よく話題になる確率の問題を集めてみる

1 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/27(月) 16:44:16 ] 過去数学板では一つの問題で数百レスも稼ぐような問題が結構ありました。 その殆どが確率の問題。それらを記念に集めてみよう。 175 名前：4 の答え [2006/07/17(月) 18:07:41 ] 4の答えは確か,,, :ドアを変えたほうが賞品をもらえる確率が高い: だったぞ. 本で見た. 当時全米か,全英で自称智能指数が1番高いやつが証明したらしい. そしてそのあと こいつを間違ってるって注意したやつが山のようにテレビ局に手紙をだしたらしい.中には有名な 大学教授もいたりして. しかし,やっぱりその自称智能指数NO.1が正解だったんだ. たしか curious incident of the dog in the night-time っていう小説. 自閉症だが,数学,ロジック,物理に関しては天才な少年のストーリー.物語自体はフィクションだが ここにかいてあるのは実際におこったらしい. 今度,よかったら証明書きます. あと,トランプと囚人の問題は引っかけクイズじゃないんですか? 数学的に難しいんじゃない気がする.... 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/17(月) 18:54:59 ] >>166 それならわかる。 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/17(月) 18:58:31 ] >>155 自分のほうが間違ってるのに、自信満々に相手の投稿を（晒し上げの積もりなのか何なのか、、） コピペする人には困惑させられますね。 >>175 ＞当時全米か,全英で自称智能指数が1番高いやつが証明したらしい. 単に、当時、米国で最高のIQを持つと言われてた女性（Marylin vos Savant）が、 正解だった、というだけ。 確率って結構大数学者でも間違える分野なんだよね。 （>>7は俺なんだけど、知ってる人いないのかなあ、、） 因みにその女性の書いてる 『史上最大の難問が解けた!―ミズIQの「 フェルマー最終定理の証明」事件簿』 はトンデモなんで注意。ある分野でトンデモの人でも、別の分野では優秀だったりするんだよな。 誰とは言わないが、某区体論の人とかｗ 本の内容は、フェルマーの最終定理はユークリッド幾何的定理だが、 ワイルズの証明に使われる〜理論は双曲幾何的理論だから、 自分は具体的な証明は知らないけど、ワイルズの証明が間違っているのは明白である、とかなんとか。。 所謂「マチガッテル系」の人ですな。 ＞数学的に難しいんじゃない気がする.... 同意同意。 178 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/18(火) 01:05:42 ] >>143 >>151 >>156 「このとき」って部分に対し、随分と都合のいい解釈だな。 バケツに５リットルの水が入っている。 コップで何杯か汲み出したら、汲み出した量が丁度２リットルであった。 このとき、バケツの中には何リットルの水が入っているか？ こんな問題が出ても 「このとき、ってのは初めの状態の事をさすから答えは５リットル」 って答えるのか？ それとも、この問題は確率の話じゃないから別とでも？ あんたらの言ってることは確率云々ではなくて、最初に１／４と思って 間違いを認めたくないから問題文の解釈だとか屁理屈こねてる だけにしか聞こえない。 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/18(火) 01:20:19 ] ”始めの状態”とか”時点”とか言ってる人は大学入試のパターン暗記が抜け切っていないんだろうね。 確立の定義も家無いんだろｗ 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/18(火) 01:33:10 ] >>178 というかもう単に釣りかと。 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/18(火) 01:59:22 ] いやもう釣りですらないかと 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/18(火) 02:03:13 ] いわゆるひとつのｇｄｇｄ 183 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/18(火) 16:50:44 ] 条件付確率というより、逆確率の問題でしょ。 当然1/4にはならないわね。 184 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/18(火) 20:17:51 ] ３人の囚人A、B、Cの内、２人までが処刑され、 １人は釈放されることになっている。 Aは看守に尋ねた。 「B、Cの内、少なくとも１人は処刑されるわけだから、 どちらが処刑されるか教えてくれないか？」 すると看守はこう答えた。 「Ｂは処刑されるよ。」 Aは少しホッとした。 自分が処刑される確率が２／３≒６６．６％から１／２＝５０％に 減ったと思ったからだ。 看守はウソをつかないものとして、 本当にAが処刑される確率は減ったのだろうか？ 