圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 00:13] 　　　　　　 , 　 ＿ ﾉ） 　　　　 　γ∞γ~　 ＼ 　　とて 　とて　　 |　 /　从从) ） 　 　 　 　ヽ　| |　l　 l |〃 　 　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　 　　　 ｀从ﾊ~ ワノ）　　　＜　圏論についてなんでもどうぞ♪ 　　　　 {| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|!　 　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　　　`,─Y ,└┘_ﾄ─' 　　　　　└／/ ｌ T ヽ＼　　とて ⌒ヽ 　 　,く._ '　　　　　_ > 　　人　　｀ヽ｀二二二´'´ Y⌒ヽ）⌒ヽ　し' ｌ⌒) ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ■前スレ 　なんで圏論なんてもんがあんのよ？ 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1057731708/ ■関連スレ 　大好き★代数幾何 Part 2 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1070510931/ 　集合論なぜなにスレッド 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/ 　非古典論理について語るスレ 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/ ■関連過去スレ 　層 　science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1003853278/　（dat落ち中） 　シット サイト トポス シャン モチーフ 　science.2ch.net/math/kako/1007/10076/1007625226.html 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 00:07] 死ぬな、イキロ。 ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。 英語は「versus」なの？　それは、proper class全部を指すの？ 84 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:10] >>出題者 ネタ本かお勧めの書籍教えて 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 00:14] >>83 ＞ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。 　 そう？すくなくとも２つの教科書でよんだとおもう。岩波の公理論的集合論と AlgebraIって本。 　 ＞英語は「versus」なの？ 　 だったかな？自信ないからカタカナで書いた。 　 ＞proper class全部を指すの？ 　 ∀x(∃y x∈y⇒x∈V) を満足する唯一のクラスと定義していたはず。 86 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:23] >>84 ＞ネタ本かお勧めの書籍教えて ヴァーサスクラスも知らなかった私が余り大きな事は言えないな。 87 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:27] 教えたくないのですか？ 88 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:47] >>87 別に教えたくないわけではないが、 純粋な圏論関係はずいぶん昔に読んだ (著者、書名も正確には覚えていないが) Pareigis, Categories ang Functors, Freyd, Abelian Categories などで、 最新知識は代数やトポロジーの本から得ている。 www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0691086850/qid=1094485536/sr=1-9/ref=sr_1_10_9/249-4472161-4287522 など。 89 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 10:19] >>87 つまりネタ本は今手にはいるかどうか分らないような古い本で、 最新のお薦め本は知らないと言う事。 ではもう少しやさしくして 圏論演習 (13) 任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category を特徴付けよ。 90 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 13:06] >>88-89 ありがとう。結構定番だね。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 13:33] 射影的極限を持つならば、 ・終対象 ・Ob(C)の任意の部分集合の直積 ・equalizer を持っている。逆にこの３つを持てば、射影的極限を持つ。 ……くらいでどや？ 92 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 13:58] >>91 特徴づけだからもっと簡単な言葉で述べてくれ。 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 14:04] >>85 普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。 岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。 94 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 14:39] >>91 ＞終対象 終対象は 0 個の直積だから、任意の直積に付いて閉じていれば 終対象も存在する。 ＞Ob(C)の任意の部分集合の直積 では重複が許されないから、 射影的極限を持つとはすぐには結論できない。 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 17:40] ・・・あ、そうか。部分集合つったら、確かにそうなってしまうな。 96 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 19:55] >>89 それより>>76の証明は？ 