- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/26(月) 02:12:43 ]
- >>261
> a^b=b^a (a<b) を満たす任意の有理数a,bは a=(1+1/n)^n ,b=(1+1/n)^(n+1)
> (nは任意の自然数)とかけることを証明せよ。
b=ka (k>1) と置いてチョコチョコっと計算すると
a=k^(1/(k-1)), b=k^(k/(k-1)) がわかる。特に a,b が有理数なら k(>1) も有理数
なのでそれを k=1+(m/n) (m,n は互いに素な自然数) と置くことができる。すると
a=(1+(m/n))^(n/m), b=(1+(m/n))*a と書けるから、あとは
[ (1+(m/n))^(n/m)∈Q ∧ n,m∈N ∧ (n,m)=1 ] ⇒ m=1
を示せばよい。そこでまず (1+(m/n))^(n/m) = q/p ( p,q∈N ∧ (p,q)=1 )
と書いて両辺をm乗して分母を払うと (p^m)*((m+n)^n) = (q^m)*(n^n) となる。
(n,m)=1 と (p,q)=1 から少〜し考えると p^m=n^n, q^m=(m+n)^n がわかり、更に
(n,m)=1 から少〜し考えると n も m+n も 「m乗」数であること、すなわち A,B∈N を
用いて n=A^m, m+n=B^m と書けることがわかる。これより m+(A^m)=(B^m) となるので
B^m-A^m = m となるが、B^m-A^m = (B-A)( B^(m-1) + … + A^(m-1) ) が m に一致
するのは m=1,B=A+1 のときだけであることが少〜し考えるとわかる。
よって題意は示されたが、やたら長いので、もっと短い解答をキボンヌ
|
 |
