- 1 名前：１３２人目の素数さん [2006/10/26(木) 18:36:06 ]
- 前スレ:1=0.999… その 9.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/13(月) 08:01:36 ]
- 独力で超限解析を再発見するような活きのいい電波はおらんかのう…
- 268 名前：平家蟹の舎弟 [2006/11/13(月) 20:22:10 ]
- いまよんできます。
- 269 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:青年よ、野にくだれ [2006/11/13(月) 20:24:42 ]
- はいはーい。
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/13(月) 20:57:40 ]
- >>267
超準解析作ったヤツもこのスレみたいに、数学者から煽られて奮発して作ったに違いないｗ
でも…おいそれとはできんよな…コレ。
- 271 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE [2006/11/13(月) 21:14:44 ]
- 超準解析ってなに？
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/13(月) 22:02:14 ]
- 「超準解析」は難しいけど、超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/14(火) 10:56:21 ]
- >>271
簡単に言うと、無限小が実在する世界での微積分、
及び、それと一般的な実数の世界の問題とを互いに翻訳する方法。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/14(火) 19:15:20 ]
- 1=0.999…ではないとすればこのスレタイはかなり変になるとは思いませんか
- 275 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/14(火) 21:48:32 ]
- んー、1＝0.9dotってさー、綺麗じゃないよ。綺麗じゃなきゃ駄目だろ。
- 276 名前：平家蟹 ◆qZKkuPC36I mailto:sage [2006/11/14(火) 22:15:45 ]
- f(x)=1/x だと
０に右から近付くのと
左から近付くのとだと値違うけどいいの？
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/15(水) 00:18:39 ]
- >>275
泥臭いのもまた数学なのさ。
>>276
だから？
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/15(水) 05:04:17 ]
- コンウェイの超現実数だと0.999……≠1だな。
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/15(水) 05:51:29 ]
- >>278
なにそれ？
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/15(水) 06:34:16 ]
- クヌースのこの本をどうぞ。
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465
実数と無限大・無限小でできている。平たく言うと、左が右以上にならない数のペア（実際には空でも良い）から作られる。
- 281 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/15(水) 21:51:30 ]
- 実数+無限小とかももちろん含まれている。わかってるだろうけど念のため。
- 282 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/15(水) 21:55:53 ]
- 素人考えなんだがｆ(x)=1/(x-1)で
0.9dot=1=1.0dot
（ニュアンス的にこう書くとすると）
f(0.9d)=-∞
f(1) 定義なし
f(1.0d)=+∞
となるから、0.9dot=1っていかにも違うよなきがするんだが、数学的だとなんら問題ないの？
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/15(水) 22:01:05 ]
- 全部、定義なしで無問題。
- 284 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/15(水) 22:09:08 ]
- 定義ないのか。わかりました、ありがとう。
しかしひねくれ者だから、いちゃもんつけると、
二進法とかあるわけだから、十一進法にして
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、うんことすると、
0.9dot<0.うんこdot<1とかはなんねのかな？
同相とかで問題なし？
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/15(水) 22:22:16 ]
- >>284
十一進法なら 0.999… < 1 だよ。
で、何が言いたいの？
- 286 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/15(水) 22:35:20 ]
- いやー、十進法から、イメージ沸いたよ。サンチュ
- 287 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/17(金) 18:57:27 ]
- んーしかしさー、0.9DOTって無理数？有理数？
- 288 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/19(日) 18:23:11 ]
- >>278-280
やっぱり定義次第なんだ。
>>286-287
16進法
0123456789ABCDEF
この時、10進法の0.9dotに相当するのは0.Fdot、つまりそれは全く違う数。
1＝0.9dot⇒0.9dotは有利数
1≠0.9dot⇒0.9dotは無理数
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/19(日) 18:38:33 ]
- 1-無限小を無理数と言うか？
- 290 名前：288 mailto:sage [2006/11/19(日) 19:49:01 ]
- >>289
悪い。言えんかった。
超準解析的には、えーと…。
- 291 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/19(日) 20:07:14 ]
- 整数は有理数
循環小数は有理数
無限小数は無理数
- 292 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/19(日) 20:44:06 ]
- 0.9dotが有理数の場合、＝P/Qになる自然数がP=Q=1ってのは釈然としない感じなんですが……
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/19(日) 20:46:04 ]
- １／１ ＝ ２／２ ＝ ３／３ ＝ …
を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/19(日) 20:54:05 ]
- >>292
実数論の勉強して来い。その方が早い。
- 295 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/19(日) 21:21:06 ]
- 実数論？っージャンルあるの？
- 296 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/19(日) 23:17:49 ]
- >291に突っ込みが入らない件について
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/19(日) 23:19:30 ]
- >>295
「実数論」でググれ。
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/20(月) 12:45:38 ]
- ０．９９９９・・・は、小数点以下の９の数が多くなるほど
限りなく１に近づく事は分かるが、１より小さい事は明らかである。
１＝０．９９９９・・・はおかしいと思う。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/20(月) 13:11:31 ]
- >>298
＞＞１より小さい事は明らかである。
なんで明らかなの？
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/20(月) 17:43:24 ]
- >>291
違う
整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数（循環小数）は有理数
循環しない無限小数は無理数
- 301 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/20(月) 17:49:54 ]
- 一般に数列 S(n) (n=0,1,2,…) に対して、その極限
S = lim[n→∞] S(n)
は、
どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | < ε
