- 1 名前：１３２人目の素数さん [04/01/12 23:45]
- 以下
フィボナッチ数列
F(1)=1,F(2)=1,F(n+2)=F(n+1)+F(n)
リュカ数列
L(1)=1,L(2)=2,L(n+2)=L(n+1)+L(n)
としましょう。マニアックなのでも結構です。
- 364 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/24(土) 16:13:55 ]
- n[i]を整数としS[k]=∑[i=1→k] n[i]とおく
ここで1≦i≦2^(k-1)、1≦j≦kとする
aをbで割ったときの余りをa mod bと表す
δ[i,j]を以下のように定義する
(1)j=1のとき
iが奇数 ⇒ δ[i,j]=1
iが偶数 ⇒ δ[i,j]=0
(2)1<j<kのとき
1≦i mod 2^j≦2^(j-2) ⇒ δ[i,j]=1
2^(j-2)<i mod 2^j≦2^j - 2^(j-2) ⇒ δ[i,j]=0
2^j - 2^(j-2)<i mod 2^j≦2^j ⇒ δ[i,j]=-1
(3)i=kのとき
1≦i≦2^(k-2) ⇒ δ[i,j]=0
2^(k-2)<i≦2^(k-1) ⇒ δ[i,j]=-1
フィボナッチ数列をF[n]と表せば
F[S[k]] = ∑[i=1→2^(k-1)] Π[j=1→k] F[n[j]+δ[i,j]]
が成り立つ
- 365 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/24(土) 16:15:58 ]
- >>364 はフィボナッチ数列の加法定理の1つの拡張
ただし、全く実用的でないし何も新しい結果を導き出さない
- 366 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/24(土) 16:49:15 ]
- 数学とはそもそも実用的でないものだよ
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/07(水) 08:12:48 ]
- リュカ数列がメルセンヌ素数の判定に使われるとは知らなかった。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 21:33:48 ]
- 157
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/18(日) 21:50:18 ]
- >>363
割いたよね 賞とってしつこいくらいにやなひとだよね
- 370 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/23(土) 23:44:20 ]
- あ
- 371 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/11(水) 05:45:41 ]
- >>367
誤解している
- 372 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/11(水) 10:30:49 ]
- メルセンヌ素数の判定に使われてるのは一般ルーカス数列の一種。
V_n=α^n + β^n、α, β は x^2-2x-2=0 の解。
- 373 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/11(水) 23:34:43 ]
- 2^n+1という形の数が素数ならばnは2の累乗（フェルマー数）
2^n-1という形の数（メルセンヌ数）が素数ならばnは素数
{(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^nという形の数（リュカ数）が素数ならば
nは素数または2の累乗
[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]/√5という形の数（フィボナッチ数）が
素数ならばnは素数または2の累乗
- 374 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/15(日) 20:21:59 ]
- 高校生のときに見つけたフィボナッチたんの法則
何年も前に発見済みなんだろうけどさ
桁が上がるまでの計算回数に規則性がある
- 375 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/22(水) 02:25:56 ]
- >>3の証明を教えていただけないでしょうか
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/22(水) 03:31:46 ]
- >>375 以下の式を全部足す。
F(2n) = F(2n-1)+F(2n-2)
F(2n-2) = F(2n-3)+F(2n-4)
...
