代数的整数論 009

79 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/12/02(日) 00:16:18 ] 命題 E を実数体 R 上の線形空間とする。 P を E の頂点付き凸錘(>>71, >>72)とする。 E の元 x, y の関係 x ≦ y を y - x ∈ P で定義する。 ≦ は E の前順序であり E はこの前順序で前順序線形空間(>>75)となる。 このとき、P = { x ∈ E | x ≧ 0 } である。 証明 >>77 より (1) P + P ⊂ P (2) 任意の λ ＞ 0 に対して λP ⊂ P となる x ≦ y, y ≦ z とする。 z - x = (z - y) + (y - x) ∈ P + P ⊂ P よって x ≦ z である。 P は頂点付きだから 0 ∈ P である。 よって任意の x ∈ E に対して x ≦ x である。 以上から ≦ は前順序である。 x ≦ y なら 任意の z に対して (y + z) - (x + z) = y - x ∈ P よって x + z ≦ y + z (2) から x ≧ 0 なら λ ＞ 0 に対して λx ≧ 0 よって E は前順序線形空間である。 P = { x ∈ E | x ≧ 0 } は明らかである。 証明終

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