- 511 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15:23:45 ]
- 命題
A を１次元のネーター整域とする。
>>505 で定義した 射 Φ : I(A) → Σ I(A_p) は全射である。
証明
ξ = (ξ_p) を Σ I(A_p) の任意の元とする。
A_p は局所環だから、前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。
よって >>472 より I(A_p) = P(A_p) である。
よって、各 ξ_p は (a_p/b_p)A_p と書ける。
ここで a_p と b_p は A の 0 でない元である。
(a_p/b_p)A_p ≠ A_p となる p は有限個である。
(a_p/b_p)A_p = A_p のときは a_p = b_p = 1 と仮定してよい。
各 p に対して I(p) = A ∩ a_pA_p とおく。
>>484 より a_pA_p ≠ A_p なら a_pA_p は pA_p に属する
準素イデアルである。
I = ∩ I(p) とおく。ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を
動く。I(p) は有限個を除いて A_p に等しい。
>>510 より、各 p に対して IA_p = a_pA_p となる。
同様に 各 p に対して J(p) = A ∩ b_pA_p とおき、
J = ∩ J(p) とおく。
M = I(J^(-1)) とおけば 各 p に対して M_p = (a_p/b_p)A_p である。
即ち Φ(M) = ξ である。
証明終
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