- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 09:53:36 ]
- >>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 20:04:09 ]
- >>633 (上)
1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.
>>633 (中)
f(a) = 1 - (1+a)/√2, (a≦0)
= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2), (0≦a≦1)
= -1 + (1+a)/√2, (a≧1)
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/08(土) 22:43:41 ]
- >>636
それf(a)求めただけやん(笑)
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 23:55:39 ]
- >>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 01:17:19 ]
- >>638
おまいはテレパスか！
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 02:10:10 ]
- >>636
上教えてちょ
- 641 名前：636 mailto:sage [2008/11/09(日) 21:47:35 ]
- >>637
f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 22:10:22 ]
- >>633 (下)
部分積分を使うらしい･･･
∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).
- 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 23:17:35 ]
- その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。
- 644 名前：ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ mailto:私もあやかりたい。里 [2008/11/09(日) 23:48:18 ]
- ≧≦
- 645 名前：446 [2008/11/10(月) 23:33:38 ]
- >>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/11(火) 08:00:00 ]
- 1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.
- 647 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/13(木) 03:04:12 ]
- 不等式のノート作ってる方とかいます？
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/13(木) 06:56:52 ]
- >>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/13(木) 13:03:58 ]
- >>647
てふでまとめていますが何か？
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/14(金) 07:59:40 ]
- >>649
もううｐせざるを得ないだろう
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/14(金) 10:04:11 ]
- B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 23:21:51 ]
- 【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より
64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),
65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５
66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65
log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),
log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),
log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8, (n→∞)
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 23:56:52 ]
- 〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.
(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/202
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:26:14 ]
- 任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
- 655 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/19(水) 16:36:21 ]
- なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 22:37:59 ]
- >>653-654
ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
- 657 名前：656 mailto:sage [2008/11/20(木) 22:30:32 ]
- 訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 20:12:49 ]
- f(x)=x^2-2mx+m+6 とする。
(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 22:18:03 ]
- >>658
お前は勉強をやめた方がいい。
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 23:23:19 ]
- >>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 01:34:42 ]
- science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1227275638/700
1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 21:32:47 ]
- うるさい。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:31:04 ]
- ｒ;;;;;ノヾ >>662
ﾋ‐=r=;' ∬ 口を慎みたまえ！
'ヽニ/ っ━~~ 君は不等式王の前にいるのだぞ！
＿と~,, ~,,,ﾉ_ ∀
ﾐ,,,,/~). │ ┷┳━
￣￣￣.じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 09:56:45 ]
- nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 23:22:39 ]
- >>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 23:24:24 ]
- >>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
- 667 名前：665 mailto:sage [2008/11/27(木) 23:57:46 ]
- >>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
- 668 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/28(金) 05:13:49 ]
- みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 23:42:33 ]
- >>668
おまえには教えてやらねーよ！
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 00:20:54 ]
- 不等式を制する者は解析を制する。
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 12:07:58 ]
- △ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ
3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2
∧_∧
_ ( ﾟ∀ﾟ) たぶん、出したことないと思う…
|≡(つc□≡|
`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 18:50:59 ]
- >>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0, c+a-b = b' >0, a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように s = a'+b'+c' = a+b+c, t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。
ハｧハｧ
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 19:19:09 ]
- >>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 20:11:59 ]
- さすが。
- 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 21:13:11 ]
- 問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
- 676 名前：671 mailto:sage [2008/11/29(土) 22:30:45 ]
- 毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 20:28:22 ]
- 1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
- 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 22:14:56 ]
- homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 16:40:46 ]
- 1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 20:31:05 ]
- 別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 03:15:18 ]
- >>677 , 679
>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 11:48:57 ]
- もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
- 683 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/03(水) 19:23:45 ]
- >>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 23:40:27 ]
- >>588
r-q 平面のグラフが見たい････
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 00:24:18 ]
- >>679
>>680
誤解してた、すまない。
- 686 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 04:23:34 ]
- 1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 01:45:32 ]
- つwww.math.ust.hk/excalibur/v13_n3.pdf
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:44:10 ]
- >>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:46:55 ]
- >>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 04:58:11 ]
- >>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
- 691 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/11(木) 13:39:30 ]
- 実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 14:36:06 ]
- >>691
解答PDFを作ってみた。
image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/48ec20d82641686f.pdf
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 16:39:46 ]
- まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
- 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 17:51:33 ]
- 定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
- 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 00:22:39 ]
- 数蝉２月号は「不等式の世界」
www.nippyo.co.jp/magazine/maga_susemi.html