F(6) = F(5)+F(4)
F(4) = F(3)+F(2)
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/22(水) 08:50:46 ]
- >>376
ありがとうございます
- 378 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/12(水) 02:08:36 ]
- Σ[n=0,∞] 1/(F(2n+1)+1) = √5/2
Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1) = (1/2)√{Σ[n=1,∞] (3/F(n)^2 + 5/L(n)^2)}
= (3-φ){Σ[n=0,∞] φ^(-2n(n+1))}^2, φ=(√5+1)/2
- 379 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/14(金) 12:01:15 ]
- news22.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1189613682/l50
10日ぶりの解決
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 15:34:39 ]
- Σ[n=1,∞] 1/F(n)^2 = Σ[n=1,∞] (-1)^(n+1) L(2n)/F(2n)^2
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 18:13:48 ]
- 1 + 4Σ[n=1,∞] 1/L(2n) = √{1 + 8Σ[n=1,∞] 1/L(n)^2}
= (π/(2logφ)) {Σ[n=-∞,∞] e^(-(πn)^2/(2logφ))}^2,
φ=(√5-1)/2
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 19:26:34 ]
- >>381 φ=(√5+1)/2
Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1)^3 = 3αβ-2α^3,
α = Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1),
β = Σ[n=1,∞] 1/F(n)^2
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 18:49:29 ]
- 〔補題〕
任意の自然数mに対して、F[n] がmの倍数になるような 自然数nが存在する。
(略証)
便宜上 F[0] =0 とする。
F[n] を mを割った余りを a[n] とおく。
F[n] ≡ a[n] (mod m)
0 ≦ a[n] ≦ m-1,
さて，m^2+1個の組
(a[0],a[1]), (a[1],a[2]), (a[2],a[3]), ……, (a[m^2],a[m^2+1])
を考える。
F[n] を m で割った余りa[n] は 0～m-1 の m 通りしかないので，組の組合せは m^2 通りしかない。
よって，上記の m^2+1 個の組の中には，同じ組がある。*)
それを (a[j], a[j+1]) と (a[k], a[k+1]) とする。（0≦j＜k≦m^2）
F[j-1] = F[j+1] - F[j] と F[k-1] = F[k+1] - F[k] より
a[j-1]≡a[j+1]-a[j] と a[k-1]≡a[k+1]-a[k] ，
(a[j-1],a[j]) と (a[k-1],a[k]) も同じ組になっている。
これを繰り返すと，(a[0],a[1]) と (a[k-j],a[k-j+1]) も等しいことが言える。
k-j>0 より k-j=n は自然数で，a[n] = a[0] = 0 なので，
F[n] が m の倍数となる自然数 n が存在する。(終)
*) 鳩の巣原理、ディリクレの引出し原理 とか言うらしい。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/476
東大入試作問者スレ１１
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 23:50:02 ]
- >>14,11
双曲線函数の方だお･･･
α = logφ = log((1+√5)/2) ≒ 0.481211825 とおくと >>13 より
F(n) = (2/√5)cosh(nα), L(n) = 2sinh(nα) (n:奇数),
F(n) = (2/√5)sinh(nα), L(n) = 2cosh(nα) (n:偶数),
- 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 13:55:04 ]
- 336
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 16:28:48 ]
- Π_(k=1, [n/2]) (1 + 4*cos(kπ/n)^2) = F_n, (n≧2)
(解説)
カステレインは平方格子グラフ上のダイマー模型について分配函数Zを計算した。
これはグラフの隣接行列に適当な重みと符号を乗じて得られる反対称行列（カステレイン行列）
のパフ形式（Pfaffian）として表わされた。
その後、（平方格子でない）一般の平面的２部グラフに拡張された。
(文献)
1. P.W.Kasteleyn, Physica, ２７, p.1209-1225 (1961)
"The physics of dimers on a lattice"
2. www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/res/kok0608.pdf
「ダイマー模型とその周辺」 (京都大 人間･環境学部)
3. 細矢, ｢数学100の問題｣, 数セミ増刊, 日本評論社, p.90-92 (1984.9)
「フィボナッチ数の問題｣
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 22:40:39 ]
- 問題18) フィボナッチ数列をF(n)とおく。 p,q,r を任意の整数とするとき、
F(p+1)F(q+1)F(r+1) + F(p)f(q)F(r) - F(p-1)F(q-1)F(r-1) = F(p+q+r),
が成立する事を証明せよ。