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/18(火) 20:27:21 ] よく話題になるメコスジを集めてみる 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/18(火) 21:09:57 ] >>184 Aが処刑される確率…(1/3)/(1/2)=2/3 Bが処刑される確率…1(すなわち100%) Cが処刑される確率…{(1/3)*(1/2)}/(1/2)=1/3 数学科の人間ならわかって当たり前。 わからない人間はおそらく一生わからない。 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/18(火) 21:31:51 ] Aは少しウホッとした。 に見えた。 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/19(水) 05:38:32 ] >>186 看守はけして嘘はつかないが BCのどちらを答えてもいいとき、つまりBCが処刑されるときには はたして等確率でBとCを答えるものなのだろうか？ できる限り(ウソにならないかぎり)はBと答えようとする看守の下と できる限りCと答えようとする看守の下では Aの助かる確率は変わりはしないだろうか？ ７０％の確率でB、３０％の確率でCと答えようとする看守の下では どうだろうか？ 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/19(水) 07:54:34 ] そういう根拠の無い仮定は確率の問題では考えないような 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/19(水) 10:23:32 ] 看守がBC等確率に答えるのにはなにか根拠があるとでも？ ABCが処刑される確率もそもそも等しいのか？ もっとも看守の答え方にばらつきがあるときに Aの処刑の確率に変化があることを想像した上で あえてこの問題に限り考えないというのならまあいいが そんなことは思いつきもせず>186のように答えてしまう ような人間にはおそらく一生わかるまい。 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/19(水) 11:09:28 ] なるほど Bがたいへん著名な犯罪者で、Cが発音すると舌を噛みそうで しかも長たらしい名前だったりすると Aの処刑される確率は下がるということか。 192 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/19(水) 18:45:06 ] >>190 ２個のサイコロを振って出た目の合計が４である確率を求めよ、という問題を数学の試験で出されたら、 １/１２と答えるだろ？ 特に断りがない限り どの目が出る確率も等しい、というのがあくまでも｢数学の試験問題｣の大前提だろ？ この囚人の問題も普通に読めば｢数学の試験問題｣あるいは、よくあるパズル集の中の１問だよ。よってサイコロの問題と同じ。 無論、現実には田中太郎と武者小路権左衛門ではどちらが言い易いか、とか どちらがより悪人顔をしているか、とか諸々の要素を考えた上で 複雑な計算をしなければならないが、 ｢数学の試験問題｣として単純化された確率を計算する能力すらない人間に そのようなより複雑な｢現実の問題｣における確率を計算できるはずもない。 この囚人問題はまさに、｢数学の試験問題｣として単純化された確率を計算する能力を問うているのだ。 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/19(水) 21:25:58 ] >>192 > どの目が出る確率も等しい、というのがあくまでも｢数学の試験問題｣の大前提だろ？ 大学入試ならその通りだが、普通の数学ではその限りではない。 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/19(水) 22:44:28 ] >>193 出題者の意図くらい読み取ろう。 この3囚人問題は、君が言う｢普通の数学｣の問題ではない。 設定が単純化された大学入試問題のごときパズルのひとつに過ぎない。 すなわち、この3囚人問題には、BとCの2人が処刑される場合、看守が｢Bは処刑されるよ｣および｢Cは処刑されるよ｣と教える確率は、ともに1/2であるという大前提が潜んでいることは明らか。 このように設定が単純化された問題も解けないようでは、 より複雑な現実の諸問題を解決することは不可能。 すなわちこのように設定が単純化された3囚人問題におけるそれぞれが処刑される確率もわからないようでは 数学科学生として恥ずかしいということ。 195 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/19(水) 23:05:53 ] >>194 > すなわち、この3囚人問題には、BとCの2人が処刑される場合、看守が｢Bは処刑されるよ｣および｢Cは処刑されるよ｣と教える確率は、ともに1/2であるという大前提が潜んでいることは明らか。 そんな前提を置かなくても解ける問題だ。 不要な前提を自分勝手に設定するようでは数学者とはいえない。 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/19(水) 23:19:10 ] >>195 トンデモ君ご登場ですか？ 君の解法と解答を教えてもらおうか。 