- 1 名前：１３２人目の素数さん [2006/09/07(木) 07:00:00 ]
- 面白い問題、教えてください
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/04(日) 02:43:37 ]
- >>649
目の覚めるような方法があるんじゃないかと期待
- 653 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/04(日) 03:02:55 ]
- >>652
目の覚めるような方法は無いが・・・・
ただ、途中でいろんな道具を使うので面白いと言えるんじゃないかと
勝手に思ってるだけ・・。
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/04(日) 06:40:17 ]
- >>649
数Ⅲ微積分を習いたての者に丁度よい問題だな。
解法が見え見えなので、数学板のクズ（俺のこと）には面白くはないがな。
まず根号内を平方完成し そこを tan に変換後、加法定理などで整理して積分
sin(π/12)が出てきたので、半角公式でも使って計算。
高校生向けの良問だと思うよ。
- 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/05(月) 18:40:18 ]
- 507
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/09(金) 23:54:40 ]
- >>649
流れてしまったか……
再うpｷﾎﾞﾝ
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 00:04:52 ]
- >>656
でも断るッ！
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 00:44:52 ]
- >>656
∫[((√3)-1)/2→1]dx/(x√(x^2+x+1))
- 659 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/10(土) 03:07:10 ]
- s、tを実数とする。
初期値sで一般項がsの有理関数f（s）で表される数列｛a（s）_n｝がn→∞でtに収束し、
かつ数列｛a（t）_n｝がn→∞でsに収束する。
s、tを求めよ。
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 03:56:05 ]
- >>659
問題文がわかりにくすぎる
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 04:02:05 ]
- 空間内に、2定点 A, B と定直線g上を動く点Pがある。
直線ABとgはねじれの位置にあるとする。
AP+PBが最小となる点Pの位置を説明せよ。
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 11:27:23 ]
- nは2以上の自然数とする。A⊂Z/nZ (単なる集合として)
が＃A＞(n＋1)/2を満たすとき、∃a,b,c∈A s,t a＋b＝c が
成り立つことを示せ。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 11:51:25 ]
- >>659
>sの有理関数f（s）で表される数列｛a（s）_n｝
f(s) と {a(s)_n} の関係がわからん。
- 664 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/10(土) 12:38:22 ]
- すいません、f（s）じゃなくてa（s）です。
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 12:42:42 ]
- それでも意味不明
「一般項が有理関数で表される有理関数列 { a_n } を取る。
各項に s を代入して得られる実数列は t に収束し、
各項に t を代入して得られる実数列は s に収束する。
s と t を求めよ」
ということ？
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 13:00:07 ]
- まあまあ、DQNの言うことは置いといて、次いこう！
- 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 13:02:27 ]
- >>664
こんどは a(s) と {a(s)_n} の関係がわからん。
F(x)=lim[n→∞]a_n(x)として
F(s)=t, F(t)=s を解けってことか？
こんなもん F(x) が分からないと都県だろ。
たとえば F(x)=x とかだったらどんな s,t でもいいぞ。
- 668 名前：667 mailto:sage [2007/02/10(土) 13:05:07 ]
- 訂正
誤：たとえば F(x)=x とかだったらどんな s,t でもいいぞ。
正：たとえば F(x)=x とかだったら s=t ならなんでもいいぞ。
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/10(土) 13:30:34 ]
- >>661
Bをgを軸にして回転させてもPBの距離は変わらない
それを利用して最短距離を求めるにはBをどこに移せばよいか？
- 670 名前：>659 [2007/02/11(日) 01:23:57 ]
- すいません。
意味不明なものになってましたね。
改めて…
有理関数f（x）、g（x）が以下を満たすときf（x）、g（x）を求めよ。
x→＋∞でf（x）→g（0）かつg（x）→f（0）
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 03:43:27 ]
- >>670
たとえば f(x)=g(x)=0 とかでもいいのか？
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 06:22:15 ]
- >>670
もういい。糞食って寝ろ！
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 07:11:34 ]
- >>670
たくさんありすぎる。死ね。
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 08:40:47 ]
- >>670
ほじくった鼻糞食べて寝ろ！
- 675 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 09:41:07 ]
- >>670
