- 103 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/07(土) 18:05:37 ]
- 命題
α を２次の実無理数とする。
α を連分数に展開して、
α = [k_0, k_1, . . . ] とする。
n ≧ 0 に対して α_n = [k_n, k_(n+1), . . . ] とおく。
このとき、ある n_0 ≧ 0 があり n ≧ n_0 なら常に α_n は簡約された
２次無理数である。
証明
>>99 と同様にして、
α = (p_(n-1)α_n + p_(n-2))/(q_(n-1)α_n + q_(n-2))
である。
よって >>102 より
β = (p_(n-1)β_n + p_(n-2))/(q_(n-1)β_n + q_(n-2))
となる。
ここで、β と β_n は α と α_n のそれぞれ共役である。
β_n = (q_(n-2)β - p_(n-2))/(-q_(n-1)β + p_(n-1))
右辺の分子と分母をそれぞれ変形すると
q_(n-2)β - p_(n-2) = q_(n-2)(β - p_(n-2)/q_(n-2))
-q_(n-1)β + p_(n-1) = -q_(n-1)(β - p_(n-1)/q_(n-1))
となる。
よって
β_n =
-(q_(n-2)/q_(n-1))(β - p_(n-2)/q_(n-2))/(β - p_(n-1)/q_(n-1))
(続く)
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