- 758 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/25(日) 11:00:23 ]
- >>757 の続き
p = x^2 + y^2 に解があればそれは固有である。
よって >>717 より
l^2 ≡ -4 (mod 4p) となる有理整数 l が存在する。
l^2 ≡ 0 (mod 4) だから l は偶数である。
l = 2t とすると
t^2 ≡ -1 (mod p) である。
よって (-1/p) = 1 である。
ここで (-1/p) は Legendre の記号(前スレ３の746)である。
逆に (-1/p) = 1 なら
l^2 ≡ -4 (mod 4p) となる有理整数 l が存在する。
l^2 + 4 = 4pk とする。
p は奇素数だから l とは互いに素である。
よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -4 である。
>>757 より、これは (1, 0, 1) と同値である。
よって (1, 0, 1)σ = (p, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) がある。
σ = (u, q)/(r, s) とする。
>>749 より (1, 0, 1)ε = (1, 0, 1) となる ε ∈ SL_2(Z) は
{±1, ±T} である。ここで T = (0, -1)/(1, 0) である。
よって (1, 0, 1)τ = (p, l, k) となる τ は
σ, -σ, Tσ, -Tσ の四個である。
即ち
(u, q)/(r, s), (-u, -q)/(-r, -s), (-r, -s)/(u, q), (r, s)/(-u, -q)
である。
よって p = x^2 + y^2 の解は (u, r), (-u, -r), (-r, u), (r, -u)
の４個である。
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