代数学総合スレッド Part4

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/25(土) 09:00:00 ] 代数に関する話題全般のスレッドです。 代数学総合スレッド science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/ 代数学総合スレッド Part2 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/ 代数学総合スレッド part3 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 20:42:12 ] >>262 で？>>247で指摘された矛盾はどうなったの？ 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 20:47:07 ] >>263 単なる私の間違い。 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 21:16:08 ] じゃあ、>>227は間違っているでＦＡですね。 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 22:55:02 ] これにて一件落着ですか。 2chでこういう風に円満に終わるのは珍しいな。 267 名前：257 [2008/02/16(土) 00:30:35 ] >>258 ていねいな解説ありがとう。 もう一度頭の中整理します。 268 名前：257 [2008/02/16(土) 00:32:38 ] レス番号間違えました。 >>258 X >>260 ○ 269 名前：257 [2008/02/16(土) 00:43:18 ] >>258 >「そのへん」とは？ Q(a)でaが√2なら、1/(x+√2y)の分母は簡単に有理化できるので、 Q(a)が2次拡大になることが簡単にイメージできます。 aが一般的な代数的数の場合、1/(x+ay)の分母を有理化するのは、 簡単ではないと思うのです。 そういう場合に、 Q(a)が有限次拡大体であるというイメージがわかないのです。 1/(x+ay)がどんな線形結合になるのかのイメージが持てません。 Q(a)が無限次拡大になる可能性はないのかも気になります。 だれか詳しい人、アドバイス下さい。 270 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 01:03:57 ] Q(a)=Q[a]を証明して理解していないから、いつまでも分からないんだよ この等式はQ[X］が単項イデアル整域であり、単項イデアル整域の ゼロでない素イデアルが極大イデアルであることから、 Q[a]が体となることがわかって、出る。 Q[a]はQ上有限次元のベクトル空間となる。しかも aのベキを基底としてとれる。これから上記のようなことも 解決できる。 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 01:06:17 ] >>269 なんか拡大次数について壮絶に変な理解をしてるように見える。 272 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 01:09:31 ] まあ２６４が一連の馬鹿レスを書いたので 分からなくなったんじゃね？ 273 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 01:34:03 ] >>270 Q[a]の記号の意味、教えてください。 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 01:51:43 ] >>273 Q[a]は、aを変数とするQ係数の多項式全体。 Q(a)は、aを変数とするQ係数の有理式全体。 275 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 02:11:35 ] Q(a)=Q[a]は多項式=有理式 という意味でしょうか？ 理解してませんでした。 もう一度、頭の中整理します。 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 02:28:35 ] >>269 aのQ上最小多項式をf(x)とすれば、f(a)=0であり、 f(a)=(x+ay)g(a)+q=0 (g∈Q[a], q∈Q)と 表せば、1/(x+ay)=-g(a)/q。 じゃダメ？ 277 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 03:16:45 ] >>276 なるほど。 イメージわいてきました。 278 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 08:00:58 ] また妙なのが沸いてきたな（２７６のこと） 279 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 08:03:37 ] 結局、276の考え方でいいのかな？ 280 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 08:05:58 ] ｗWWWWW 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 08:28:55 ] 276 は単に 1/(x+ay) を書き下しただけで 考え方も何もないんだけど 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 08:43:44 ] Q(a) = Q[a] は Q[a] が Q 上有限次で整域であることからも出る。 f ∈ Q[a] で f ≠ 0 なら g ∈ Q[a] に fg ∈ Q[a] を対応させる 写像は Q 上の線形写像である。Q[a] は整域だからこの写像は単射 である。Q[a] は Q 上有限次だからこの線形写像は全射でもある。 よって fg = 1 となる g ∈ Q[a] がある。即ち Q[a] は体。 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 08:52:11 ] 実際に f(a) ∈ Q[a] が与えられたときに f(a)g(a) = 1 となる g(a) ∈ Q[a] を求めるにはユークリッドの互除法によるのがいい。 a の最小多項式を F(X) とする。 f(a) ≠ 0 なら f(X) は F(X) で割れない。 F(X) は既約だから f(X) と F(X) の最大公約多項式は１である。 従ってユークリッドの互除法から f(X)g(X) + F(X)G(X) = 1 となる 多項式 g(X) と G(X) がある。 このとき、f(a)g(a) = 1 となる。 284 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 11:22:13 ] 276は前に馬鹿にされていた奴だろ？ｗ 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 11:49:21 ] 念のために書き込んでおくが>>276と>>264(=私)は同一人物ではない。 私はこのスレに>>264以降今まで一切書き込んでいない。 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 12:05:25 ] アホなレスがあるとやたらに活気付くなｗ お前等、普段不幸なんじゃないの？ 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 12:49:35 ] 俺が出品してる本も買ってくれよ！ 