補題 E を実数体 R 上の線形空間とする。 p を E 上の劣線形関数(>>94)とする。 V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で 任意の y ∈ V に対して f(y) ≦ p(y) とする。 a ∈ E - V に対して L = V + Ra とおく。 このとき L 上の線形形式 h で f の拡張であり 任意の x ∈ L に対して h(x) ≦ p(x) となるものがある。
この証明を述べる前に、その方針を述べる。
λ ≠ 0 のとき、任意の x ∈ V に対して f(x) + λh(a) ≦ p(x + λa) となるように h(a) を定めればよい。
λ ＞ 0 のとき両辺に 1/λ を掛けて f((1/λ)x) + h(a) ≦ p((1/λ)x + a) y = (1/λ)x とおくと、f(y) + h(a) ≦ p(y + a) 即ち h(a) ≦ p(y + a) - f(x)
λ ＜ 0 のとき両辺に -(1/λ) を掛けて f(-(1/λ)x) - h(a) ≦ p(-(1/λ)x - a) z = -(1/λ)x とおくと、f(z) - h(a) ≦ p(z - a) 即ち f(z) - p(z - a) ≦ h(a)
よって f(z) - p(z - a) ≦ h(a) ≦ p(y + a) - f(y) よって f(z) - p(z - a) ≦ p(y + a) - f(y) 即ち f(y) + f(z) ≦ p(y + a) + p(z - a) を示せばよい。 これは f(y + z) ≦ p(y + z) = p((y + a) + (z - a)) ≦ p(y + a) + p(z - a) より出る。
