "(b) /{h '(b)}^3 > 0, 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 23:11:38 ] >>180 cos の3倍角公式より 　4cos(π/9)^3 -3cos(π/9) = cos(π/3) = 1/2, したがって 　a = 1 + 2cos(π/9) = 2.879385241572… は次式の根。 　x^3 -3x^2 +1 =0, 他の2根をb,c とすると 　b = 1 + 2cos(7π/9) = -0.532088886238… 　c = 1 + 2cos(13π/9) = 0.652703644666… いずれも絶対値が1より小さい。nが大きいとき 　a^n ≒ a^n + b^n + c^n = S_n, S_n は対称式だから、基本対称式の整係数の多項式である。 基本対称式は 根と係数の関係から、 　s = a+b+c =3,　t = ab+bc+ca =0,　u = abc = -1, 　S_0 =3,　S_1 =s,　S_2 = s^2 -3t,　S_n = s*S_(n-1) -t*S_(n-2) +u*S_(n-3), nについての帰納法により 　n≡0,1 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 3 (mod 9) 　n≡2,5 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 0 (mod 9) 　n≡3,4 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 6 (mod 9) S_2008 ≡ 6 (mod 9)　より, 答え 5. 276 名前：274 mailto:sage [2008/01/29(火) 23:20:39 ] 274の続き 　g "(a) = −h "(b)/{h '(b)}^3 < 0　…… 上に凸. よって、Jensenの定理より求める式を得ますだ。 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 00:12:36 ] g''(a)が存在することを示せれば、 g(a)^3-3ag(a)^2+3(a^2-1)g(a)-a^3-1=0をaで2階微分し g(a)>a+1をつかって、直接g''(a)<0がでますね。 278 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 06:50:08 ] 放物線y=ax^2+cは準線に平行に入射してきた光を一点に集束させることを証明せよ ただし入射角は反射角に等しいことは用いてよい。 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 07:08:10 ] 準線に平行に入射する方法が分からない。 280 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 07:09:59 ] そうか準線に垂直に入射だな 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 09:05:57 ] そんな有名問題を東大が出すわけがない。 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 09:57:47 ] >>274 よくこんなの思いつくな。でもこんな問題が入試ででたら誘導つきそう 283 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 10:32:00 ] 陰関数の二階導函数使えば一発やがな 284 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/30(水) 10:58:10 ] >>282 幾何的に解く方法もありますし，そこまで難問じゃないですよ． 285 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/30(水) 15:39:20 ] 平面上に正三角形ABCがある．3本の線分AP,BP,CPの長さを3辺にもつ三角形が存在するとき，Pの存在領域を図示せよ(どのような範囲か説明してください)． 286 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 17:29:20 ] 外接円の円周上以外 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 21:52:03 ] >286 　外接円とその外部、と言いますだ。 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 22:00:04 ] 思いついたので書いてみます。どこかの大学で既出な気がしますが。 関数列f_n(x)を、次により定める。 f_0(x)=logx f_n+1(x)=∫f_n(x)dx （ただし、積分定数は0とする） f_nを求めよ。 289 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/30(水) 22:31:43 ] nは正の整数とする．xy平面上にA(0,0),B(2^n,0),C(2^n,1),D(0,1)を4頂点とする長方形の紙がある． この紙を直線x=2^(n-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる． この新たにできた長方形を直線x=2^(n-2)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる． このようにして，k回(k=1,2,…,n-1)折ってできた長方形をx=2^(n-k-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくっていく． そして，n回折った後に紙を元通りに広げると，山型の折り目がついている箇所と谷型の折り目がついている箇所ができる． (1) 谷型の折り目の個数をnで表せ． (2) 3以上の任意のnにおいて，x=i,i+1,i+2,i+3(1≦i≦2^n-4)における折り目がすべて同じ形となるような整数iは存在しないことを示せ． 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 23:03:46 ] 本番で出たら、問題冊子のメモ部分が蛇腹な人が続出だな 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 23:33:57 ] >>289 東大っぽくて面白いけど問題用紙折ったら答え分かっちゃうね 論証難しそうだけど 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 01:09:07 ] >>289 こういう問題が好きだ。 ただ、ケチをつけると、紙を何回も何回も折るというのは非現実的で、 「無理だろｗ」って突っ込みたくなる。 「ただし、紙の厚みは無視でき、紙は何回でも折ることができるものとする。」 みたいな注意書きがつきそう。 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 08:51:58 ] >>285 一般の三角形で計算しようとしたらわけわからない３痔曲線の地獄が待っていただけだった 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 21:39:57 ] >288 思いついたので解いてみます。どこかのスレで既出な気がしますが。 　f_n(x) = (1/n!)(x^n){log(x) - (1 +1/2 + 1/3 + …… + 1/n)}, 295 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 00:24:23 ] みんな新数学演習やってるか？ 296 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 12:50:14 ] やったけどやる必要なかった気がする 297 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 14:41:23 ] sin【A（n）】＝A（n＋1）、A(1)＝sin【θ】とするとき limA(n)　（n→∞）を求めよ。 298 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 15:11:39 ] >>297 0 宿題？ 299 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 15:44:06 ] >298 証明は? 300 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 15:49:28 ] Integrate[{30-5*exp(-t)}^(-1.5),t] の積分の解法を教えて下さい。。。 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 16:34:43 ] >>299 |x|≧|sinx|を利用 下に有界 簡単杉で東大じゃでねー 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 18:53:27 ] 極限値が存在するから x = sin x って高校の範囲でやっていいんだっけ？ 303 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 19:06:23 ] ほぼ黙認状態じゃね？ 大数も堂々と使ってるし 304 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 20:30:11 ] 新数学演習の整数問題半分くらいじりきでとけないんだが(泣) 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 20:38:14 ] >>304 慣れだ慣れ。知識が増えてそれが繋がって新しい結果が生み出せる 306 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 20:57:43 ] >>289　ﾏﾀﾞｰ？

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