- 227 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/14(木) 15:58:06 ]
- しょうがないな。真面目に書くか。
a+b、abが共に代数的数ではないとする。
次数がn次の任意のモニックな有理多項式をf_{n}(x)とする。
すると任意のモニック有理多項式f_{n}に対して
f_{n}(a+b)=0ではなく かつ f_{n}(ab)=0 ではない。
n=1のとき。このとき任意のc∈Qに対して
a+b=cではなく かつ ab=cではない。
然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
モニック1次式の積に分解されるあることに着目すればa、b
は共に或るモニック有理多項式の根である。
よってa+b、abは共に有理数である。
故に或るf_{1}(x)が存在して f_{1}(a+b)=0。
同じく或るf_{1}(x)が存在して f_{1}(ab)=0。
今、n≧2であったとして
或るf_{n-1}(x)が存在して f_{n-1}(a+b)=0 かつ 或るf_{n-1}(x)が存在して f_{n-1}(ab)=0
であったとする。すると
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0 かつ 或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
nに関する帰納法により任意のnに関して
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0 かつ 或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
然るにこれは最初の仮定に反する。
従って背理法によりa+b、abは共に代数的数である。
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