- 77 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/12/01(土) 23:07:24 ]
- 命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
E の部分集合 C が凸錘であるためには
(1) C + C ⊂ C
(2) 任意の λ ＞ 0 に対して λC ⊂ C となる
ことが必要十分である。
証明
必要性：
C が凸錘であるとする。
C は凸だから (1/2)C + (1/2)C ⊂ C である。
>>76 より (1/2)C = C だから C + C ⊂ C
C は錘だから (2) が成り立つ。
十分性：
(1) と (2) が成り立つとする。
(2) から C は錘である。
任意の 0 ＜ λ ＜ 1 に対して >>76 より
λC + (1 - λ)C = C + C ⊂ C
よって C は凸である。
証明終
