- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/04(日) 05:00:00 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 05:59:15 ]
- 問題ミスってないだろうな
- 863 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 10:42:19 ]
- >>862
パソコンでグラフだしてみたけど間違ってはいなかったよ
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 12:42:11 ]
- >>861
ちょうぎりぎり
- 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 12:54:16 ]
- π = 3.14 じゃダメなのか？
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 13:06:11 ]
- a,b,cを任意の実数とするとき以下の不等式
sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c)≦1
が成り立つことを証明せよ。
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 13:53:00 ]
- 原点をOとするxy座標平面において、点PとQはa,bを実数として、
P(1+(√2)cos(a) , 1+(√2)sin(a))、Q((3/2)(-1+cos(b)) , (3/2)(1+cos(b)))
であらわされる。また、三角形OPQの重心をGとする。3点O,P,Qが一直線上のときGは、各座標の相加平均であらわされる座標とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) Gの軌跡を求めよ。
(2) Gの軌跡に囲まれる領域の面積を求めよ。
- 868 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 13:57:14 ]
- >>865
πだと成り立ちません．
- 869 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 14:09:36 ]
-
e>1だからx>=0のときe^x>=1で
かつsin3x<=1
しかも唯一e^x=1になるx=0のときもsin3x=0である
だからe^x>sin3x
って違うよね…
- 870 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 14:14:21 ]
- >>865
失敬，質問の意図を勘違いしてました．
π=3.14でも示せます．
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 14:34:34 ]
- >>866
sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c)
≦ max{± sin(a)sin(b) ± cos(a)cos(b)} （複号任意）
= max{± cos(a ± b)}
≦ 1
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 14:58:55 ]
- >>861
f(x)=e^x-3sinxとするとf'(x)=e^x-3cosx
で、0≦a≦πでf'(a)=0となるaがただ一つ存在して、与範囲でf(x)はx=aのとき最小となる。
よってf(a)>0を示せば良いが、f'(a)=0よりcosa>sinaを示せばよく、これはa<π/4を示すことになる。
この時グラフの形からe^(π/4)>3/√2を示せば良いことがわかる。
ここでx,t>0でe^x≧(ex/t)^tが成り立つことから、x=π/2,t=3/2として
e^(π/2)≧(eπ/3)^(3/2)
>(2.7*3.1/3)^(3/2)
=√(2.79^3)>√(11/4)^3>√(81/4)=9/2
よってe^(π/2)>9/2よりe^(π/4)>3/√2が言えるので問題の不等式も示される。
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:37:28 ]
- 未解決問題はどれよ？
MASUDA氏も解かれてない問題は惜しまずに解答出して欲しい。
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 16:31:19 ]
- >>873
探せば山ほどあるさ
提唱者のは別だが
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:03:31 ]
- いずれ
briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856
に載るんだからさ。
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
見たいに。
- 876 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 18:24:41 ]
- >>872
御名答．
実は>>861は99年前期６番が元ネタです．
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:36:11 ]
- 言わなくてもわかるけどね。
- 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:46:28 ]
- >>877
そんなマニアックなこと知らねーよ
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 20:21:50 ]
- 官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：−
御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。
ハイテク筏かどうかは不明！
決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！
語学力（英語で充分）を磨こう！
目標は、７万語の語彙だ。
"Word Power Made Easy"www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！
尚、同署が読みこなせない者は「試験に出る英単語」から初めよ。完全にますたーするのだ。
恩大は某スレで、こんなことをおっしゃっている：−
Yo(余) ni dekita koto ga sochi-ra ni dekinu wake ga
arouka ! ! ! !