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 02:56:57 ] >>190 根拠に関して自覚するのは必要だし、解くときに 「看守がB、C等確率に答える」という前提をexplicitにするのはいいことだ でも、仮にBとCが、いろいろと条件の違う田中太郎と武者小路権左衛門だったとして、 BとかCは人名をアルファベットで代用してるわけだ。 片方が「B」である可能性がより高いとする根拠なんかあるかい？ あるわけないだろ >>195 本当に？普通のサイコロの問題でも、各面のうちどの面が出易いと考える理由もないし、 サイコロの形状が大体（完全にでは無いが）どの面に関しても対称だから、 各面の出る確からしさはほぼ等しい、という仮定を置かないと解けないわけだけど そういう前提を置かないと解けるの？解答ｷﾎﾞﾝﾇ 198 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/20(木) 03:04:26 ] > 本当に？普通のサイコロの問題でも、各面のうちどの面が出易いと考える理由もないし、 サイコロの形状が大体（完全にでは無いが）どの面に関しても対称だから、 各面の出る確からしさはほぼ等しい、という仮定を置かないと解けないわけだけど ↑当然必要 > すなわち、この3囚人問題には、BとCの2人が処刑される場合、看守が｢Bは処刑されるよ｣および｢Cは処刑されるよ｣と教える確率は、ともに1/2であるという大前提が潜んでいることは明らか。 ↑当然不要 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 03:06:47 ] いやだからどうして解けるのか、解答を教えて下さいよ 当然だとか言われたって困るわけで 看守が｢Bは処刑されるよ｣および｢Cは処刑されるよ｣と教える確率が、 1/2ずつじゃなくて1/3と2/3かもしれなくても解けるわけでしょ？ 200 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/20(木) 03:17:10 ] 高校生レベルの問題なんだが・・・ 事象Ｘ：ＡとＢが処刑される 事象Ｙ：ＢとＣが処刑される 事象Ｚ：ＣとＡが処刑される Ｘ、Ｙ、Ｚの確率は等確率とする。すなわち１／３ずつ。Ａが処刑される確率は １／３＋１／３＝２／３ Ｂが処刑されることがわかったから（ＸとＹ）、この条件下でＡが処刑されるのは 事象Ｘの場合のみ。従ってＡが処刑される確率は（１／３）／（２／３）＝１／２ 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 03:30:24 ] 高校生レベルの問題だと分かってるなら東京出版の「大学への数学」の増刊号の 「解法の探求・確率」見てごらん？自分が間違ってると分かるからｗ ＞事象Ｙ：ＢとＣが処刑される この場合、看守はCが処刑されるよ、と言う可能性も考えられるんだけど。 看守は実際にはBと答えたのだから、こういう場合は、分母から除かないといけない。 >>200の解答は、「Yの場合には、看守が必ずBが処刑されると答える」場合にしか成り立たないが。 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 04:24:00 ] ３囚人の問題だっけ？ 確か、それって看手が誰が死ぬか知ってて、質問者以外の囚人ＢとＣが死刑になるというときに看手がＢが死ぬって答える確率をp(Ｃが死ぬと答える確率は1-p)としたとき、 Ａが死なない確率は、 看守がＢが死ぬって答えたら、p/(1+p)で 看守がＣが死ぬって答えたら、(1-p)/(2-p)になるから、 p=1/2を境に大きくかわるんじゃなかったっけ？ で、もし看守が誰か死ぬか知らないで答えてたら、確率は変わらなかった記憶が… 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 04:25:57 ] ＞p=1/2を境に大きくかわるんじゃなかったっけ？ 変わんないじゃん、、単に大小が逆転するだけじゃんか ＞看守が誰か死ぬか知らないで答えてたら 知らないで答えてたのかよ！無責任な返答だなｗ 204 名前：202 mailto:sage [2006/07/20(木) 04:41:00 ] >>203 p=1/2のとき、どっちが死ぬっていわれても死なない確率は1/3。つまり、聞く前と変わらない。 p>1/2だと、Ｂと答えたら、死なない確率が1/3より高くなり、Ｃと答えたら、死なない確率が低くなる。 p<1/2だと、逆の上下現象がおこる。 という意味で、大きく変わると書いたのだが…。 あと、看守が知っているか知らないかで、問題が変わってしまうことを書いた。 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 04:43:11 ] あ、なるほど 上のほう了解です ＞看守が知っているか知らないかで 処刑になる人は当然知ってるものだと思ってたけど。。 知らんのに「Ｂは処刑されるよ。」（>>184）なんて嘘ばっか言っていいものなのかなｗ 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 04:52:26 ] >>205 看守はうそをつかないものって仮定しているのを知らなかったm(__)m でも仮に、看守は知らなかったと仮定して、適当にＢが死ぬといったとき、 本当にＢが死んだときは問題ないし、Ｂが死ななかったときはＡは死ぬわけで、あの世で看守を恨むだけで、いちを問題としては成り立つかと。 