圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/31(木) 07:21:12 ] ■前スレ 　圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/ 　なんで圏論なんてもんがあんのよ？ 　makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html ■関連スレ 　大好き★代数幾何 Part 3 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/ 　非古典論理について語るスレ 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/ ■関連過去スレ 　層 　makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html 　シット サイト トポス シャン モチーフ 　makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html 666 名前：白ちぃ mailto:sage [2007/12/23(日) 14:58:09 ] ち？ 667 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/24(月) 00:13:59 ] 新しい本どう？ 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/24(月) 01:05:21 ] つまらん。 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/24(月) 08:09:22 ] >>668 おまえの人生を振り返ってか？ 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/24(月) 13:03:58 ] いま読み始めたんだけど、どこがどんなふうにつまらないの？ 671 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/24(月) 13:20:52 ] 蓼食う虫も好きずきっていうやないか。 まぁまぁ、そうムキにならへんでも・・・ 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/24(月) 14:58:43 ] きょうから読み始めてる者ですが、なかなか面白いと思います。 が、20ページの2行目のところでいきなりつまずいてしまいました。 （λx．Ｔ＝λx．x）なんですが、どうしてこれがＦの定義になる のですか。よろしかったらどなたか解説よろしくお願いします。 673 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/24(月) 16:30:57 ] Ｆの定義そのものじゃねえか W 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/24(月) 16:47:13 ] どういうことなんですか。単純に「Ｔでない」という定義ではだめですか。 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/24(月) 17:43:07 ] なるほど、なんとなく理解することができました。 すべてが成立する、ということはないことを前提として、 それを偽の定義として採用しているわけなんですね。 次に25ページのところなんですが、Ｔ．1の証明の過程で （1）と（2）が同じ式になっているのはどうしてなんですか。 まさか、ミスプリではないですよね？ 676 名前：ななめ苺 mailto:sage [2007/12/24(月) 17:52:29 ] なの〜 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/26(水) 23:42:42 ] 　　　　　　　　　 |l.＞...⌒ヽ└=ｧﾗ-‐.:.:＞..:.:.￣.:.｀ヽ-...、 .　　　　　　　　 ／..:.:.:.:.:.:.:.ﾊ....//‐.:.／..:.:.:.:.:.:.:.,.:.-‐.:.:.:.:..＼ 　　　 　 　 　 /.:.:.:.:.:.:.:.:.:./.:.}／ｰ:./ｨ＿-､:. ／..:.:.:.:.:.:.:.:.:.ヽ:.ヽ 　　　　　　　/:.:.:.:.:.:.:.:.:.:/.:.:∧.:.:./..:.:.:.:.:.:. /７..‐-/､.:.:.:.:.:.:.:ﾊ:. i 　　　 　 　 /{.:.:./.:.:.:.:./.:.:./...l|∨.:.:.:.:.:.:. /.:/:.:.:.://丶ー十'｜:| 　 　 　 　 ハ!:/.:.:.:.:.:.:.:.:.:ﾊ＞|ﾐl.:.:.:.:.:.:.:/_ｲ―:.､/.:.:.:.厂:7.:.:ﾘ:.:| 　　　　　 l.:::l/:::::::...:.:.:.:./V/7ヽ|:.:.:.:.:.:/､_ ヽ:/:ｲ｀::.:/.:.:/:/:;..:.:ﾘ 　　 　 　 |:.:/.:.:.:.:.:.:.:.:.:ハﾄ､{ 〈 |.:.:.:.:l｜}¨７ぅﾐ､＼/::::/ナ/::::/ 　　 　 　 |/.:.:.:.:.:.:.:.:.:/　 |.:.ヽ｀ l:.|:.{.:!:| ﾍ.ﾋzﾂ `　 `,孑ｧ7// 　　　　　/ .:/.:.:.:.:.: /　　l.:.:.|:.}ｰ�Y:l:.N 　 　 　 　 ﾄﾋﾙ:/ ´ 　 　 　 ,′/.:.:.:.:.:.:/　　 l.:.:..V　　 ｀ヽ　　 　 　 　 〉/ｲ{　そうでしょうか？　　 .　　 　 i :..:'.:.:.:.:. /i′　｜:.:...ト ､　＼　　　　 ､tｰく __｀ 　　　　| :.i .:.:.:.:/: |　　　|.:.:.:...l` ｰ ﾆ.7＞.. _ ..イ ｀ソ ,_＞､　　　　　 ,. --_､　 　　 　 | .:l.:.:.:./:.:｜　 _.. 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Levi-Strauss 言い換えてみる事も悪いことではないんでないの？ 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/13(水) 03:44:57 ] >>694 たぶん、型つきλ計算なら問題ないんじゃ？ そういえば、竹内層圏トポスの層のところもひどかった。 そこで、topoiをどこか翻訳出版しないかな？ 698 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/01(土) 16:34:56 ] Lawvare & Schanuel, _Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories_, Cambridge U.P., 1997. 今知ったんだけど、全部オンラインで読めるのね。 books.google.co.jp/books?id=o1tHw4W5MZQC&printsec=frontcover&as_brr=3 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 21:41:16 ] それって一括でダウンロードする方法ないかなあ。 