不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 00:37:29 ]
- >>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 22:53:51 ]
- >>588
Q,R を >>589 のようにおくと
(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3} >>585
= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。
rを固定したときの q の下限および上限は
q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 (8≦r≦9)
= 2r-3 (r≧9)
rが大きいほど細く鋭くなる。 （素手で触るな）
r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
8<r<9 についても同様。
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 22:34:05 ]
- >>588, 684, 697
8<r<9 のときは、
r-8 < r/9,
q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),
-------------------------------------
(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0 (r→∞)
- 699 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/24(水) 12:09:03 ]
- >>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 14:12:31 ]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 14:30:59 ]
- ネ申
- 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 15:50:36 ]
- 自演乙
- 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:25:07 ]
- このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
- 704 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/24(水) 16:40:29 ]
- 飯島愛死亡だとよ
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:49:15 ]
- >>704
死因は何？
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:52:47 ]
- 1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。
■ソース(日テレニュース24）
www.news24.jp/125696.html
※有志によるキャプチャ画像
tvde.web.infoseek.co.jp/cgi-bin/jlab-dat/s/347618.jpg
■前スレ(1の立った日時 12/24(水) 16:14:24）
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230102864/
【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230103771/
- 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:59:52 ]
- ／ ≧ ＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／
| ､ ＿ __,,／ ＼
- 708 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/25(木) 01:24:11 ]
- x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n
max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
- 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 02:06:44 ]
- >>708
なん…だと！
- 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 08:06:19 ]
- >>708
どうやったんだよ
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 13:22:09 ]
- >>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。
>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また (c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)} (← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
- 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/29(月) 18:19:53 ]
-
[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677
- 713 名前：712 mailto:sage [2008/12/29(月) 18:24:36 ]
- 訂正、すまそ。
【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
- 714 名前：Shapiro mailto:sage [2009/01/03(土) 19:56:03 ]
- >>712
Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。
[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
- 715 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/16(金) 19:05:31 ]
- 数セミ2月号出たね
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/16(金) 23:11:26 ]
- >>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
- 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 23:53:44 ]
- >>598 (593,596)
〔問題〕
abc = d^3, √3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},
(略証)
abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0
(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3, T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2, T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。
・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,
・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
- 718 名前：717 mailto:sage [2009/01/17(土) 23:56:03 ]
- >>598
〔補題〕↑ のようにおくとき
S ≧ T1 ≧ 3xyz, S ≧ T2 ≧ 3xyz,
(左側) チェビシェフ不等式から、あるいは
(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,
(右側)も 相加・相乗平均。
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 00:55:25 ]
- >>2に追加
数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
- 720 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 07:31:59 ]
- web.mit.edu/~tmildorf/www/Inequalities.pdf
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 13:41:41 ]
- >>720 ﾊｧﾊｧ ∩ 不等式と聞ゐちゃぁ
( ⌒)＿ ∩_ _ 黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ ﾊｧﾊｧ ／/
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | ／ /＿＿＿
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ./ ／ Σ ＼
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n / ∩.|:::: ＼ .／ |
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / .| | | (● (●）|＿
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ ノ／
- 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 20:57:27 ]
- 非等式と不等式の違いはなんですか。
- 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 21:43:48 ]
- a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 00:42:33 ]
- 他スレで見かけたお。
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
面白い問題おしえて～な 十五問目
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/99
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 20:47:34 ]
- このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 23:07:15 ]
- >>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
- 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 03:05:54 ]
- 次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。
任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3
もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
- 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 04:40:48 ]
- s、t、uでズコバコするといいよ
- 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 09:00:45 ]
- >>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 09:01:38 ]
- 問題見まちがった
- 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 19:32:27 ]
- >>727 力づくで解いた
a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする
a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1 …(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0 …(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1 …(3)
s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0 …(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)
t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2) …(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
- 732 名前：731 mailto:sage [2009/02/08(日) 22:58:40 ]
- いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて
因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
- 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 23:03:07 ]
- V
- 734 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/09(月) 16:59:31 ]
- >>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.
X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
- 735 名前：734 mailto:sage [2009/02/09(月) 20:55:19 ]
- とはしてみたものの、もうだめかもわからんね
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