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 05:22:43 ] いや問題が成立しないんじゃないかとｗ 確かにそうなんだけどね、人を無条件に信じちゃいけないよねｗ 208 名前：206 mailto:sage [2006/07/20(木) 05:38:07 ] >>207 ３囚人問題じゃなく、クイズショーの問題に置き換えたら、問題として成立するかと。 あっ、クイズショーの問題の問題文、書くのめんどいんで、知ってる人ヨロシク 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 05:45:45 ] クイズ・ショーの問題って>>4に書いてあるやつだと思うんだが それは司会者が嘘を付く可能性がどのくらいかわからないと、 嘘かもしれないし本当かもしれない、だけだと解きようがないような 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 05:46:17 ] 看守は知らないが、うそもついてない、つまり、看守が適当にＢが死ぬって答えたら、偶然、本当にＢが死ぬっていう問題設定にすれば、死なない確率は1/3になるなぁ。 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 05:51:42 ] >>209 少し勘違いしてました。 >>210の設定のようにすれば問題ないと思います ただ、クイズショーの問題の場合は、その場で一枚あけてしまうわけで、もし司会者が答えを知らず、間違って当たりを開けてしまった場合はその時点でショーが終了すればいいということになり、３囚人より現実的かと。 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 16:10:02 ] 確立モデルの設定次第で答えも変わる。 逆にいうと確立モデルを設定しない限り答えは出ない。 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 19:48:48 ] >>200 たまにこういう痛い人がｗ 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 21:34:28 ] >>212 「何をもって同等」とするか、つまり、確率モデルが一意に特定されない問題。 問題を解くためには確率モデルを設定しなければならないが、どのような 確率モデルを設定するかによって答えが違ってくる。ベルトランの「逆説」と 同じような状況だね。 >>213 >>200も正解だよ。 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 21:41:24 ] 100000人の囚人のうち99999人が処刑される。 このときある囚人Aは 「自分以外に最低99998人処刑されるんだからその人たちの名前教えて！」 と言って看守から99998人の名前を辛抱強く聞いた。 このときAが処刑される確立は？ ってすればわかりやすくない？ 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 22:12:52 ] 聞かねえよな。普通あきらめる。 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 22:38:04 ] 漏れもそう思うんだが、どうもこのスレでは 出題者の意図を汲み取るとか 試験問題の大前提とか 夏厨がわいとるようだ。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 22:42:43 ] そこでその例を出すのはなんで話がこうなってるか読んでないんだろうな。 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/20(木) 23:52:13 ] ちなみに、(3人が処刑される確率はいずれも等しい中で、既に2人の処刑者が決まっている場合)B,Cの2人が処刑される場合に看守が｢Bは処刑されるよ｣と教える確率が1/3,｢Cは処刑されるよ｣と教える確率が2/3である時、 >>184におけるAが処刑される確率は(1/3)/{(1/3)+(1/3)*(1/3)}=3/4となる。 220 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/21(金) 01:41:58 ] >>202で一般形を与えているわけで 221 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/21(金) 01:43:32 ] >>215の場合、自分はどうせ死ぬ！って思ったほうが早い気が 222 名前：219 mailto:sage [2006/07/21(金) 02:59:31 ] >>220 >>202は見た記憶があったが参考にはしなかったわけで >>195 >>198のトンデモ君は未だにわかってないのではないか、ということで具体的な数値計算を示したまでのこと。 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/21(金) 04:37:51 ] 実際問題として、Ｂ・Ｃが処刑される場合に看守が、「Ｂが処刑される」と言う確率pって、未知パラメーターなんだよな。 クイズショーの問題ならばまだしも、過去の経験とかは、(おそらく)無いわけだから、推定もできない。 あとはＢ・Ｃの名前が長いかどうかとか、看守の性格とかから、推定できないこともないだろうが… 数学的には、汎用生が高い一般のpで考えるのが一番ベストだろうが、推定できないとして、p＝1/2と置くのもあながち嘘ではないだよね。 