命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 m を奇数で gcd(D, m) = 1 とする。 m が判別式 D の原始的２次形式により固有に表現される (過去スレ004の>>701)ためには x^2 ≡ D (mod m) に解があること が必要十分である。
証明 m が判別式 D の２次形式により固有に表現されるなら、 過去スレ004の>>717より D ≡ l^2 (mod 4m) となる有理整数 l が 存在する。このとき当然 D ≡ l^2 (mod m) でもある。
逆に x^2 ≡ D (mod m) に解があるとする。 D ≡ 0, 1 (mod 4) なら x^2 ≡ D (mod 4) にも解がある。 m と 4 は素だから x^2 ≡ D (mod 4m) にも解がある。
この解を l とし、D = l^2 - 4mk とする。 gcd(D, m) = 1 だから gcd(m, l, k) = 1 である。 よって２次形式 mx^2 + lxy + ky^2 は原始的で判別式は D であり (x, y) = (1, 0) のとき m を固有に表現する。 証明終