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/02(日) 13:00:08 ] 全部は読めないよ。一部だけ。 701 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/24(月) 22:45:58 ] 「圏論と論理学」読んでる人へ。 91pで偽を定義してるとこ。 この定義だと、偽と真が等しい矢であることもありえるんだよね？？ 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/25(火) 01:15:47 ] >>701 俺も悩んだけど、pullbackの定義に戻るとＴと⊥が違う射でなくてはいけないことが分かった 703 名前：701 [2008/03/25(火) 11:38:40 ] >>702 　Ｔ = ⊥　　　　　　　　　　�@ である場合、任意の対象Eとh:E->1、k:E->1について、 　Ｔ o h = ⊥ o k 　　　　　�A となるから、pullbackの定義より、 　h = ! o l　　　　　　　　　�B 　k = 0_1 o l　　　　　　　　�C なる l:E->0 が一意的に存在しなければならない。 ところが、1は終対象だから!:0->1と0_1:0->1は等しい。 　! = 0_1　　　　　　　　　　�D よって、�B�Cの条件は、�@�A�Dより 　Ｔ o ! o l = Ｔ o ! o l となり、任意のlがこれを満たすことになる。 つまり一意的ではない（？） とくにSet圏の場合、0は空集合なのでEが0でなければ E->0 なる射は存在しないから pullbackの条件を満たせない。 こういうこと？ 704 名前：701 [2008/03/25(火) 11:46:09 ] 92pの図2.2 !について、0の空要素を1の要素に対応させてるのもよくわかんないんですよね〜 705 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/25(火) 20:04:55 ] 圏論の何たるかを知らない奴らのスレだな 706 名前：701 [2008/03/25(火) 21:42:09 ] Yes !! 少なくともオイラは知りません。 Conceptual Mathematicsにつづいて、まだ二冊目です！！(＞▽＜;; 707 名前：701 [2008/03/27(木) 22:43:31 ] 「圏論と論理学」158p 　するといまや、集合の場合のB~（=｛φ｝∪{{y} | y ∈ B}) 　に相当するトポスでのB~は、上の（＃）より、 　下図をみたすh^とidとのequalizerとして定義できてくる。 なぜ？？ 708 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/29(土) 21:59:09 ] Categories for the Working Mathematician S. MacLane Amazonでは品切れだね。 皆さんは邦訳読んでるの？ 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/29(土) 22:01:20 ] あるのね。 www.amazon.co.jp/dp/0387984038 拙速でした。 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/30(日) 04:46:12 ] >>708 あんな売れ筋商品がout of printにはならんだろw 未だにpaperbackにもならねぇorz 711 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/11(金) 12:26:40 ] そのうち（or 既に）objectにあたるものが存在しないが圏みたいなものとみなせるような概念が使われるようになるのだろうか 点の集合ではないが幾何的な空間とみなせる非可換空間が今使われてるように ただ上記の圏もどきを考えて何になるのか想像もつかないが 712 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/11(金) 21:00:36 ] >>711 何かが存在しないとダメだ。 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/12(土) 04:07:39 ] GTMの本はpaperbackにはなかなかならんと思うが。 714 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/12(土) 20:30:59 ] GTM vol. 10 は paperback になっている。 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/12(土) 23:36:09 ] objectなくてもmorphismだけあればいいんだよ 716 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/13(日) 03:40:11 ] >>715 そういや普通に圏をmorphismだけで定義出来たんだっけ それではobjectもmorphismも無いのを考えたらそりゃ何も無いって事にしかならないわね… 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/13(日) 10:24:44 ] morphismだけで圏を定義する立場で「objectにあたるものが存在しない」を解釈するなら、 「単位元がない」の意味に取れるけどなあ。結局イミフだよ。 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/13(日) 18:05:35 ] >>715 objectがないじゃなくて objectのelementがないの間違いではないの？ 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/13(日) 23:09:38 ] >>718 君は圏論が分かってない 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/14(月) 14:21:28 ] >>716 objectがなくてもdomainさえあればmorphismがobjectの代わりになってくれるよ 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/15(火) 11:55:10 ] identity maps 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/21(月) 16:16:05 ] 普通に対象も射もない零圏てのがあるよ 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/21(月) 16:27:11 ] すべての圏が零圏じゃ困るだろうが 724 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/21(月) 17:02:36 ] age 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/04/28(月) 08:32:22 ] morphismだけの定義で頑張ってる圏論の本ってある？ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/28(月) 10:56:00 ] >>725 確か 数学選書圏論(カテゴリー) (単行本) 大熊 正 (著) 出版社: 槙書店 がそうだと思う。