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 20:00] >>93 ＞岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。 　 あれ？そうだっけかな？たしか岩波だったとおもったが。日本語でBG集合論の解説してる 数すくない本の一冊だったんだけど。 　 ＞普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。 　 universeともいうかもしれないけどuniverseというと本来のヴァーサスクラスのもつ 性質のいくつかを公理化してそれを満足するクラスのことをさす場合もあるんじゃ なかったっけ？すくなくともAlgebraIではそのような解説がしてあったとおもうけど。 98 名前：97 mailto:sage [04/09/07 22:12] どうも岩波じゃなくて共立のようだ。大学いって図書館いかないと確認できないけど。 99 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:10] >>96 兎に角 >>89 を次の>>100で解いてくれ。 ヒント: small category が任意の直積に付いて閉じているか 或いは、任意の直和に付いて閉じているか、いずれかならば Hom (A, B) は常に高々一個の元からなる。 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:13] >>99 ｢特徴づけよ｣なんて設問に答えようがあるか。こんな設問なら 　 Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category であるための必要十分条件は Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category であることである。 　 だってこたえだろが？ 101 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:15] そこらへんは多めに見てあげたら？ 彼の出題、独善的なものも多いけど、なかなか面白いよ。 個人的に>>100はハズレ。 102 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:16] >>100じゃなくて>>89な。 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:18] 多めにみるったって答えようないじゃん。 たとえばpullback、pushout、帰納的極限、射影的極限について閉じてるちいさい圏 とかも答えになるだろうがこれだって唯一のこたえじゃないし。受験数学じゃあるまいし こんな設問答えようがない。 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:26] それこそ受験数学じゃないんだからさ、 いくらでもある同値条件の中から、 ぱっと見もっとも簡単なもの挙げろ、って事だろ。 >>99よく見てみ。 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:30] だいたい任意の直積についてるって意味もよくわからん。 おそらく>>99の解釈でいえば｢任意の直積｣とかいうやつは ｢任意のクラスでラベルされた対象の族の直積｣ を意味してるみたいだけど普通に圏論やったことがある人間なら そんな風には解釈しないだろ？こんな解釈なら ｢Setsは任意の対象の族の直積について閉じてる。｣ みたいな命題もまちがってることになる。 106 名前：105 mailto:sage [04/09/07 23:34] ああ、しまった。そういう意味か。つまりすべての対象が始対象かつ終対象 になってる圏って答えろって意味か。しかしやっぱり設問としてはいかんと思う。 問題がおもしろくなくなっても｢〜をしめせ｣みたいにすべきだ。 107 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:56] >>106 まだ違ってるな。 始対象であり、かつ終対象であるような object が存在するとは限らないよ。 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:04] >>107 え？Aが始対象⇔Hom(A,B)が任意のBに対し１元集合 じゃないのか？>>89の問題は集合Iに対し圏C(I)をC(i,j)=1i (i=j) φ(i≠j) と定義したときCが任意の集合Iに対し関手Δ:C→fun(C(I),C) (Δ(X)i=X)が左右の随伴をもつが仮定なんだよな？ 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:04] >>105 つまらんor気に入らん問題は放置すれば良いだけだろ。 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:05] >>109 そうだな。そうするよ。 111 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 00:07] >>108 高々一個という事は空集合と言う事もあるということだよ。 112 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 00:09] >>106 ＞設問としてはいかんと思う。 大学院入試で出たら>>100の様に答えるのか? 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:11] >>112 大学院入試で>>89のようなバカな設問する大学はない。 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 02:11] ○○を特徴づけよというのは、日本語として読んだとき理解しにくいとは思う。 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 07:57] うん、確かにそうなんですけどね。 でも、結果として提示される答え（のリスト）をつらつらと眺める ことは、初学者には結構勉強になりますよぅ。 116 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 12:16] 圏論演習 (13) が設問として不適当というなら 私が解答「例」を述べよう。 族 A_λ, ∈ Λ の直積を Π_λ A_λ と書こう。 もし Hom (A, B) が二つ以上の元を持ったとすると、 Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) となって、 Λ を大きくしてやれば、 Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) が 幾らでも大きくなり、 small と言う仮定に反する。 