とりあえず、君はその問題の、どんなところを
面白いと感じたんだ？感じたのか？
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 10:00:21 ]
- >>670
とりあえずウンコ食って寝ろ！
- 677 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 14:07:04 ]
- 毎朝＝マイアス
朝日＝アスヒー
- 678 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 14:53:32 ]
- 有理関数f（x）、g（x）が以下を満たすときf（x）、g（x）を求めよ。
x→＋∞でf（x）→g（0）かつg（x）→f（0）
f=g(0)f(0)/g
g=g(0)f(0)/f
- 679 名前：>670 [2007/02/11(日) 16:51:03 ]
- 例えば定数関数は題意を満たしますが、
他の場合はあるのかな？って思い、出題しました。
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 17:12:11 ]
- この問題で、関数 f, g を拘束する条件は有理関数である以外に、
原点と無限遠方における 2 値の指定しかないわけだよね。そんな
関数は無数に取れるじゃなの。例えば
f(x) = (1 - x)/(1 + x)
g(x) = -(1 - x)/(1 + x)
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 19:01:41 ]
- {p(x)/q(x) + a|p,q∈R[x]、a∈R、deg p＜deg q、p(0)=0、q(0)≠0}
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 19:09:01 ]
- >>679
そんなものくだらんスレに書け。
- 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 20:09:06 ]
- >>679
ここは質問スレじゃねーんだぞ！
面白い問題を出題するっつーレベルじゃねーぞ！
二度とくるな！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! >>670
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 20:41:28 ]
- まあまあ。そういきり立たずに。
面白くなかったらスルーすれば宜し。
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 21:15:20 ]
- >>679
> 他の場合はあるのかな？って思い、出題しました。
分からんのに出題するって…
それは質問するっていうんじゃないのかね？
「お ・ し ・ え ・ て ・ く ・ だ ・ さ ・ い」 ぐらい書いて質問スレに書けよ！
- 686 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 21:20:38 ]
- トーラスに楕円体は最大何個つめられるか。
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 21:54:46 ]
- >>686
無限にちっちゃい楕円体を詰めていけば、無限個詰められる？
- 688 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 22:06:46 ]
- トーラスに内接する最大体積の楕円体は最大何個つめられるか。
- 689 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 22:12:16 ]
- ウインナー状態だと？
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 22:34:20 ]
- トーラスの大きさにもよるな。
- 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 22:59:50 ]
- 一年ほど前に確率スレッドで出題され、正式な回答が出ないままお蔵入りとなった問題です。
３つの連なった部屋A,B,Cがある。
部屋Aには２００人の囚人がいて、それぞれ1～200までの囚人番号が割り当てられている。
部屋Bにはそれぞれ1～200までの番号が書かれた200枚のカードが、一列にふせて置かれている。
囚人たちは囚人番号1番から一人ずつ呼び出されて部屋Aから部屋Bにうつる。
ここで部屋Bに呼ばれた囚人は、200枚のカードのうち100枚を表にしてよい。
表にしたカードに自分の囚人番号が含まれていれば、その囚人は部屋Cにうつされる。
その後、カードはそのまま裏返されて、次の囚人が呼ばれ、同じことを繰り返す。
自分の囚人番号が含まれていなければ、すべての囚人は処刑される。
このようにして200人すべての囚人が部屋Cにうつることが出来たら、囚人達は解放されるとする。
囚人達が解放される確率を1/12以上にしたい。どうすればよいか？
*部屋Aにいる囚人同士は互いに相談できるが、部屋が違う囚人同士は、一切情報交換できない。
*最初のカードの並び方はランダムである。
当然、何の策略もなく挑めば生還率(1/2)^200ですが
例のスレッドではかなり確率を高めることに成功しました。
ただし出題者が行方不明となってしまい正式な回答は得られませんでした…
それでも結構面白い問題だと思うので是非挑戦してみてください。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 00:00:11 ]
- 天和が出る確率
- 693 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 01:11:38 ]
- 問題
19XX年夏の高校野球大会に出場する高校数は予選から4131校出場する。
この年のルールではコールドはなく何があっても決着がつくまで試合が続けられる。
県予選，甲子園共にトーナメント方式。
各県代表校は１校。
この年に県予選，甲子園など公式戦の総試合数は全部合わせて［ ］試合である。
- 694 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 01:42:43 ]
- 2^n=4131
- 695 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 01:51:19 ]
- >>694
これは答えですか？
全然違います
- 696 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 02:03:07 ]
