- 41 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/21(水) 09:18:11 ]
- 命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
I を P と素なBの(非零)イデアルとする。
このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
証明
>>24, >>25, >>27 より、
元θ∈B とモニックな多項式 φ(X)∈A[X] で以下の条件を
満たすものが存在する。
1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の生成元。
2) φ(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式
3) φ(θ) ∈ P - P^2
4) L = K(θ)
5) θ∈I
>>30から、このθが求めるものである。
証明終