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 18:23:54 ] にゃ 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 21:48:09 ] PJCの本の第二版ｷﾀー 今から読むぉ 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 23:26:51 ] PJCって何？ 291 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 03:41:25 ] それにしても>>206のいう a、bが代数的数なら、abとa+bも代数的数 の初等的な証明はないのかね。 やはり体論を使うのが１番初等的なのか。 これより初等的な証明はなかったのか。 何か外伝がある気がしてならないんだが。 考えれば考える程難しい。 292 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 07:37:16 ] Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間で その基底が 1, a, ab, a^2・b,..., b, ab, ab^2,... c=a+b(or ab)としてcによる掛け算は Q[a,b]の一次変換だから Q-係数の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。 #警告！２ちゃんねるは有害です。 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 08:29:24 ] Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間 これはどうした？ 294 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 09:19:24 ] aの任意のベキ乗は、最小多項式の次数未満のベキ乗の一次結合で書ける。 bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。 #警告！２ちゃんねるは有害です。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/17(日) 09:53:23 ] >>294 >bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。 要するに [Q[a] : Q] と [Q[b] : Q] が有限だがら [Q[a,b] : Q] も有限と言ってるわけね。 これは何故？ 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/17(日) 09:56:10 ] >>292 行列式使わなくてもいいけどね。 c が代数的でないと Q[c] は Q 上無限次になる。 297 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 10:46:27 ] アホすぎｗ 298 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 10:47:54 ] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　亠ｧ厂|　　　　　　　　`':,;..:..:.';.　　　　 ;'..:..:.,:' 　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 ‐个 兀　　　　　　　　　　`:;:.::.':.,　　　,':.::.:,:' ｀.:`.:''''..:.‐ :.:-:.:...,,,,　__　　　､‐-、　　　　　　　 __ 　　,.‐z_,-､　　 '':;;:::':, ,...;'::..:,;'　　,,.:': ..:..:...:..:..:...:...:...:.:..:...:...:..:.｀＿,,ﾉ　└¬､'''.:.:‐:..,,ヾ､__)∠,ｨｸ ／,、　　　';:''..:.:..:..:.:..:.'':;'':.:.,;. .:..:...:..:..:...:...:...:.:..:...:...:..:.ヾ､_　　　＜^'".:..:..:.:..: ＜`ヾ´~_　 _~´ 〉'''':.::.;':.::...:.:..:..:..:...:.:.';'　,, ..:..:...:..:..:...:...: ,,;,;,;,,;:..:..:.:.:..: /　/＼　`ヽ､..:..:.:..:..:_ブ∧ ‐　‐　/.:.:..:,;,::';..:..:..:.:..:..:..:...:.:.:''´:.: :..:.:..:..,.:-〜' , ､ｍ_）°.:.:.'ｰ-'..:..:..:`ｰ--',,;,;::.:.:ヽ､_i (_,/しﾍﾍ_） ´　　'::;.:.::.:..:..:..:..:.:..,;'｀ '' ,;,,;,;/　　＜て_;:､｡.:° 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[2008/02/17(日) 23:06:34 ] a, b 各々の最小多項式の次数を m, n とおく。 環 Q[a,b]の任意の元は 1, a, b, ab,... a^(m-1)・b^(n-1) の Q-係数の一次結合で書けるから、Q[a,b] は Q-ベクトル空間として有限次元。 c=a+b (or ab) として c による掛け算は Q[a,b] の一次変換だから Q上の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。 #警告！２ちゃんねるは有害です。 303 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 23:08:07 ] モデレータの人に質問です。 煽ってスレを伸ばすといくら貰えますか？ 304 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/19(火) 04:45:48 ] つ�I 305 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/19(火) 20:58:44 ] 代数学を基本(群から)やり直したいんですがお勧めの本ありますか？ 306 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/19(火) 21:05:17 ] >>305 洋書ならArtinかDummit-Footが良い。非常に教育的にできてる。 Langはありとあらゆることが載ってるけど理解してる人向けの辞書 みたいなものだから通読には向かない。 和書だと良いものがすべて絶版になってて良いものがないかもしれない。 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:39:47 ] Dummit-Footeね 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:56:16 ] >>305 岩波講座基礎数学の「環と加群」が良い。 読むにあたって必要な予備知識が少ない(集合を知らなくても読める)。 自己完結していて他の本を余り参照しなくても読める(と思う)。 手に入りにくいがまずはこれを通読し精読するのが良いのではないかと。 ちなみにこれには他の本に書かれていない内容がかなり書かれている。 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 01:49:22 ] >>308 ゴタゴタしていて、ちょっとセンスが古かねぇーか。 概要がつかみにくいって印象がする。 