Onaji Mama kutte Doko tugau（違う）！！！！
尚、尚、尚のそのまた尚、「完全にマスターする」の定義だが、眠っている
時に見る夢が英語になった場合を言う。
以上！ 恩大に向かって敬礼！！！！！ Yes Sir と呼べ！
- 880 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 20:40:07 ]
- ある円の円周を2色に塗り分ける．このとき，PQ=QR(≠0)をみたす同じ色の3点P,Q,Rが円周上に必ず存在することを示せ．
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:16:56 ]
- >880
円周の5等分点のうち、3つ以上は同じ色である。
あとは P,Q,R をうまく選べぶだけだな。(終)
- 882 名前：881 mailto:sage [2008/01/05(土) 21:48:44 ]
- 【選べぶ】永良部ことができるのを示す、の意。
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:48:55 ]
- これなら東大入試問題として適当か？
x_1, x_2, ........ , x_n の対称式は、基本対称式の整式として書き表される事を示せ。
- 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:51:43 ]
- >>883 ネタであることを祈る
- 885 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 21:53:21 ]
- Sin（A+B）って英語では、Sine A Plus B といいますよね。
じゃあ、SinA ＋ B は何て言いますか？？？
Sin（A+B）とSinA＋B の違いが・・・わからない・・・
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:54:09 ]
- >>883
もっと東大の出題傾向調べてから書き込め。
- 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 22:07:20 ]
- x,yは -π≦x≦π、-π≦y≦π を満たす。このとき、次の不等式を満たす領域の面積を求めよ。
sin(x+y)+sin(x)+sin(y)+1≦0
- 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 22:24:34 ]
- >>885
sinA+Bだと・・・？
- 889 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 22:47:31 ]
- www.h5.dion.ne.jp/~terun/
コイツ馬鹿だわまじで
- 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 22:48:49 ]
- >>861
exp(x) は下に凸、sin(x)は上に凸だから、 それらに傾きが 3/√2 =a の接線を曳く。
exp(x) ≧ a*{1 + x-log(a)}, … x=log(a) で接する。
3sin(x)≦ a*(1 + x-π/4), … x=π/4 で接する。
辺々引いて
exp(x) - 3sin(x) ≧ a*(π/4 -log(a))
= a*{(π/4) -log(3) +(1/2)log(2)}
= a*(0.785398 -1.098612 +0.346574)
= a*0.0333595…
結局 >872 と同じだ....orz
- 891 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 23:05:56 ]
- >>885
Sine A plus B は Sin (A+B)だけど、カッコがどこまでかかるのかが英語だと分からない
Sin(A)＋Bって英語で言いたい時も、Sine A plus B なのか？
っていう事を言いたいんだと思われ・・・
two over n plus two といった場合も、2/n + 2 なのか 2/(n+2)なのか
わかんないといいそうだな・・・
- 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:08:52 ]
- >>883>>884
ネタじゃないよ、マジだよ。
加法定理の証明が出るくらいだからこれくらい出てもおかしくない。
今年出てもおかしくない。
お前出来ないのか？
- 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:11:19 ]
- >>892
最後の一行が余計だったね
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:20:36 ]
- 多項式Ｐｎ（x）（ｎ＝0、1、2、・・・・・）を、次のように定義する。
Ｐ0(x)=1
Ｐn+1(x)=Pn(x)( 1 + 2xPn(x) ) ( n=0,1.2・・・・・)
（1） Ｐn(x)の１次の係数を求めよ。
（2） Ｐｎ(x)の次数を求めよ
- 895 名前：888 mailto:sage [2008/01/05(土) 23:23:19 ]
- >>891
そもそも三角比と角度（度数法でも弧度法でも可）の四則演算なんて出来るのか？
- 896 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 23:33:24 ]
- >>892
高校で扱う基本対称式は3次までと決められていますから，京大で出題されることはあっても東大ではありえない出題です．
- 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:36:28 ]
- >>883
高校生じゃよほどの数学マニアじゃない限り示せない
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:47:52 ]
- >>895
弧度法ならおｋ
度数法は・・・無理だろｗ
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/05(土) 23:47:56 ]
- >>896
そうなのか？昔は受験で証明無しで使った様な記憶があるが
- 900 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 23:58:38 ]
- >>899
昔は３次までの制限はなかったかもしれませんが，現行課程では３次までと決められているんです．
東大はカリキュラムには従順ですからはみ出て出題はしないでしょう．
- 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:ｓage [2008/01/06(日) 00:23:34 ]
- >東大はカリキュラムには従順ですから
東大キライ
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:29:32 ]
- つーか高校数学で基本対象式なんてやるのか？
俺は佐武の線型代数学で初めて知ったんだがｗ
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:39:01 ]
- 正八面体を1つの平面で切断するとき
切り口に七角形以上の多角形は生じないことを証明せよ。
