命題 E を実数体 R 上の前順序線形空間(>>75)とする。 V を E の線形部分空間で E の任意の元 x に対して x ≦ y となる y ∈ V が存在するとする。 f を V 上の正の線形形式(>>88) とする。 f は E 上の正の線形形式 h に拡張される。
証明 V を含む E の線形部分空間 W と W 上で定義された正の線形形式 g で f の拡張になっているものの対 (W, g) 全体の集合を Φ とおく。 Φ の順序 (W, g) ≦ (W', g') を W ⊂ W' で g' が g の拡張である として定義する。 明らかに Φ は帰納的な集合であるから Zorn の補題により Φ には 極大元 (Z, h) が存在する。 E ≠ Z と仮定する。 a を E の元で V に含まれないものとする。 >>89 より h は V + Ra 上の正の線形形式 h' に拡張される。 これは (Z, h) が極大であることに反する。 よって E = Z である。 証明終