- １試合で１チームが負ける(勝つ)。
最終的に１チームが残るのだから、計4130試合じゃないの？
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 02:16:27 ]
- >>693
既出ネタを貼るなよ。
帰れ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! >>693
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 02:33:16 ]
- 問８
www.whatisgoingon.net/glat.html
- 699 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 10:22:13 ]
- 正三角形を切り刻んで正方形にするとき最低何ピースに切ればいいか。
- 700 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 10:23:11 ]
- 切り刻んだピースは全部使うんだよ
- 701 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 10:27:13 ]
- トーラスの表面は何ピースで
- 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 11:32:46 ]
- 4ピース
- 703 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 13:16:56 ]
- {F_n}をフィボナッチ数列とし、m、nを非負整数とする
mがnで割り切れるならばF_mはF_nで割り切れることを示せ
また、mがnで割り切れるとき、F_mをF_nで割った商を{F_n}を用いて表せ
- 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 14:57:21 ]
- >>703前半
F_0=0, F_1=1 とする。数列全体をmod Nで考えたとき「F_n≡0 ならば F_(kn)≡0」を示せばよい。
F_n≡0, F_(n+1)≡x と仮定すると、これは初項が0とxで生成されるフィボであり、
0と1から始まるフィボ全体をx倍したのと同じなので、F_(n+i)≡xF_i が成り立つ。
よって、たとえば F_(3n)≡F(n+2n)≡xF(2n)≡xF(n+n)≡(x^2)F(n)≡0。
一般のF_(kn)も、F_(kn)≡xF((k-1)n)≡‥‥≡(x^(k-1))F(n)≡0。
具体例：mod 5で考えると
0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3,‥‥（5番目が0、次が3だから、その後は）
↓（3倍） ~~~~
0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4,‥‥（全体を3倍したのと同じになる。だから5の倍数番目は全部0）
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 15:30:01 ]
- 〔問.479〕
x,y,z は自然数で、 1/x + 1/y = 1/z, xとzは互いに素とする。
このとき x+y, x-z, y-z はすべて平方数であることを示せ。
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2007/prob_jan.pdf
例 (x,y,z) = (x, x(x-1), x-1)
- 706 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 16:07:28 ]
- >>705
1/x + 1/y = 1/z より y=(x+y)z/x
xとzは互いに素でyは自然数だからx|(x+y)
したがってある自然数mが存在してx+y=mx となる
よってy=(m-1)x=mzとなるのでz=(m-1)x/m
m-1とmは互いに素でzは自然数だからm|x
したがってある自然数nが存在してx=mn
これよりz=n(m-1)を得るが、xとzは互いに素なのでn=1
よってx=m、y=m(m-1)、z=m-1を得る
このときx+y=m^2、x-z=1、y-z=(m-1)^2なので
たしかにx+y、x-z、y-z はすべて平方数となる
- 707 名前：703 [2007/02/12(月) 16:43:44 ]
- >>704
エレガントな証明ですね
私が考えていたのは、F_(m+n) = F_(m+1) * F_n + F_m * F_(n+1)
を利用して、帰納法で示すものでした
後半は表示が一意じゃないと思います
- 708 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 16:46:31 ]
- 馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿お前らがどんなに勉強しても天才には勝てな
お前ら凡人が千人集まっても天才には勝てない
もう勉強やめろ
- 709 名前：にょにょ ◆yxpks8XH5Y mailto:sage [2007/02/12(月) 16:53:41 ]
- 天才に勝つために勉強してるんじゃないぜよ。
- 710 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 17:19:31 ]
- 天才は馬鹿から生まれる
- 711 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 18:14:58 ]
- のび太は馬鹿だがドラえもんをつくった
- 712 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 20:22:42 ]
- x,y,z は自然数で、 1/x + 1/y = 1/z, xとzは互いに素とする。
このとき x+y, x-z, y-z はすべて平方数であることを示せ。
x+y=xy/z=mx->y=(m-1)x=mz->x=mz/(m-1)->z=(m-1)->x=m->x+y=m^2
x-z=m-(m-1)=1^2
y-z=mz-z=m^2-m-m+1=(m-1)^2
- 713 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 20:28:34 ]
- x+y=m^2
x-z=n^2
y-z=p^2
y+z=m^2-n^2
y=(p^2+m2-n^2)/2
z=(p^2-n^2-p^2)/2
x=m^2-y^2=(m^2-p^2+n^2)/2
...