- 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:54:01 ]
- >>903
二本づつ平行な辺があるので8-2=6角形まで
何かおかしな日本語になってしまう
- 905 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 00:59:25 ]
- >>902
基本対称式という名前は登場しませんが，数１の数と式，数２の式と証明で学習します．
ベクトルの一次独立という名前が教科書に登場しないのと同じようなものです．
- 906 名前：904 mailto:sage [2008/01/06(日) 01:05:55 ]
- 訂正
どの面にも平行な面があるので8-2=6角形まで
- 907 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 03:01:50 ]
- >>905
普通に教科書に一次独立ってかいてありますが。
じゃないと係数比較できないじゃん
- 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:10:38 ]
- 書いてない教科書もある。
書かなければならないとは決まっていない。
入試問題に1次独立という言葉は出てこない。
- 909 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 04:11:18 ]
- MASUDAがツマラン事云うからこのスレが面白くなくなる。
別に旧課程でも旧旧課程でも面白くて難しい問題が提供されれば良いではないか？
京大風とか、昔の私立の奇問・難問でも良い。
MASUDAはこのスレの平均年齢が何歳だと思って居るんだ。
当然ながら全員が高校生でもなければ、全員が塾講師でもない。
MASUDAは問題だけ提供すればよい。但し、良くミスるから、二週間経ったら
解答を書くこと。出来れば出題の背景にある数学理論なども公表して欲しい。
MASUDAもこの板、このスレから有益な情報を得ているのだろう。
お互い様だ。皆が楽しめればよい。自分だけ良い子になるな。
受験生の為のことが書きたかったら受験板に行け。
MASUDAに限らず、コテハンは態度が悪い。
このスレの良い点は、いわゆる２ちゃん用語が少ないことだけだな。
- 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:17:58 ]
- 確かに高校の範囲外だ何だとうだうだ言うのはうっとうしいな。
別に範囲外でもいいじゃないか。
でもぶっちゃけ>>883は面白くないけどな。
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:19:44 ]
- それなら他にある難問スレみたいなとこへ行けばいいじゃまいか
- 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:39:02 ]
- そうやってすぐに名無しで自己正当化。
- 913 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 06:50:54 ]
- x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2=1の条件の下で
x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1の最大最小を求めよ
- 914 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 06:55:48 ]
- Σ[r=0,n]nCr(-1)^r(2-r)^nを求めよ
- 915 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 08:24:14 ]
- >>911
難問ならいいという訳でもないし、第一難問スレと言っても問題専門のスレは
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
位で、後は各専門分野のスレで質問として提出するくらいだろう。
前提知識も、現行課程から旧々々課程の数学全体程度だろう。
問題の難易度も、私の様なオッサンなら、長くとも一週間掛けて解ける程度だろう。
だから二週間回答が付かなければ出題者が解答例を出して欲しいと云っているのだ。
解答が出れば別解も色々思いつくだろうし、
一見に似てもにつかない類題も沢山出来るだろう。
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 08:28:34 ]
- なけりゃ立てればいいじゃん
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 08:49:47 ]
- >>916
俺に云うなよ、お前立てろ
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 08:51:21 ]
- >>913
(x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1) - (x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2-1)
= (-1/2){(x1 - x2)^2 + (x2 - x3)^2+ ... + (xn-1 - xn)^2 + (xn - x1)^2} + 1
x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1
誤答例 ： 回転対称性より、x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1
所でMASUDAさんに伺いたいが極値を求める時は○○の時、極大値××と書くのが慣習だが、
詳しく書かないと減点なのか？
最大最小の時は××だけで正解（満点）なのか？
- 919 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 10:29:18 ]
- >>909
私も面白いならいいと思いますが>>883の方は「東大でも出る」などとおっしゃっておられたので指摘したまでです．
一応受験生も少なからずおられるのでね．
- 920 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:32:32 ]
- a[n]={(n!)^1/n}/n, n = 1, 2, 3, ... と置くと、
(1) 数列 {an} は狭義単調減少数列であることを示せ。
(2) 極限値を求めよ。
- 921 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:35:59 ]
- Σ[r=0,2n](2nCr)^3*(-1)^rを求めよ
- 922 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:36:02 ]
- >>920
死ね
- 923 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:39:42 ]
- >>919
そこは高校範囲外じゃダメだとアンタには貫き通してほしかったんだが
範囲外だと逆に面白くないだろ 他にもそういうスレはいくらでもあるし
無駄に範囲外を乱発する輩も最近いっぱい出てスレが冷めたからな