確率論と統計の考え方の違いだと思うが。 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/21(金) 10:59:39 ] もうちょっと一般化してくれ 看守が答える前にB，Cが処刑される確率をそれぞれb,c 看守がBと答える確率をkとしたとき 看守が答えたあとにAの処刑される確率はどう変化するんだ？ 225 名前：219 [2006/07/21(金) 14:30:41 ] Bが処刑される確率がb,Cが処刑される確率がcという中で(自動的にAが処刑される確率は2-b-cとなることはわかるよな？) 処刑される2人は既に決まっているものとして、 B,Cの2人が処刑される場合に看守が｢Bは処刑されるよ｣と教える確率をkとすると、 >>184におけるAが処刑される確率は(1-c)/{1-c+(b+c-1)k} これくらい自分で計算しよう。 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/21(金) 14:39:16 ] ？ ｋが0のとき Aが処刑される確率が１になってしまうようだが‥ 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/21(金) 14:40:03 ] ああ、すまん。それでいいのか。 228 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/23(日) 13:00:04 ] >>225の計算過程おしえてちょ 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 01:17:20 ] ABCが等確率で(つまりそれぞれ2/3で)処刑されるものとする。 BCが処刑されるときに看守がBだと答える確率をｋ[0≦ｋ≦1]とする。 そうすると、看守がBだと答えたならばAが処刑される確率pは >>225 の式を拝借して (1-c)/{1-c+(b+c-1)k} = 1/(1+k) である。 さて、この看守がBだと答える確率kが0〜1に一様に分布していると仮定して pの平均を取ってみると ∫[k=0,1] (1/(1+k))dk = ln(2) ≒ 0.693 である。 看守に質問をする前のAが処刑される確率である2/3を越えてしまっているのだが これはいったいどういうことなのだろうか？ 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 02:56:41 ] ＞さて、この看守がBだと答える確率kが0〜1に一様に分布していると仮定して この仮定が妥当でないってことでしょうね 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 12:53:49 ] >>230 一様に分布する看守の下では Aは質問をしないほうが処刑されにくい …ってことなのか？？ 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 15:47:14 ] >>230 仮に最も妥当だと思われる分布である[0,1]上の三角分布 密度関数f(x)＝4x(0≦x≦0.5のとき) ＝4-4x(0.5≦x≦1のとき) で考える (kをxと変えたのはあまり気にしないでくれ) このとき 平均はE[X]＝20ln(3)-12ln(2)≒0.6796 一様分布よりはよくなったが、やっぱり聞かないほういいってことになるんだよな これより妥当な分布ってある？ 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 16:16:18 ] >>239 平均のとりかたがへんでないか？ 234 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/24(月) 16:34:57 ] >>233 なぜ？ kが一様分布に従っているときに、1/(1+k)の平均をとっているだけでは？ 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 17:37:15 ] ｋは看守が「Bだ」と答えたがる確率で それが一様分布していると仮定しているわけだよね。 >>299 の ∫[k=0,1] (1/(1+k))dk では 「Bだ」と答えた看守が一様分布していることになってしまう。 >>232も一様分布でこそないが、やはり【「Bだ」と答えた看守】に ついてのみ考えてしまっている。 kの分布と、そのなかで「Bだ」と答える看守の分布は一致しているわけではない。 236 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/24(月) 18:30:24 ] >>235 >ｋは看守が「Bだ」と答えたがる確率で kは看守が「Bだ」と答える確率だが…。 あと、Xの分布をFとして、hが可積分のとき、 E[h(X)]＝∫h(x)F(dx) だし。 第一>>229は、看取がのBが処刑されるといったときと答えたときのAが処刑される確率の条件付き平均なので。 まあ、どちらも分布に対称性があるから、看取がのCが処刑されるといったときと答えたときのAが処刑される確率の条件付き平均も同じになる。 なので、質問後にAが処刑される確率の平均も同じになるのでは？ 237 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/24(月) 18:37:20 ] >>215の確率は何になるの？ 