www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 22:51:13 ]
- 〔加法公式〕
F_n の隣接する3項の間に斉1次な漸化式が成立つならば、ある2次の対称行列Cがあって、
F(m+n) = Σ[1≦i,j≦2] F(m+i-1)C(i,j)F(n+j-1)
が成立つ。
(略証)
A = [ F(0), F(1) ]
[ F(1), F(2) ]
とおき、さらに C=A^(-1) とおく。
m=0,1 のときは
(右辺) = Σ[j=1,2] {Σ[i=1,2] F(m+i-1)*C(i,j)} F(n+j-1)
= Σ[j=1,2] {Σ[i=1,2] A(m+1,i)*C(i,j)} F(n+j-1)
= Σ[j=1,2] δ_(m+1,j) F(n+j-1)
= F(m+n),
m>1 のときも、斉1次な漸化式により成立つ。(終)
例) フィボナッチ数列
A = [ 0, 1 ]
[ 1, 1 ]
C = [-1, 1 ]
[ 1, 0 ]
ゆえ
F(m+n) = F(m)F(n+1) + F(m+1)F(n) - F(m)F(n),
>387
これを2回使えば出るだろう。
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 23:01:18 ]
- >386
ド・モアブルの定理から
x^(2n) - 1 = Π[k=0,2n-1]{x-exp(ikπ/n)} = Π[k=-n,n-1]{x-exp(ikπ/n)}
k=1,…n-1 について
{x-exp(ikπ/n)}{x-exp(i(2n-k)π/n)}
= {x-exp(ikπ/n)}{x-exp(-ikπ/n)}
= x^2 -2cos(ikπ/n)x +1
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197828000/313 308
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 23:38:09 ]
- >>64>>67
- 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 04:45:16 ]
- 四年十五日五時間。
- 392 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 19:57:44 ]
- ここのサイトに書かれている「還暦数」って考え方が面白い。
yohei627.hp.infoseek.co.jp/
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 17:17:45 ]
- 592
- 394 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/29(土) 02:30:16 ]
- age
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/20(日) 21:58:21 ]
- 〔問題〕
数列a[n] (n=0,1,2,････) は以下の条件を満たすとする。
・a[0] =0, a[1] =1,
・a[n+1] = (1/a[n])∑[k=1～n] (a[k])^2,
(1) a[n] を n の式であらわせ。
(2) b[n] = a[n+1]/a[n] とおくとき、lim[n→∞) b[n] を求めよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/390 ,402
東大入試作問者スレ１４
- 396 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/28(月) 15:06:26 ]
- 上げ
- 397 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/29(木) 10:57:25 ]
- 保守
- 398 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 13:49:47 ]
- 保守
- 399 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/22(火) 08:27:57 ]
- 保守
- 400 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/22(火) 19:53:22 ]
- まだこのスレのやつも気づいてないようだなｗ
F(n)を行列で(おもしろおかしく)∩(へぇ～)みたいな感じでL(n)との関係を(ry
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 08:58:43 ]
- 保守
- 402 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 18:03:56 ]
- あるスレで見たんだが。
f(1)=0
f(2)=2
f(3)=3
f(n+3)=f(n+1)+f(n)
のとき、
f(n)/n
が整数となるのはｎがどのような値のときか。
ってフィボナッチと関係あるの？
- 403 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 20:08:07 ]
- S(f(n+3)-f(n+2))=S(f(n+1)-f(n-1))
f(n)/n=(f(4)+f(1)+f(2)+f(n-3)+f(n-2))/n=(4+f(n-3)+f(n-2))/n
- 404 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/05(金) 14:41:38 ]
- >>402
むしろルカスと関わりがある。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/26(日) 12:12:40 ]
- 188
- 406 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/30(木) 09:25:23 ]
- F(1)^2-F(2)^2+F(3)^2-F(4)^2+……+(-1)^n-1*F(n)^2=1/5{2n+1+(-1)^n-1*F(2n+1)}
左辺
第1項の2乗から2項の2乗を引いて、その後も引いて足してを繰り返す。
nが奇数なら+、偶数なら-、って感じ??
