- 13 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/20(火) 20:30:50 ]
- 命題
n ≠ 0 を有理整数、p を奇素数で n を割らないとする。
以下の条件は同値である。
(1) 有理整数 x, y があり、gcd(x, y) = 1 であり、
p は x^2 + ny^2 を割る。
(2) (-n/p) = １
証明
(1) が成り立てば、x^2 ≡ -ny^2 (mod p) である。
y が p で割れるなら x^2 ≡ 0 (mod p) となり x も p で割れから
gcd(x, y) = 1 と矛盾する。よって y は p と素である。
よって yz ≡ 1 (mod p) となる z がある。
(xz)^2 ≡ -n (mod p) だから (-n/p) = 1 である。
逆に (2) が成り立てば x^2 ≡ -n (mod p) が解をもつ。
y = 1 とすれば p は x^2 + ny^2 を割る。