ウェルデンの本の方みたいに読み易いといいのにね。 310 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 02:26:22 ] 和書ではArtinやDummit-Footeに当たるようなのがないね。 松坂「代数系入門」は内容が薄いし、森田「代数概論」はレジュメみたいだし、 親切な〜とかゆとりチックなのがいくつかあるけど薦めるのもどうかと思うし。 教室で口伝えで学ぶ学問なのか。 代数学を学ぶ上で良書がないことが初学者にとって障壁になってるんじゃないか と思うほどだ。 311 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 04:27:49 ] オイラー全集が最強 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:29:58 ] 堀田のが、最高。簡潔でいいよ。 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 07:08:25 ] 夜公園の砂場で前方後円墳を作って遊んだ すげえ楽しかったｗｗｗ こういう気持ちを忘れたくない。 314 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 14:58:05 ] ハンガーフォードや六と万もえーでー オレも山崎は好きでない（系が多すぎる）、ラムの方がいい 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 16:41:06 ] 堀田の「代数入門」（裳華房）や「可換環と体」（岩波）はエレガントでいいよね。 ただちょっと例が少ないような気がする。 316 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 17:01:39 ] 初心者には永田先生の可環体 317 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 17:14:56 ] 堀田さんはそんな本を書くよりも 論文を書くべきだったな ここ20年も論文を書いていない 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 19:34:10 ] ホモロジー代数が載ってないからダメ 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 20:08:18 ] そんな一冊で何でもかんでも書いてある本要求してもねえ 320 名前：大嘘つき [2008/02/21(木) 01:22:12 ] なんといっても、岩波の数学辞典に限る。 載っている定理に証明をつけていけば、よい演習になる。 321 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/26(火) 00:45:11 ] 体Ｋ上代数的な元ｓ，ｔを添加した体Ｋ（s，ｔ）と Ｋ（s＋t）は一致しますか？ 322 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/26(火) 00:50:31 ] s=2^1/2,t=1-2^1/2なら？ 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/26(火) 01:06:16 ] なるほど。では，Ｋに対してＫ（ｓ，ｔ）とＫ（s＋t）が共に同じ拡大次数を持つ場合は　 どうなんでしょう 324 名前：禿げしく一致する [2008/02/26(火) 03:53:11 ] あ あ く だ ら ん 325 名前：有馬 ◆13wx.ARIMA mailto:有馬 [2008/02/26(火) 12:13:02 ] ホモ(*´з｀) 露自慰代数 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/26(火) 14:18:38 ] >>323 マジレスすると、Ｋ(s＋t)⊆ Ｋ(s, t) だからK上の拡大次数が一致するなら （ベクトル空間の次元の一意性より）両者は一致する。 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/27(水) 11:00:58 ] マジレスでなくとも糞レスでも自明 質問者自体が質問して暫くのちに自己解決しているのが普通 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 12:11:17 ] 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　〜⌒ヽ. 　　　　　 　　_.〜⌒ヽ.　 　('A`)〜´ ｀ヽ._.′　　　 ヽ._.〜~ ｷﾀ〜´ ｀ヽ._.′　　　　ヽ._ﾉ 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 21:58:37 ] 代数の教科書でDummit-FooteのかCohnのかで迷ってるんですが、どっちがいいんでしょうか？ 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:11:15 ] 好みの問題だが、個人的には Dummit-Foote のほうが読みやすいと思う 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:38:59 ] >>330 いまPJCの代数入門で準備運動してるんですけど、 PJCのfurther readingではCohnかLangかな？みたいに書いてあって、 >>306みたいな指摘があってちょっと迷ちゃってるんですよね。 どうしよ、、、、。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:50:38 ] 図書館で両方目を通してみて自分に合いそうなほうを読めばいいじゃん。 誰かにこっちを読めって言われないと安心できない年頃？ 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/17(月) 00:16:56 ] >>332 んー、フィーリングの話じゃないんですけど、まあCohnにしますわ。 334 名前：295 mailto:sage [2008/03/17(月) 07:46:03 ] 群は簡単な概念だと思うけどなあ。 このどこがわからないのかがわからない。 群っていうのは最初は置換群だと思っていればいい。 抽象的な定義から入るからわからないのかもしれんな。 335 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/21(金) 02:42:48 ] 痴漢の群れ(;´Д`)ハァハァハァハァ/lァ/lァ/lァ/lァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ ノ ＼ア ノ ＼アノ ＼ア ノ ＼ア 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/21(金) 09:53:37 ] n×n行列のなす代数(algebra)に対して、 生成元の個数の最小値を評価したいのですが どうすればよいのでしょう？ 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/22(土) 14:43:57 ] >>336 Bruhat-Tits buildings について勉強すればいいよ。 338 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/26(水) 08:15:32 ] >>337 日本語の本でよいものはありますか 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/27(木) 22:13:20 ] >>338 あったら俺が欲しい。 