補題 E を実数体 R 上の線形空間とする。 p を E 上の劣線形関数(>>94)とする。 V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で 任意の y ∈ V に対して f(y) ≦ p(y) とする。 a ∈ E - V に対して L = V + Ra とおく。 このとき L 上の線形形式 h で f の拡張であり 任意の x ∈ L に対して h(x) ≦ p(x) となるものがある。
証明 任意の y ∈ V と任意の z ∈ V に対して f(y + z) ≦ p(y + z) = p((y + a) + (z - a)) ≦ p(y + a) + p(z - a) よって f(y) + f(z) ≦ p(y + a) + p(z - a) よって f(z) - p(z - a) ≦ p(y + a) - f(y)
よって、 α = sup { f(z) - p(z - a) | z ∈ V } β = inf { p(y + a) - f(y) | y ∈ V } とおくと α と β は有限であり、α ≦ β である。 α ≦ h(a) ≦ β となるように h(a) を選ぶ。 任意の x ∈ V と λ ∈ R に対して h(x) = f(x) + λh(a) とおく。 >>97 で示したように f(x) + λh(a) ≦ p(x + λa) となる。 証明終