- 714 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 21:15:44 ]
- 円周上に異なる8個の点を取り、全ての点を線で結ぶ。
(1)、線分は全部で何本できるか。
(2)、この線分の中から3本を取って選ぶとき、選ばれた3本の
線分の端点が全て異なる確率を求めよ。
- 715 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 22:28:27 ]
- >>714
面白くないんだが
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 00:34:39 ]
- 中学生の宿題かよ・・・
- 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 01:09:46 ]
- >>691
意味分からん
カードを並べ替えられるとかならともかく、
そのまま裏返したら確率 2^(-200) にしかならなくない？
- 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 01:16:00 ]
- >>714
質問は質問スレに行けよ、餓鬼が！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 05:08:19 ]
- >>706,712
どうもです
〔問.476〕
p >0, |x_0| ≦ 2p とし,
x_n = 3x_(n-1) -(1/p^2){x_(n-1)}^3 (n≧1)
と定義する。
x_n を n と x_0 の函数として表わせ。
〔問.478〕
√{2+√[2+√(2+x)]} + (√3)√{2-√[2+√(2+x)]} = 2x,
x ≧ 0.
を解け。
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_dec.pdf
- 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 05:29:47 ]
- >>708
天才のひらめきは千人万人の凡人の地を這うような研究の結果を元に起こるものなのだよ。
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 05:37:58 ]
- >>717
200人ではなくふたりの場合を考えみたんだが。
（カードは２枚中１枚をめくる）
打ち合わせ無しの場合 → ふたりが助かる確率は1/4
事前に以下の打ち合わせした場合 → 助かる確率は1/2
「１番は右の、二番は左のカードをめくろう」
（同じカードをめくらないようにしよう）
てな感じで、助かる確率を上げられそうだ。
200人の場合も何か方法があるかもしれん。
すくなくとも200人が全く同じカードをめくる場合助かる確率は0だもの。
直感的には、どのカードもちょうど半分のひとにめくられるように
戦略を立てるのがよいような気がする。
- 722 名前：Queen ◆xeS.CIM.Jk [2007/02/16(金) 11:02:08 ]
- 定理:
n∈Nとする。
任意のnに対して平面上に以下を満たすn個の点が存在する。
・どの三点も同一直線上にない。
・どの二点間の距離も整数。
この定理を導く公理は何か。
- 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/16(金) 12:14:13 ]
- >>719
[問476]
θ∈[0,2π)はsinθ＝x0/(2p)を満たすとする。|x0|≦2pより、このようなθは存在する。
このとき、xn＝(2p)sin(θ*3^n) と表せることが(数学的帰納法により)分かる。
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/16(金) 12:41:19 ]
- [問478]
与式を変形して(√3)√[2－√{2＋√(2＋x)}]＝2x－√[2＋√{2＋√(2＋x)}]となる。
右辺は実数だから、左辺も実数となる。もし2－√{2＋√(2＋x)}＜0だとすると、
左辺は(0でない)純虚数となってしまい、矛盾する。よって、2－√{2＋√(2＋x)}≧0となる。
これを解いてx≦2を得る。よって、x＝2cosy，y∈[0,π/2]と表せる。これを代入すると、
与式 ⇔ 2cos(y/8)＋(√3)2sin(y/8)＝2cosy ⇔ sin(y/8＋π/6)＝cosy
⇔ sin(y/8＋π/6)＝sin(π/2－y)
となる。π/2－y,y/8＋π/6∈[0,π/2]であるから、y/8＋π/6＝π/2－yとなる。
よってy＝8π/27 となり、x＝2cos(8π/27)が求める解である。
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/17(土) 11:20:13 ]
- >723-724
どうもです
[問472]
(4-x)^(4-x) + (5-x)^(5-x) + 10 = 4^x + 5^x
を満たす整数x
[問474]
{2^log_5(x) +3}^log_5(2) = x -3
を満たすx>0.