とりあえずブルバキの『リー群とリー環3』。 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 02:55:15 ] >>338 確か、鈴木道夫の群論上に Bruhat-Tits buildings の基になる組合せ論的なことが書かれている。 だから、これを読めば良いんじゃないか？ 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 22:57:35 ] おっぱいの建物って何？ 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 20:43:44 ] 質問です。 環Rに対し、R 以外のイデアル全体の集合は、包含関係による順序が入るため、ツォルンの補題より、任意のイデアルはある極大イデアルに含まれる。 とwikipediaにあるんですが、ツォルンの補題をどう使っているのかわかりません。 一体どの集合が帰納的順序集合なんでしょうか？ また、任意のイデアルを取ったときに、そこからイデアルの無限増加列が取れればこの議論はまずいのでは、とも思ってしまうのですが。 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 21:11:50 ] >>342 自然数の集合に無限大を追加した順序集合は 無限増大列が存在してかつ極大元が存在するだろ。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 21:11:51 ] 鎖（帰納的順序集合）ってのは順序集合の中の全順序な部分集合なんだから 順序が定まったらどの集合が鎖なのかは定まる。 イデアルの増加列に対してはその全体の合併集合を取れば良い。 無限か有限かはあまり関係無い。 345 名前：342 mailto:sage [2008/04/05(土) 22:15:32 ] 回答ありがとうございます。 まだわからないところがあるので重ねて質問します。 任意のイデアルを取り、“それを含むイデアル”の族Aが帰納的順序集合であるという流れだと思いますが、 そのためにはAの中の全順序な部分集合が上界をもたなければならず、 そこで無限大や合併集合を考えるとAに含まれない上界になってしまって帰納的順序集合の定義からはずれることになりませんか？ 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 22:23:25 ] >>345 合併集合はAに属すると思うが。 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 22:50:43 ] 考えてみたら属しますね。解決しました。 回答してくださった方々、ありがとうございました。 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/06(日) 06:46:51 ] 何がわからなかったのかがわからん。 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/07(月) 18:05:34 ] ｌܷܷܷܵܶܶ 350 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/26(土) 00:19:22 ] 符号理論の理解を補助するために ガロア体の知識を増やしたいんですが、ちょうどいいやつってありませんか？ 群環体の基本事項は一通り勉強したことはあるんですが 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/26(土) 00:20:20 ] Algebra artin注文した 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/28(月) 23:19:41 ] >>351 結構癖が強いぞ。いやになったらdummit-footeもよろしくな 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/28(月) 23:34:30 ] ほかにもLamとかも在るよね。 Zariski-Samuelの一巻とかも代数学の教科書として意外と良いらしい。 これ二巻まで読んだら松村の可換環論に進めるかな？ Atiyah-Macdonald先に読むべきなんだろうか 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/29(火) 12:55:53 ] LamのNon commutativeの方の問題集が手に入らないorz。 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/13(火) 02:39:42 ] 結合律を満たす二項演算の群表上には、何か視覚的な特徴ってあるでしょうか 例えば、可換であるためには主対角線に関して対称になっているような よろしくお願いします 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/13(火) 03:01:02 ] >>355 見やすい条件は、特に知られていない。 言い換えると、ある表があたえられたとき、それが群表であるか （特に、結合率を満たすか）、をチェックするのは、本質的には 全部の３つ組について確かめるくらいしか知られていない。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/13(火) 03:02:05 ] >>356 ありがとうございます 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 23:08:30 ] 細かいことは忘れたが、ある代数系（束と群を融合させたようなの）で、 ある命題の反例を作り出すことに躍起になったことがあった。 その時に最も厄介だったのが、結合律を満たすように万障繰り合わせる 作業だったということだけは鮮明に覚えている。 359 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/18(日) 09:29:58 ] age 360 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/21(水) 23:16:33 ] 別スレから来ました。全行列環上の加群について教えて下さい。 例えばKを体として、Rを３次全行列環M3(K)とします。このとき３次正方行列M＝ K K 0 K K 0 K K 0 は右R加群だが、３行２列行列N＝ K K K K K K は右R加群ではない。これは正しいでしょうか？ MとNはK加群（６次元Kベクトル空間）としては同型ですよね？ 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 08:59:41 ] >>360 （前半） あなたはR加群をどう定義してるの？ ふつうの流儀でふつうに作用を入れると同型になると思うけど。 （後半） Yes 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 09:12:29 ] >>360 どちらも右Ｒ加群にはなりません。 363 名前：360 [2008/05/22(木) 12:15:59 ] >>361 ありがとうございます。 行列の積をRからの作用として右R加群を考えています。 これが間違いなのでしょうか。 >>362 ありがとうございます。 Ｍ，Ｎとも左R加群になるのはわかりますし、Nが右R加群にならないのもわかります。 しかしMが右R加群にならないのがわかりません。 やはりRからの作用の定義に問題があるのでしょうか？

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