を満たすようなSとして定義されます。
0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限
0.9999… = lim[n→∞] S(n)
であり、上の極限の定義から
0.9999… = 1
となります。
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/20(月) 20:15:37 ]
- >>298
もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ
しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。
- 303 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/20(月) 22:09:03 ]
- じゃ0.9dotは閉区間［０、１］には入っているが、開区間（０、１）には入ってないことになるんだけど、それでokですか？
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/20(月) 22:43:44 ]
- OKだけど、1もそうだよ。
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/20(月) 22:44:15 ]
- OK。
点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/20(月) 22:51:24 ]
- なぜ「閉」区間というかもそこにあるわけだし。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/20(月) 22:56:38 ]
- 数列 an = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}について、
an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )
- 308 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/20(月) 23:57:46 ]
- ではMAX［０、１］＝１
SUP［０、１］＝１
SUP（０、１）＝１
MAX（０、１）＝？
定義されないのですか？
超準解析だと（１－無限小）みたいなのが定義されるんでしょうか？
なんか質問はかりですみません。
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 00:18:41 ]
- >>302
その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか？
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 00:26:51 ]
- >>308
実数論の勉強して来い。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 17:48:48 ]
- 0.999…の極限を表すのって
lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？
0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 18:10:24 ]
- >>311
極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。
○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～
0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 19:41:25 ]
- 極限の定義
関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき f(x)→a または lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という
ほんとだ実数じゃない・・・関数か
じゃあどう書けば良いんだ
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 20:28:02 ]
- an＝1－1/10^n＝0.99…99 (←9がn個並んでいる) の極限は1
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 20:50:01 ]
- >>309
1≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 23:02:41 ]
- 極限に向いてない人、ってのがいるんだな。
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 23:05:45 ]
- >>313
重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/21(火) 23:15:40 ]
- >>197参照
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/22(水) 13:42:48 ]
- >>313
ε-δ論法知らんのか？
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/22(水) 14:53:50 ]
- 知らないんじゃね？高校生向けの参考書あたりからコピペしたんだろう。
- 321 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/22(水) 18:09:01 ]
- つーか超準解析の話は？
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/22(水) 20:44:37 ]
- >>321
つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。
- 323 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/22(水) 22:10:17 ]
- 実数論、勉強したよ。わかったo(^-^)o楽勝
S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形
S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形
0.9dot=1
俺は過去形
っーことだろ。
しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/22(水) 23:07:30 ]
- >>323
実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。
- 325 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/23(木) 07:32:03 ]
- DEDEKINDの切断？わからない……、生意気言ってすみません、基礎的な集合論かと思ったんだよ。
よかったら誰か説明してくださいなm(__)m
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/23(木) 18:57:10 ]
- 基礎的な用語なんだから、それこそ本読むかネットで調べればいいだろ。
- 327 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/23(木) 20:00:40 ]
- あー、ここはそういうスレなのか。
まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/23(木) 21:38:22 ]
- >>327
要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。
で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。
実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。
デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/23(木) 21:54:27 ]
- 超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/23(木) 22:07:35 ]
- もう、>>278-281で
定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/23(木) 22:21:13 ]
- >>328
> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが
その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか
- 332 名前：!^r mailto:sage [2006/11/25(土) 03:43:39 ]
- もうどっちでもいいんじゃね
- 333 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/11/28(火) 21:14:49 ]
- あースレとめちまったのかな。
こーこーせー、疑問をぶつけるのだ！
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/29(水) 02:11:59 ]