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/28(月) 12:58:35 ] >>726 thanks ! 728 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/24(土) 01:36:41 ] 沸騰 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 03:24:43 ] 737 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 13:21:12 ] 二年六時間。 731 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/16(火) 17:07:34 ] 圏の定義で、射の結合則はずしたらどうなる？ 732 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 01:33:34 ] おバカでセンス-255のやつでも 理解できる本教えて 733 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 13:10:46 ] >>732 コホモロジーのこころ：加藤五郎　とか ttp://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185 とか 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/09/17(水) 21:11:55 ] >>732 ない 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/17(水) 21:15:44 ] LawvereのConceptual Mathematicsとかは まあ分かりやすいよ。ただ現代数学に応用とかの レベルには到底到達しないけど。 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/17(水) 21:33:00 ] C.A.Weibel, An Introduction to Homological Algebra, 1994 でも嫁 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/17(水) 21:57:11 ] 圏の定義で射の結合則はずしたのを研究してるヤツいる？ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/17(水) 22:32:48 ] >>732 無いのか >>735 基礎学力程度でいいのでつが それ読むと大丈夫？ 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:02:37 ] 「圏論の基礎」ってカタカナ語使いすぎだと思うんだが。 「イコライザー」「プルバック」とか勘弁してくれよ、、 カテゴリーを圏と訳しておきながらそれは無いだろう。 ＞基礎学力程度でいいのでつが どの程度を目指してるのか、その説明じゃ全然分かんない。 数学科の大学院生が、基本的教養として、とか言うのなら全然足りない。 一方、ちょっと圏をかじってみてどんな雰囲気のものなのか知りたい、とか言うなら充分 大学一、二年生向けの少人数選択講義で「圏論入門」みたいなのを Lawvereがやったらしくて、それを本にしたのが>>735の本。 >>736のはもっと難しい本。 誰か「圏論への30講」とか書いてくれないかねｗ 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/22(月) 03:59:46 ] ＞誰か「圏論への30講」とか書いてくれないかねｗ うん、でてきてほしい。 でも昔それをやろうとしたのが、かの「層・圏・トポス」だったわけで、、、。 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 04:29:22 ] Lawvereの"Sets for Mathematics"じゃ駄目なのかい トピックが偏ってはいるけどさ 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 00:04:27 ] A. J. Berrickの"Categories and Modules With K-Theory in View" 買おうかなーって迷ってるけど TOC見る限りえらく懇切丁寧な本な気がしたが 743 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/08(水) 10:48:23 ] age 744 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/08(水) 11:07:56 ] >>11 そもそもヒルベルト多項式の理論が分かりませんっ！！ なに読めばいいですか！？ 745 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/08(水) 14:41:06 ] 可換環の本だろう 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 14:52:32 ] 【新潟】古代九九発掘　７×９＝４７？　３×９＝２４？古代人も四苦八苦 mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1223443044/ 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 22:24:11 ] >>744 M. Reid "Undergraduate Commutative Algebra" とか、分厚くなるけど、 [UTM] "Ideals, Varieties, and Algorithms" 辺りでは駄目？ 748 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/10(金) 08:18:24 ] [UTM] は面白くないんじゃないの？むしろ情報系のための本な気がするし 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/11(土) 00:49:56 ] >>748 だけどいきなりEisenbudせんせの本を薦めるのもどうかと・・・ paperback安いけど・・・ 750 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/12(日) 20:55:52 ] Eisenbudの本はinjective moduleなどが丁寧でいい。cohenのstructure theoremも言及されているが証明はあったかどうだか覚えてない。 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/13(月) 18:25:59 ] Eisenbudの本ってどれを指してるのですか "Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry" でいいのですか？ 752 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/13(月) 20:36:01 ] そう。