- 88 名前：208 [2005/11/25(金) 16:43:42 ]
- 命題
>>75 の仮定と記号を踏襲する。
J ∩ K = φ なら
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) となる。
ここで、p, q はそれぞれ、J, K の元の個数。
証明
>>75 より、
e_JΛe_K = ε(J, K)e_(J∪K)
e_KΛe_J = ε(K, J)e_(J∪K)
である。
一方、前スレの744より e_JΛe_K = (-1)^(pq) (e_KΛe_J) である。
よって、
ε(J, K)e_(J∪K)
= e_JΛe_K
= (-1)^(pq) (e_KΛe_J)
= (-1)^(pq) ε(K, J)e_(J∪K)
よって、この等式の両端の一致より、
ε(J, K) = (-1)^(pq) ε(K, J) となる。
この両辺に ε(J, K) を掛けて
ε(J, K)^2 = (-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J)
ε(J, K)^2 = 1 だから、
(-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J) = 1 となる。
この等式の両辺に、(-1)^(pq) を掛ければ
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) が出る。
証明終
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