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 19:28:41 ] >>236 > kは看守が「Bだ」と答える確率だが…。 なるほど、kをそう定義するのなら それが一様分布するという仮定に無理があるだけのこと。 看守が「BCが処刑される」場合に「Bだ」と答える確率が 0〜1の間で一様分布すると仮定するならば 実際に「Bだ」と答える看守は一様分布しない。 1/2を中心とした対称分布にもならない。 239 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/24(月) 19:34:23 ] さっきから気になってたんだけど、「Bだと答える看守」って何？ 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/24(月) 20:28:13 ] >>239 「Bだと答える看守」ってどこに出てくる？ ABが処刑されるとき、看守は「Bだ」としか答えられない。 ACが処刑されるとき看守は「Cだ」としか答えられない。 BCが処刑される時、看守の答えは「Bだ」でも「Cだ」でもかまわない。 その場合「Bだ」と答える確率をkとしている。（0≦k≦1) kはどのような分布を示すのだろうか？ Aによる質問がまだ行われていないとき（条件付き確率の問題ではないとき） kが一様分布すると仮定するなら 看守が「Bだ」と答えてしまったとき（条件付き確率の問題になったとき） kは一様分布しない。(k=0のときとk=1の時では２倍の開きがある） 看守が「Bだ」と答えてしまったとき（条件付き確率の問題になったとき） kが一様分布すると仮定するなら Aによる質問がまだ行われていないとき（条件付き確率の問題ではないとき） kは一様分布していない。 241 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/24(月) 21:58:08 ] >>240 >「Bだと答える看守」ってどこに出てくる？ >>235、>>238に 「「Bだ」と答えた看守」 「「Bだ」と答える看守」 と何度か出てくるんだが… >Aによる質問がまだ行われていないとき（条件付き確率の問題ではないとき） >kが一様分布すると仮定するなら >看守が「Bだ」と答えてしまったとき（条件付き確率の問題になったとき） >kは一様分布しない。(k=0のときとk=1の時では２倍の開きがある） 問題設定はこの場合に当てはまると思うが、最後の一文の意味が分からないのだが。 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/25(火) 00:13:29 ] >.>241 >「Bだと答える看守」 おそらく「条件(看守がBだと答えた)が成立した場合に ついてのみ」というような意味で使ってる。 >「最後の一文」 「〜kは一様分布しない。」 「〜２倍の開きがある」 どっち？ 243 名前：241 [2006/07/25(火) 02:11:01 ] >>242 どっちも 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/25(火) 08:52:11 ] そもそも確率って一様に分布したりするものなのかね 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/25(火) 17:55:27 ] どんな分布なら満足？ 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/25(火) 18:10:19 ] >>242 >最後の一文 ↓おそらくこんなイメージ 看守が無数にいる。 それらの看守の「BCが処刑されるときにBと答える確率ｋ」は0<=k<=1の範囲で一様に分布している。 k=0である看守も、k=1である看守も、その他0<=k<=1のどのkである看守も同人数と考えられる。 さて、それら無数の看守に実際に「BCのどっちが処刑される？」と質問をしてみて 「B」と答えた看守だけを残し、「C」と答えた看守には退場してもらった。 そのとき、残った看守ではkは一様に分布していない。 （k=0である看守の人数は、k=1であるの人数の半分しかいない。） 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/25(火) 18:11:24 ] あ、すまん。 >>246は >>242宛て じゃなくて>>243宛てだ。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/25(火) 18:20:12 ] 続き 看守全体（「C」だと答えた看守も含める）ではｋは一様分布。 しかし、Bだと答えた看守だけを取り出すとｋは一様分布していないのだから その平均を　∫[k=0,1] (1/(1+k))dk でとってはいけない。 ってことを言いたいんじゃないかな。 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2006/07/26(水) 00:40:04 ] B dt ele ele eleeele (e : 接続すること) in' 250 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/26(水) 21:58:48 ] そもそも看守が｢Bは処刑されるよ｣と言う確率kが一様分布するはずがない。 