ルールがあるからこそ面白い問題になると俺は思う
そのためのスレタイだろ
- 924 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:48:17 ]
- >>920
このスレで既出
- 925 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:54:12 ]
- >>923
言いたいことは分からなくもない
大学範囲をだされるとなんか冷める
でもせめて旧課程くらいは認めてもいいんじゃね？
- 926 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 11:02:33 ]
- >>915
なら提示しているscience6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/にお前が行けばいいだけじゃん
単に居座りたいようにしか見えないが
- 927 名前：920 [2008/01/06(日) 11:14:08 ]
- 今確認したところ613に同じ問題がありましたね
すみませんでした
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 11:47:36 ]
- >>927
同じじゃなくてちょっと細かくなっている。証明を見て精密化したのだろう。
だから答えを書いて欲しいと云っている。
- 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 12:41:57 ]
- >>913
www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
問題１２５
>>914
www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
問題１９４
>>920
www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm
問題２１５
>>921
www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm
問題２３３ｗ
解答の付いていない問題ばかりだが、入試範囲って保証はあるのかよ。>>921は明らかに範囲を超えた（高校生にとって）超難問だと思うがｗ
答えが知りたいんだったらそのページで聞いたら？ｗ
- 930 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 13:14:02 ]
- >>928
？
- 931 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 14:08:59 ]
- 1,／2,4,／3,6,9,／4,8,12,16,／…
という数列{a[n]}(n=1,2,…)がある．ただし，第k群は初項k，公差k，項数kの等差数列である．
また，正の整数mに対して，f(m)を数列{a[n]}にmが現れる回数とする．
m≦2008かつf(2m)=2f(m)をみたすmの個数を求めよ．
- 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 14:43:34 ]
- >>931
982個
- 933 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 14:48:19 ]
- >>932
不正解です
- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 15:10:26 ]
- >>929
www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#125
と書けよ
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 16:01:09 ]
- >>931
m=2もか orz。983個
- 936 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 16:09:22 ]
- >>935
正解です．
- 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:46:54 ]
- 日曜のこの時間帯はみんなテレビ見てるんだなぁ
- 938 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 21:29:56 ]
- θ=2π/7 として
cosθ＋cos(2θ)＋cos(4θ) = -1/2
sinθ＋sin(2θ)＋sin(4θ) = (√7)/2
を示せ
- 939 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/07(月) 02:05:50 ]
- xについての方程式
4x^2 - 4x - 1 = 0
の2解をα,βとする．xについての整数係数2次関数f(x)があり，a,bを整数として
f(x)=x^2-2ax+a^2-2b^2
と表されるとき，適当な整数(m,n)が存在して
f(mα+nβ)=0
とできることを示せ．
- 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 05:20:12 ]
- α<βとする。
mα+nβ=(m+n)/2+(m-n)√2/2
であるから、
(m+n)/2=a, (m-n)/2=b
とすれば十分。
すなわち、m=a+b , n=a-bとすればよい。
- 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 05:34:55 ]
- α＞βだった。
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 06:03:00 ]
- >>938
上の式を A，下の式を B とすると
A * 2sinθ= -sinθ
∴ A = -1/2
B^2 = 3/2 - A/2 = 7/4
sin(2θ) > 0, sin(4θ) = -sin(θ/2), sinθ > sin(θ/2) > 0 より
B > 0 だから B = (√7)/2
>>939
>>941で解かれてるが
α＞βとして α=(1+√2)/2, β=(1-√2)/2
f(x) = 0 を解くと x = a ± |b|√2
m=a+|b|, n=a-|b| とすると m, n は整数で， f(mα+nβ) = f(a + |b|√2) = 0
だから確かに題意を満たすような整数の組 (m, n) が存在した。
なんか面白い背景がありそうだな。
- 943 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/07(月) 06:03:23 ]
- a[1]=3,a[n+1]=Σ[k=1,n]a[k]a[n-k+1]
でa[n]を定める.一般項を求めよ.
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 07:51:15 ]
- 1つの内角が120ﾟである三角形で、
各辺が最大公約数1の整数であるような三角形は
無数にあることを示せ。
- 945 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/07(月) 08:05:53 ]
- dxdy.blog4.fc2.com/
|
 |