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/18(日) 02:49:16 ]
- >>717
カードの並び替えＯＫだと1/12どころか、それよりはるかに高い確率が実現出来ますが
実はカードを並び替えなくても、十分高い確率がだせます。
>>721
まあそんな感じです。
「これが最高確率だ！」というような答えはありませんが、おそらくそれに近いであろう物は用意してあります。
- 727 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/19(月) 22:56:51 ]
- (1)一辺の長さが1の正四角形の周上に全ての頂点を持つ正三角形の辺の長さの範囲を求めよ。
(2)一辺の長さが1の正五角形の周上に全ての頂点を持つ正四角形の辺の長さの範囲を求めよ。
次のは自分では解いてないです
(3)一辺の長さが1の正n+1角形の周上に全ての頂点を持つ正n角形の辺の長さの範囲を求めよ。
- 728 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 00:33:34 ]
- an+1=f(an)でｆが多項式のときのクックの仕方はどうするのですか？
馬鹿教授が漸化式はむずいの一言で済ませて逝ってしまったので・・・とほほ
- 729 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 00:35:04 ]
- たぶんパスカルの三角形みたいな小技で済ませばいいとか？
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 01:36:35 ]
- カードを並べ替えることにどれだけ意味があるの？
先に打ち合わせをしておいたら同じだと思うのだが…
打ち合わせについてなにか誤解してるかな？俺…？
- 731 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 05:01:18 ]
- science5.2ch.net/test/read.cgi/math/1171912698/
- 732 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 05:50:01 ]
- 番号の位置に並び替えることにすれば１が終わった時点で
１２３４，１２４３，１３２４，１４３２のどれかになる。
- 733 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 05:55:00 ]
- >>732
４人で２枚表にする場合。
- 734 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 06:04:02 ]
- >>730
例えば、
一人目が左端から100枚めくって番号順に並べ替える事にする。
このとき一人目がCの部屋に行ける確率は1/2。
二人目は右端から100枚めくって、全てのカードが
左端から順番に並ぶように並べ替える。
このとき二人目がCの部屋に行ける確率は1/2。
三人目以降は自分の番号のカードがどこに有るか
分かるので確実にCの部屋に行ける。
従って全員が生き残る確率は1/4。
- 735 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 06:13:46 ]
- >>726
ところで部屋Bで自分のカードをめくらなかった
囚人は部屋Aに戻るの？
でもさ、たった一人でも囚人が戻って来たら
一人も釈放されないんだから
まだ部屋Bにも行ってない囚人は
やる気をなくしてしまうだろうね。
- 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 11:36:03 ]
- >>734
二人目は右端から 99 枚めくり、その中にあれば、
右端から 100 枚目をめくって左から昇順に整列させる。
その中にないときは、左から 2 番目のカードをめくり、
最初の 99 枚は右端から昇順に整列させる。
二人目がCの部屋に行ける確率は 198/199.
三人目以降は、右端をめくれば全体が整列されているかどうかがわかる。
整列されていないときは、二人目が選んだ 99 枚から二分探索で探し、
その中になければ右から 100 枚目をめくる。
そこにもなければ、左から何枚目にあるかがわかっているはず。
ということで、確率は 99/199 にできると思う。
- 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 11:48:16 ]
- >736 と >734 は想定しているルールが違うようだ。
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 11:51:25 ]
- >>736
上手い！
でも元の問題ではカードは並べ替える事が出来ないから
関係ないかも。
>>737
そう。でも、>>730の疑問に答えているだけ。
- 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 14:27:29 ]
- なるほど、自分がめくって「いない」カードも並べ替えてよいのか。
- 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 03:21:35 ]
- test
- 741 名前：726 [2007/02/21(水) 03:34:02 ]
- アク禁でレスが遅れてすみません。
>>735
自分のカードをめくれなかった囚人が一人でも発生したときは
その場ですべての部屋にいる囚人が処刑されます。
まあ題意とは関係のない設定ですが（苦笑
99/199は、かなりいい線いってますね。
並び替えOKのルールの中では、最高レベルに高い数字だと思います。
私は問題製作者でないので1/12という数字がどこから出てきたのか知りませんが
実際の答えはもっと高いので、あまり深い意味はないようです。
- 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 04:50:52 ]
- >>741
問題が >>691 のとおりだとすると、
囚人達にできることは、
「一番最初に部屋 A で、(>>721 のように)
各囚人がどのカードをめくるかをあらかじめ打ち合わせて置く」
ことしかできないと思うんだが、
それだと4人目の囚人のところで生存確率 1/12 を切ってしまう。
問題の解釈間違ってる？
- 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 08:21:03 ]
- そうなんだよね。n+1 人目が成功する確率は、どんなにがんばっても
100/(200-n) より高くならないように思えるのだけど。
- 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 11:08:22 ]
- だなあ。並べ替えが出来ないとすると、
2番目の囚人にわかることは、1番目の囚人がめくったカードの中に1番のカードがあったということだけな気がする。
1番目の囚人がパスする確率は1/2。これはどうしようもないと思う。とすると、残りの199人が1/6以上の確率でパスしなければならない。
2番目の囚人が最も高い確率でパスするのは、1番目の囚人がめくらなかった100枚をめくることだが、それが100/199。←違う？
なので、2人目までがパスする最も高い確率は50/199。
すると、残りの198人は199/300以上の確率でパスしなければならない。
3番目だけですら、そんなに高い確率でパスする方法はなさそうに思える。
さっぱりわからん。
- 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 11:22:15 ]
- 成功した場合は自分の番号の付いたカードを表のままにし、
それ以外のカードを裏に戻すとルールを変更したとする。
このとき、n+1 人目にとって前の n 人がどのカードを
めくったかの情報は無意味だから(だよね？)、n+1 人目が
成功する確率は 100/(200-n).