このフィボナッチの定理を証明しろと言われたｹﾄﾞ、根本的にやり方が分からんから困った。
誰か証明の解説して下さい。
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/30(木) 22:04:39 ]
- >>406
n=1から成立が怪しい感じなんだが、初期値はどういう設定よ？
- 408 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/31(金) 20:49:03 ]
- 今日、ガリレオの再放送見てたら出てきた
レッドマーキュリー ﾅﾂｶｼｽ…
- 409 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/03(月) 22:00:47 ]
- >>407
普通にn=正の整数だぜ
あとn=1でも成り立つよ
- 410 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/29(土) 06:51:19 ]
- ６乗和の新公式
F(1)^6＋F(2)^6＋…＋F(n)^6 ＝ (F(n)^5 F(n+3)+F(2n))/4
「数学の花束」より
- 411 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 14:49:58 ]
- I am Fibonacci
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 14:53:58 ]
- >>410
それはいちいち特筆すべきレベルのものか?
n乗和を計算しましたと言っても、別に等比数列の
和を計算しましたってのと大差ないし。
- 413 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 15:31:29 ]
- ↑
あなたには、この公式の導出は無理だと思う。
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 16:04:33 ]
- 俺が導出できるできないなんてどうでもいいよ。
導出できようができまいが、6乗和が何らかの
閉じた形で表現できるってのは当たり前で、
>>410に見るべき点があるとしたら、それはその
「閉じた形」が右辺のように書けるってことか、
右辺のように書くことで証明が簡潔になるかって
ことぐらいしかない。これはそのどちらなの?
もしくは>>413の指摘どおり馬鹿な俺には考えも付かない
重要な事項が他にあるの？その辺をぜひご教示くださいよ。
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 18:19:46 ]
- www
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 18:39:01 ]
- まぁその程度だよね。
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/11(日) 09:52:39 ]
- 705
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/13(火) 23:45:16 ]
- 五年一日。
- 419 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/14(水) 14:28:23 ]
- age
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/29(木) 09:39:51 ]
- 661
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:26:52 ]
- 〔問題585〕
フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい.
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/585
東大入試作問者スレ１６
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:29:03 ]
- >>421
φ = (1+√5)/2, -1/φ = (1-√5)/2,
とおくと、
φ + (-1/φ) = 1,
φ - (-1/φ) = √5,
φ^2 + (-1/φ)^2 = 3,
φ･(-1/φ) = -1,
これと「ビネの公式」より
F_n = {φ^n - (-1/φ)^n} / √5,
= Π[k=1,[(n-1)/2]] {3 + 2cos(2kπ/n)}
= Π[k=1,[(n-1)/2]] {1 + 4cos(kπ/n)^2},
〔補題〕 n≧3 のとき
x^n - y^n = (x-y)Π[k=1,n-1] {x - y･exp(2ikπ/n)}
= (x-y){(x+y)^d}Π[k=1,[(n-1)/2]] {x^2 +y^2 -2xy･cos(2kπ/n)}.
nが偶数のとき d=1, nが奇数のとき d=0,
(参考)
1. 数セミ増刊「数学100の問題」, 日本評論社 (1984.9) ISBN:4-535-70405-8
p.90-92, 細矢治夫, 「フィボナッチ数の問題」
2. P.W.Kasteleyn, <<Physica>>, ２７, p.1209-1215 (1961)
"The statistics of dimers on a lattice"
正方格子上のある量(分配函数Z)を統計力学的に数え上げた際に出てきた式の副産物とか。
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:51:42 ]
- 既出
- 424 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/04(水) 02:18:47 ]
- さあ
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/25(土) 15:04:11 ]
- 405
- 426 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/03(日) 12:48:10 ]
- さあ
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 22:39:52 ]
- >>388
便宜上 F(0) =0 とする。
[ F(n-1), F(n) ]
[ F(n), F(n+1) ]
という行列 M(n) を作ると、M(1) = A のn乗になるから、
M(m+n) = M(m)･M(n) より加法公式が出てくるちゅーこと。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/084
不等式スレ４
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/18(火) 09:32:07 ]
- 128
- 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 03:38:40 ]
- 681
- 430 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 10:39:52 ]
- 430
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/05(土) 00:52:55 ]
- 133
- 432 名前：１３２人目の素数さん [2009/12/08(火) 14:18:11 ]
- ぶりぶり
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/19(火) 02:45:16 ]
- 六年六日三時間。
- 434 名前：１３２人目の素数さん [2010/01/24(日) 11:19:27 ]
- ひさしぶりの保守
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 16:27:24 ]
- 314
- 436 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/15(月) 12:56:41 ]
- age
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