たとえば100人の看守にたずねたとき100人全員がBは処刑されると答えるはずがない。せいぜい40人から60人くらいだろう。 すなわちkは0.4から0.6くらいの間に集中分布するのは目に見えている。 その間で一様分布するとして(するはずないが。0.5の場合が最も多いはず。)計算しても{∫[0.4〜0.6]dk/(1+k)}/0.2=0.667656963… となり、2/3にかなり近い値になる。 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/26(水) 22:15:05 ] >そもそも看守が｢Bは処刑されるよ｣と >言う確率kが一様分布するはずがない。 これはまあいいとして… >たとえば100人の看守にたずねたとき >100人全員がBは処刑されると答えるはずがない。 >せいぜい40人から60人くらいだろう。 これは、一様分布することに対する反論なのか？ しかも↓こんなこと言ってるし… >すなわちkは0.4から0.6くらいの間に >集中分布するのは目に見えている。 いったい>.>250は「kが一様分布する」を どういう意味でとらえているのだろう？ 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/26(水) 22:17:15 ] >>250 なんか意味わかってないんじゃない 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/26(水) 22:52:07 ] うむ。 一様分布していれば、40人から60人くらいが「Bだ」と 答えることは十分ありそうだな。 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/26(水) 23:13:43 ] 困ったときはマリリンに聞いてみよう！ 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/26(水) 23:40:45 ] BとCが処刑対象のとき看守がBと答える確率kを　k in [0,1]の一様分布とする。 これはk=0.5の看守が一人いるのと同じ。 nを十分大きい自然数、iをi in [1, n]な自然数とする。看守がn人いて番号がついている。 i番目の看守にとってBと答える確率kを k = (i - 1) / (n - 1) とする。 （つまり i=1ならk=0, i=nならk=1,でその間はリニア） どの看守が出てくる確率も等しく1/nとする。 P(Bと答える) = Σ(1/n)×(i-1)/(n-1) = 1/n(n-1) Σ (i-1) = 1/n(n-1) × n(n-1)/2 = 1/2 = 0.5 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/27(木) 00:09:15 ] びびらずに基本に立ち返って解いてみる。 事象X1: AとBが処刑対象 事象X2: AとCが処刑対象 事象X3: BとCが処刑対象 事象Y: 看守がBと言う P(X1) = P(X2) = P(X3) = 1/3 P(X1 and Y） = 1/3 P(X2 and Y） = 0 P(X3 and Y） = 1/3 × ∫kdk P(Y) = (上3つの和) = (1 + ∫kdk) / 3 ところで求めるのは条件付確率 P( Y | X1 or X2) だからベイズ公式より P( Y | X1 or X2) = P( Y and (X1 or X2)) ÷ P(Y) = 1/3 ÷ (1 + ∫kdk)/3 = 1 ÷ ( 1 + ∫kdk) ※ = 1 ÷ ( 1 + 1/2) = 2/3 >>229では※のかわりに∫(1/(1+k))dk で算出しているのであわなくて当然。 積分の位置が違う。 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/27(木) 20:22:39 ] 結論： >>229は平均の取り方が間違っている。（どう間違ってるは近日中に） >>232も三角分布とか使ってるが根本的に間違ってるので関係ない。 問われているのは「看守の答えがBのときAが処刑される条件付確率」で これが1/(1+k)になわけだが、 kの変化が条件（看守の答えがB）に影響を与えるので 単純に足して割っても平均は得られない。 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/27(木) 20:42:29 ] > kの変化が条件（看守の答えがB）に影響を与えるので > 単純に足して割っても平均は得られない。 んじゃ、どうすりゃ平均を得られるんだ？ 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/27(木) 21:52:24 ] 看守が101人いて、それぞれ「BC処刑のときBを答える」確率が0〜100%とする。 i番目の看守（i in [1, 101]）に対して、300回ずつ試行を行うとしよう。 Si: 看守の答えがBである回数。 Ti: 看守の答えがBで、かつAが処刑される回数 と定義すると、各iに対して。 Si = 100回 (ABのとき) + 100*(i-1)/100回（BCのとき）= i + 99 回 Ti = 100回 全てのiに対して試行を行ったとすると、 総試行回数: 30300回 看守の答えがBである回数: Σ(Si) = (100 + 200) * 101 / 2 = 15150回 看守の答えがBで、かつAが処刑された回数: Σ(Ti) = 100 * 101 = 10100回 よって、この試行について「看守の答えがBのときにAが処刑される確率」は Σ(Ti) / Σ(Si) = 10100 / 15150 = 2/3 が正解。 >>229は上の例で言うと、 Pi: それぞれのiに対して計算した条件付確率 を全て足してiの件数101で割っているようなもの。 つまり{Σ(Ti / Si)} /101 = (1/101) * Σ{100/(i + 99)} Excelででも計算すればわかるが、これはLn2のよい近似になる。 区分求積法により、看守を増やしたときの極限が∫{1/(1+k)}dkになるから当然だが。 260 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/28(金) 06:31:16 ] ２枚のコインを投げて手で隠す。どちらか１枚だけ見せる。 見せたコインが表だった時、残りのコインは表、裏どっちの確率が高い？ ↑同じだよね。 どう考えても表も裏も1/2の確率。 裏の確率が高いっていう人がいるんだけど・・・ 261 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/28(金) 07:02:39 ] >>260 見せたコインが裏だという可能性はあったのかが問題 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 08:30:54 ] 隠すコインを決めてあったのか、 どちらを隠すかランダムに決めるのか、 表（または裏）を優先的に隠すのか 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 10:37:58 ] その問題文なら1/2だよね 多分裏って言う人は>>7の問題と勘違いしているんじゃないかと 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 10:59:21 ] 俺に彼女が出来る確率を教えてくれ 265 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/07/28(金) 17:58:26 ] [>>264]がこれから女のものまねをする確率は1. 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 19:24:50 ] まずは彼女といったい何かを定義しる。 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 20:13:06 ] >>264 だいたい e^(πi) + 1 くらいかな。（iは虚数単位） 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/29(土) 00:51:30 ] 一万人に一人の割合で患者がいる病気の試薬がある。この試薬は、その病気の患者に対して用いると90％の確率で陽性反応を示すが、 患者でない人に対しても1％の割合で陽性反応を示してしまうことが分かっている。 この試薬をある人に対して用いたところ、陽性反応が出た。この人が本当にこの病気にかかっている確率を求めよ。 269 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/29(土) 04:57:54 ] >>268 陽性の時、本当に病気である確率 ＝病気で陽性になる確率／陽性になる確率 ＝病気で陽性になる確率／（病気で陽性になる確率＋病気じゃないのに陽性になる確率） ＝（１／１万）＊（９／１０）／｛（１／１万）＊（９／１０）　＋　（９９９９／１万＊１／１００）｝ ＝（９／１０万）／｛（９／１０万）＋（９９９９／１００万）｝ ＝９０／（９０＋９９９９） ≒０．８９％ 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/29(土) 05:18:27 ] >>269 一瞬計算間違えたかとｵﾓﾀｗｗｗ ０．０１％しか病気の人は居ないのに 病気じゃない人が１％もひっかかるからこうなるのか 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/29(土) 19:18:09 ] いいね、この問題 研究室レベルではかなり高性能な試薬でも一般販売レベルには全然満たないというのを分かりやすく示してる 272 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/30(日) 09:13:26 ] コインをn回投げて表が2回以上連続しない確率を求めよ。 273 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/30(日) 09:31:09 ] n = 1 の時 1 274 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/30(日) 10:51:16 ] >>272 ｎ回投げて表が2回以上連続しない場合をa(n)通りとすると a(n+2)=a(n+1)+a(n) a(1)=2, a(2)=3 になってる。 フィボナッチ数列？ 275 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/30(日) 11:20:22 ] {(1+√5)^(n+2)-(1-√5)^(n+2)}/(√5)4^(n+1)

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