本来のルールではこれより確率は高くならない。
- 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 20:55:13 ]
- ネタ投下します。
(√26+5)^n=a_nとする。a_nは小数点の後n個9か0が続く事を示せ。
α、βは1/α+1/β=1であるような無理数である。A={［nα］|n=1,2,3,･･･}
B={［nβ］|n=1,2,3,...}とする（[x]はxの整数部分を表す。）。この時A∩B={0}であり、A∪B=Nである事を証明せよ。
Nは自然数の集合である。
既出ならすいません。
- 747 名前：=726=691 mailto:sage [2007/02/21(水) 22:29:34 ]
- >>742
「一番最初に部屋 A で、
各囚人がどのカードをめくるかをあらかじめ打ち合わせておく」
その趣旨で間違いありません。
では以下ヒントを。
「並べ替えOKルール」の場合、実は全員が成功する確率を「1/2」にすることが出来ます。
まず囚人1号は無作為に100枚のカードをめくります。
そしてめくったカードのうち、k番と書かれたカードが右からk番目の位置に来るように
それぞれを並び替えます。
次に、それ以降の囚人は、
最初に、右から数えて自分の囚人番号の箇所にあるカードをめくります。
もし囚人1号がめくったカードの中に、自分の囚人番号が含まれていれば
最初の一枚で、自分の番号を引き当てられるので、その囚人はC部屋にうつれます。
では、そうでない囚人は、どのような「どのような規則で」それ以降のカードをめくればよいか？
実はこれがそのまま「並び替えNG」の場合における正解になるのですが、
ここではまだふせておきます。
- 748 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/21(水) 23:44:13 ]
- >743 は、まず 100 枚選んだ後に同時に表にするという手順を仮定している。
一枚選ぶ毎に表にし、何が出たかによって次に選ぶカードを変化させるという
戦略にしないと >745 の推論が有効になるということか。
- 749 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/22(木) 00:39:21 ]
- >>734も>>736も何が出たかでどのカードを開くか決めている
- 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 00:57:08 ]
- >>746前半
(5+√26)^n+(5-√26)^n ∈Z であることが帰納法で証明されるので、
10^-(n+1) ＜ |5-√26|^n ＜ 10^-n を言えばよい。
⇔ 10^n ＜ 1/|5-√26|^n ＜ 10^(n+1)
⇔ 10^n ＜ |5+√26|^n ＜ 10^(n+1)
⇔ n ＜ nlog|5+√26| ＜ n+1
⇔ 1 ＜ log|5+√26| ＜ 1+1/n を示せば終了‥‥
‥‥と思いきや、これだと n＞234 で主張が成立しないことになる。
というわけで、詰まった。
- 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 01:03:54 ]
- >>750
√26-5＜0.1がすぐ言えるでしょ
- 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 01:06:48 ]
- >>747 のヒントで方針はわかった気がする。
まず、1番目の囚人が (右から) 1番目のカードをめくる。
出た数を n_1 として、それが1でないなら次に n_1番目のカードをめくる。
以後、 k番目にはk-1番目に出た値 n_(k-1) 番目のカードをめくり、
出た値 n_k を元に次をめくる。これを1が出るまで行う。
(必ず1に行き着く説明は省略)
1をめくった後は、ルールに従うと 1番目のカードに戻るので、
このルールでカードを選んでいくとループする。
さて、そのような同じループに属するカードごとに、
200枚のカードをグループ分けできる。(各グループに重複はない)
最初にm番目を開いたとき、mを見つけるまでにカードをめくる回数は、
m番目のカードが属するグループのサイズに等しい。
よって、200枚のカードを分割するいくつかのグループの
いずれのサイズも100以下であれば、囚人たちはこの方針でクリアできる。
ただ、そうなる確率の算出方法がわからない...。
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