- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 18:50:59 ]
- >>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0, c+a-b = b' >0, a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように s = a'+b'+c' = a+b+c, t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。
ハｧハｧ
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 19:19:09 ]
- >>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 20:11:59 ]
- さすが。
- 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 21:13:11 ]
- 問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
- 676 名前：671 mailto:sage [2008/11/29(土) 22:30:45 ]
- 毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 20:28:22 ]
- 1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
- 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 22:14:56 ]
- homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 16:40:46 ]
- 1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 20:31:05 ]
- 別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 03:15:18 ]
- >>677 , 679
>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 11:48:57 ]
- もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
- 683 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/03(水) 19:23:45 ]
- >>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 23:40:27 ]
- >>588
r-q 平面のグラフが見たい････
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 00:24:18 ]
- >>679
>>680
誤解してた、すまない。
- 686 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 04:23:34 ]
- 1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 01:45:32 ]
- つwww.math.ust.hk/excalibur/v13_n3.pdf
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:44:10 ]
- >>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:46:55 ]
- >>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 04:58:11 ]
- >>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
- 691 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/11(木) 13:39:30 ]
- 実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 14:36:06 ]
- >>691
解答PDFを作ってみた。
image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/48ec20d82641686f.pdf
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 16:39:46 ]
- まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
- 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 17:51:33 ]
- 定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
- 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 00:22:39 ]
- 数蝉２月号は「不等式の世界」
www.nippyo.co.jp/magazine/maga_susemi.html
不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 00:37:29 ]
- >>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 22:53:51 ]
- >>588
Q,R を >>589 のようにおくと
(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3} >>585
= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。
rを固定したときの q の下限および上限は
q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 (8≦r≦9)
= 2r-3 (r≧9)
rが大きいほど細く鋭くなる。 （素手で触るな）
r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
8<r<9 についても同様。
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 22:34:05 ]
- >>588, 684, 697
8<r<9 のときは、
r-8 < r/9,
q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),
-------------------------------------
(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0 (r→∞)
- 699 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/24(水) 12:09:03 ]
- >>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 14:12:31 ]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 14:30:59 ]
- ネ申
- 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 15:50:36 ]
- 自演乙
- 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:25:07 ]
- このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
- 704 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/24(水) 16:40:29 ]
- 飯島愛死亡だとよ
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:49:15 ]
- >>704
死因は何？
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:52:47 ]
- 1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。
■ソース(日テレニュース24）
www.news24.jp/125696.html
※有志によるキャプチャ画像
tvde.web.infoseek.co.jp/cgi-bin/jlab-dat/s/347618.jpg
■前スレ(1の立った日時 12/24(水) 16:14:24）
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230102864/
【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230103771/
- 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:59:52 ]
- ／ ≧ ＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／
| ､ ＿ __,,／ ＼
- 708 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/25(木) 01:24:11 ]
- x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n
max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
- 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 02:06:44 ]
- >>708
なん…だと！
- 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 08:06:19 ]
- >>708
どうやったんだよ
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 13:22:09 ]
- >>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。
>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また (c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)} (← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
- 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/29(月) 18:19:53 ]
-
[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677
- 713 名前：712 mailto:sage [2008/12/29(月) 18:24:36 ]
- 訂正、すまそ。
【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
- 714 名前：Shapiro mailto:sage [2009/01/03(土) 19:56:03 ]
- >>712
Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。
[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
- 715 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/16(金) 19:05:31 ]
- 数セミ2月号出たね
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/16(金) 23:11:26 ]
- >>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
- 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 23:53:44 ]
- >>598 (593,596)
〔問題〕
abc = d^3, √3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},
(略証)
abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0
(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3, T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2, T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。
・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,
・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
- 718 名前：717 mailto:sage [2009/01/17(土) 23:56:03 ]
- >>598
〔補題〕↑ のようにおくとき
S ≧ T1 ≧ 3xyz, S ≧ T2 ≧ 3xyz,
(左側) チェビシェフ不等式から、あるいは
(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,
(右側)も 相加・相乗平均。
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 00:55:25 ]
- >>2に追加
数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
- 720 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 07:31:59 ]
- web.mit.edu/~tmildorf/www/Inequalities.pdf
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 13:41:41 ]
- >>720 ﾊｧﾊｧ ∩ 不等式と聞ゐちゃぁ
( ⌒)＿ ∩_ _ 黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ ﾊｧﾊｧ ／/
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | ／ /＿＿＿
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ./ ／ Σ ＼
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n / ∩.|:::: ＼ .／ |
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / .| | | (● (●）|＿
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ ノ／
- 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 20:57:27 ]
- 非等式と不等式の違いはなんですか。
- 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 21:43:48 ]
- a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 00:42:33 ]
- 他スレで見かけたお。
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
面白い問題おしえて～な 十五問目