- 【>>330】
>>333
１＝0.9dotでも１≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。
- 335 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/29(水) 23:00:04 ]
- 最初のテンプレからして、条件次第って書いているんですけど…。
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/30(木) 01:35:42 ]
- 普通の実数や超実数
＝
変わった実数やアレンジされた超実数（超現実数等も含む）
≠
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/30(木) 04:03:26 ]
- 【>>334】
>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずＱ＆Ａ７(>>5)に>>278-281を添える。
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/30(木) 15:15:49 ]
- Ｑ＆Ａ８かな
- 339 名前：337 mailto:sage [2006/11/30(木) 17:18:32 ]
- >>338
ありゃま、Ｑ＆Ａ７じゃなかった
新しくＱ＆Ａ８として設置になりますね。
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/02(土) 18:27:48 ]
- 小数点以下で9が連続する循環小数（0.999…とか1.999…とか10.999…とか)は
その循環小数の整数部分に１を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11）と等しい
＜証明＞
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはＱ７の⑦とか使う
＜証明終わり＞
とかじゃ駄目なのか
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/03(日) 00:48:54 ]
- >>340
つうか、1=0.999…と同値な問題だろ
- 342 名前：平家蟹 ◆CoWlhnNErE mailto:sage [2006/12/03(日) 10:31:11 ]
- とりあえず１＝０．９dotの話は面白みがないから、≠として、なんか話が展開されないのかな。
- 343 名前：源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA mailto:sage [2006/12/03(日) 23:13:40 ]
- でも、面白いとかツマラナイの問題じゃないでしょ。
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/04(月) 00:04:50 ]
- 正直、誰かトンデモ理論を言い出してこないかとワクテカしてる
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/04(月) 00:07:36 ]
- 考えてるんだけどな＞トンデモ理論。
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/05(火) 20:24:10 ]
- 1≒0.999…
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/08(金) 22:45:25 ]
- Q4がいま一つ理解できない。
不完全性定理が関係有るヤツなの？
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/09(土) 02:23:00 ]
- ってか、不完全性定理的回答ってだけで
どっちか一方が絶対、じゃないっ事じゃねっすか
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/09(土) 17:26:37 ]
- 不完全正定理云々以前に定義の問題だと思うけど。
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/09(土) 18:22:50 ]
- ただどう定義してもＱで0.999……=1が証明されたときに、
0.999……≠1が証明されないことは証明できないはず。
なぜならばＱではＮが定義できるので、自然数論を含む体系になるから。
もし0.999……≠1が証明されればＱが矛盾していることになり、
エライことになってしまう。
ということをＱ４は言っているのでは？
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/09(土) 18:25:55 ]
- 後半死んでるな。
もし0.999……≠1が証明されないことが証明されれば
無矛盾であることが証明できたことになり、Ｑが矛盾している
ことになり、エライことになる。
だな。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/09(土) 19:35:30 ]
- そもそも前提条件が違う証明同士だったらそんな余計な文面要らないんじゃないの？
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 02:04:21 ]
- >>352でおｋ。
別個の公理系。
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 04:04:05 ]
- 当たり前と言えばそうだが、「前提を定めれば論理的にどちらかが正しいと証明できるはず」
という人もいる。それは厳密には無理と言うことで書いてあるのだと思う。
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 04:18:20 ]
- >>354
合、其処等辺の解説に不完全性定理的回答也、と云う事で御座る。
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 11:42:20 ]
- しかし、テンプレのＱ５Ａ５がこのスレの前提条件としたんでは、
㌧でもも超準解析も入り込む余地はないんじゃね。
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 11:55:05 ]
- まあ通常の解釈の話であればああ書くことになるんじゃない？
というか、通常でない解釈として採用した方が（しても？）いい
ものが具体的にあがっていないからじゃないのかな？
コンウェイの超現実数はたしかに採用されても良いと思うけど。
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/10(日) 23:23:21 ]
- www.taiyo-g.com/shousai72.html
↑
これってどーなの？
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 23:35:19 ]
- 文系が哲学者のMLに話題を投げた記録て…
これほど読む気が失せる前文も珍しいな。
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/12(火) 12:34:30 ]
- 循環小数は、有理数ではない！
いやいやｗ
実数の定義だからね循環小数が有理数ってのは・・・・・
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/12(火) 13:04:50 ]
- どうせこんなことが書いてあるんだろ。
・例えば0.333…＝1/3－無限小 であり、1/3には一致せず、有理数でない。
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/12(火) 16:18:10 ]
- 0.9は、もちろん有理数
0.99も、もちろん有理数
0.999も、もちろん有理数
0.999…は循環小数なので有理数
1は、もちろん有理数
0.999…を考えるときには有理数しか出てこない
だからそんなに難しく考えなくても良いのでは
- 363 名前：小が臭え mailto:sage [2006/12/12(火) 21:23:33 ]
- コンウェイの超限実数では…何だろねぃ。
でも普通は有理数じゃんね。
- 364 名前：. [2006/12/13(水) 19:58:15 ]
- >>360
洋一石
一石 って ein steinつまりアインシュタインのもじりのつもり？
- 365 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/14(木) 05:24:30 ]
- 純粋に数理的に考えていった場合、実数の定義自体が怪しいんでは？
- 366 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/14(木) 19:55:10 ]
- なんでやねん！
- 367 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/12/14(木) 20:52:09 ]
- talk:>>365 実数空間の満たすべき性質は、順序体であることと、完備であることだ。その条件を満たす集合を具体的に定義することもでき、それらは互いに同型だ。
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