永田「可換環論」もいい。また、Srinivas「Algbraic　K」のappenndixが代数幾何の重要な部分を補完していて非常によい。 753 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/13(月) 22:15:51 ] 圏論って何の役に立つの？ 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/13(月) 22:20:17 ] 情報数学の理論で圏論の応用がよく顔を出すらしいよ 圏論そのものを研究するんじゃなくて、的に 755 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/25(土) 07:21:46 ] >>753 代数幾何では導来圏が重要なツール。 コホモロジーが出てくる分野では圏論は必須。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 23:22:13 ] うるさい。 757 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/08(月) 08:21:23 ] 圏論を勉強しています。 下記に質問しましたのでご覧いただけましたら幸いでございます。 beauty.geocities.jp/noname45754/study/hoge1.jpg 758 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/08(月) 09:00:49 ] >>754 文献は？ 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 11:05:01 ] >>757 「圏論の基礎」の p.11 を写し間違えている？ 普通は O は「対象の集合」だと思うけど． 対象の集合だとすれば話は簡単で， 例えば（普通の意味の）グラフ G = (V, E) を 　V = {a, b, c}, 　E = { (a,b), (b,c), (c,a) } なるものだとする（３点からなるサイクル）． このとき，O, A はそれぞれ 　O = {a, b, c}， 　A = {f: a->b, g: b->c, h: c->a}． になる．dom f = a, cod f = b など． 合成可能対は { (g,f), (h,g), (f,h) } ． 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 11:18:06 ] >>758 754 じゃないけど，例えばプログラム変換界隈だと Tarmo Uustalu, Neil Ghani and Varmo Vene: "Build, augment, and destroy, universally", LNCS 3302 なんかは個人的に好み． この著者らのグループがこういうことを主にやってる感じ． 761 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/08(月) 12:41:43 ] >759 ありがとうございます。 >>>757 > 「圏論の基礎」の p.11 を写し間違えている？ はい、そうです。ちょっと難しくて。。 > 普通は O は「対象の集合」だと思うけど． という事は何らかの対象がGがあってO=Ob(G)となっているのですよね。 > 対象の集合だとすれば話は簡単で， > 例えば（普通の意味の）グラフ G = (V, E) を すいません。グラフの定義が分かりません。 調べては見たのですが写像の像がグラフだと思いますので 圏論では射の像,つまりcodfがグラフに相当するのでしょうか? 762 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/08(月) 12:42:47 ] > このとき，O, A はそれぞれ > 　O = {a, b, c}， > 　A = {f: a->b, g: b->c, h: c->a}． 自分から自分への射,a->aとかは考えないのでしょうか? > になる．dom f = a, cod f = b など． > 合成可能対は { (g,f), (h,g), (f,h) } すいません。いまいちよく分かりません。 A×_o Aの定義は{<g,f>;f,g∈Aかつdomg=codf}となっていて dom:A→O, cod:A→O となっていますよね。そしてA=Mor(C,D) するとdomA=C,codA=Dですよね。そしてこれら像はOに属する。。。 A=Mor(C,D)と考えるのではなくてO=Ob(G)というGという性質(?)の集まりで O={a,b,c,d}とするとAはOで考えられる射の集まりなので A={Mor(x,y);(x,y)∈O×O}と書けるのですね。 よって A={f_1:a->b,f_2:a->c,f_3:a->d,f_4:b->a,f_5:b->c,f_6:b->d,f_7:c->a,f_8:c->b,f_9:c->d,f_10:d->a,f_11:d->b,f_12:d->c}となるのですね。 それで合成可能対はdomの像とcodの像か一致しているものですよね。 {<f_1,f_5>,<f_2,f_7>,…}という風にして探せれるのですね。 なんとなく分かってきました。 763 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/08(月) 18:11:23 ] アーベル圏の、その部分アーベル圏によるquotient圏て 対象は元の（大きい方の割られる方の）アーベル圏の対象を そのまま使うけど、 射の定義がよくわかりません( ~っ~)/ Wikipediaに一応定義載ってますがあまりいい解説に思えません。。 764 名前：Ｘ [2008/12/08(月) 18:36:33 ] ○○○○○―○○○○＝３３３３３ ・1〜9の数字を使って○を埋めなさい 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 19:33:06 ] >>761 > 調べては見たのですが写像の像がグラフだと思いますので それも言うなら「原像と像との組の軌跡」だろうが、そもそも グラフ違いじゃｳﾞｫｹｪ 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 20:53:47 ] >>761-762 圏論の基礎を読むには基礎体力が大幅に足りて無いように見える． >>761 > という事は何らかの対象がGがあってO=Ob(G)となっているのですよね。 ここでの Ob の定義は何？対象を引数に取るの？ >>762 > 自分から自分への射,a->aとかは考えないのでしょうか? 有限グラフなら考えない（流儀による）． 圏なら id: O → A が定義できないといけないので必須． > そしてA=Mor(C,D) ここでの Mor の定義は何？ > するとdomA=C,codA=Dですよね。 domA, codA って何？ この等号は何で成り立つの？ > A={Mor(x,y);(x,y)∈O×O}と書けるのですね。 ここでの Mor(x,y) って何？ 常識的に考えると x → y の射の集合だと思うけど、 すると A は射の集合の集合になって書いてあることと違うよね． あと，何で (x,y)∈O×O と，全ての要素を走るの？

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