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/99
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 20:47:34 ]
- このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 23:07:15 ]
- >>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
- 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 03:05:54 ]
- 次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。
任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3
もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
- 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 04:40:48 ]
- s、t、uでズコバコするといいよ
- 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 09:00:45 ]
- >>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 09:01:38 ]
- 問題見まちがった
- 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 19:32:27 ]
- >>727 力づくで解いた
a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする
a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1 …(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0 …(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1 …(3)
s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0 …(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)
t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2) …(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
- 732 名前：731 mailto:sage [2009/02/08(日) 22:58:40 ]
- いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて
因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
- 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 23:03:07 ]
- V
- 734 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/09(月) 16:59:31 ]
- >>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.
X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
- 735 名前：734 mailto:sage [2009/02/09(月) 20:55:19 ]
- とはしてみたものの、もうだめかもわからんね
- 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 21:01:40 ]
- 5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した
- 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/11(水) 22:32:08 ]
- >>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと >>728
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/12(木) 00:57:10 ]
- 107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数
108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
- 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/14(土) 00:12:52 ]
- >>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
>>727
(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,
- 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/21(土) 03:25:55 ]
- 〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,
(略証)
・左側
(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/555
京大入試作問者スレ①
- 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/21(土) 03:52:11 ]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 742 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/21(土) 18:13:33 ]
- 不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・
- 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 13:49:15 ]
- >>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ
- 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 23:01:51 ]
- 前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/02(月) 17:46:17 ]
- ミラーみれなくね？
- 746 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/03(火) 23:52:29 ]
- 【不等式 | 高校数学】
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50
- 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 00:07:59 ]
- >>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
に避難しました。
- 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 00:23:39 ]
- >>746
グッジョブ！
- 749 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/04(水) 00:32:35 ]
- a≧b≧0，c≧d≧0のとき
√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
- 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 00:47:23 ]
- >>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。
- 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 01:18:18 ]
- >>749
簡単すぎ
- 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 01:38:52 ]
- >>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？
- 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 03:06:05 ]
- >>749
泥沼にはまった予感
- 754 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/05(木) 01:59:49 ]
- √(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？
- 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 02:21:41 ]
- 0
- 756 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/05(木) 17:02:58 ]
- 鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。
その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。
雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。
しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。
リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」
しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。
- 757 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/05(木) 21:51:51 ]
- (1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.
(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)
(2) 次の不等式を示せ.
0.9999^101<0.99<0.9999^100
- 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 22:02:25 ]
- >>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど
- 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 22:38:50 ]
- >>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。
- 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 23:20:42 ]
- >>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
- 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 12:53:46 ]
- >>757
これに30分もかけなければ今頃俺は
- 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 00:22:41 ]
- >>757
(1) f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x^2) > g(x),
x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
x･g(x^2) < x･g(x),
f(x^2)/x < f(x),
(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),
- 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 00:43:26 ]
- >>757
(1) f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x) > g(x^2),
x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
x･g(x) < x･g(x^2),
f(x) < f(x^2)/x,
log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
1-x < (1-x^2)^(1/x),
(2) (1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....
- 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 02:06:15 ]
- みんな解いた問題って保存してるの？
- 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 02:11:03 ]
- >>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。
- 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 08:45:08 ]
- >>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)
- 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 22:26:28 ]
- >>763 (2) の左側
(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。
- 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 01:00:22 ]
- >>754
f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。
(1) f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。
(2) x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。
- 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 16:10:21 ]
- コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2
- 770 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/08(日) 19:05:38 ]
- >>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな
- 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 19:57:44 ]
- 不等式は嫌いなんだ
- 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 23:43:39 ]
- >>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…
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