よって Hom (A, B) の元は高々一個。 さて、 small と言う仮定から、（この仮定はなくても良いか） 圏同値を除けば、集合 X = Ob(C) 異なるる元は同型でないと仮定して良い。 X = Ob(C) の二元 a, b に、 Hom (a, b) が空でない時、 a ≦ b としてやれば 半順序集合が得られる。逆に半順序集合 Y が与えられた時、圏 D を、 Ob(D) = Y, Hom (a, b) は、 a ≦ b の時のみ只一個の元からなり、 それ以外の場合は空集合とすると圏になる。 よって条件を満たす圏を調べる事は、（圏同値を除いて） 半順序集合を調べる事に帰着する。 a ∈ Ob(C) 自身の（任意個数の）直積は a だから、 Ob(C) の部分集合の存在が言えれば、任意の直積が存在する。 （半）順序集合の言葉で言えば、直積は部分集合の下限となる。 （空集合の下限は定義より最大元となり、これは終対象） よって下限が常に存在すれば任意の直積は存在する。 又 Hom (a, b) は高々一個の元からなるから、equalizer は常に存在。 よって下限が常に存在すれば、射影的極限について閉じている。 同様に上限が常に存在すれば、帰納的極限について閉じている。 よって必要条件は上限・下限が常に存在する（半）順序集合と言う事になる。 （これを完備束という） 逆にこれが十分条件である事を言うのは難しくない。 よって、完備束から上記の方法で定義された圏に 圏同値である small category と言うのが一つの特徴付けである。 117 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 12:23] 訂正 （誤）族 A_λ, ∈ Λ （正）族 A_λ, λ ∈ Λ （誤）（この仮定はなくても良いか） （正）仮定は必要 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 12:40] 不適当とは言わないが、今までの中では駄問くさい。 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 14:36] Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) が 幾らでも大きくなると、 何故「 small と言う仮定に反する」ことになるのでしょうか。 smallって、Ob(C)が集合って意味ですよね？ 解説お願いしますです。 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 15:30] 同型類が集合なら、同型類を走らせた\cup_{A,B}Hom(A,B)も集合なので、 Homの濃度の上限が存在する。 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 16:41] おお、そうやって考えるものなのですね。 解説thx. 122 名前：哲屑はウザイ [04/09/08 23:06] www010.upp.so-net.ne.jp/intruder/books.htm 哲くずが数学について偉そうにコメントしている。 哲クズって、なんでこうも数学に粘着するんだ? 例) 松坂和夫『集合・位相入門』、岩波書店、1968 集合論はやはり古さを感じる。素朴集合論だし。 位相空間論の方はとても面白かった。 最初のinformalな動機づけの方がむしろ私には分かりにくかったりした （これは前に志賀浩二を読んでいたので、informalな考えは少し身に付いていたからかもしれない）。 この本の位相空間論の読書は、日々の読書の中でもっとも楽しい時間だった。 123 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 23:18] >>122 マルチの上にスレ違い 124 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 23:23] ここは良スレですね 125 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 19:54] >>124 何で 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/09 23:35] >>125 スレの死亡宣告だよ。 127 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 13:18] 圏論演習 (14) 今度は初学者向けのにしよう。 Grp ： 群の圏、 C ： 半群の圏 （或はモノイドと単位元を保つ準同型の圏にしても良い） この時包含関手 F ： Grp ⊂ C は随伴関手を持つ （右か左かは分るよねー） この関手は○○○○と言われている。 所で容易問題なら幾らでも出来るが、難易度・中程度で、 面白くて、出題も適切で、勉強にもなる演習問題となると、 こちらのネタにも限りがある。 他の人、出題の応援を求む。 別に出題でなくても、圏論の話題提供してくれ。 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 17:30:23] えーと、これはＣのobjectをbase setとした自由生成を、 左随伴関手として持つんじゃないかな。 呼び名は知らんなぁ。 129 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 20:52:16] >>128 答案の文章としては分かりにくい点もあるが まあよしとしておこう。 本当は初学者の方にもう少しきっちりした物を書いてほしかったのだが、 随伴関手は group completion という。 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 21:17:01] あ、すいません。じゃあ、時間があったら、も少しコリコリと 書いて出します。ちゃんと書いたら間違ってたりするかもしれ ませんし。 （ていうか私は初学者の範疇に入るハズ） 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:35:18] 包含函手F: Grp→Cに対して、左随伴函手G: C→Grpを構成する ことを考える。つまりunit ηを使った三角図式をηX: X→FGX、 f: X→FA、Fg: FGX→FAとし、この図式が可換となるような唯一 のg: GX→Aが任意のfに対して存在することを示す。X, FA, FGX ﾎ Ob (C)であり、A, GX ﾎ Ob (Grp)である。もちろん上のηX, f, Fg は半群の準同型写像であり、gは群の準同型写像である。 以下の点を示す必要がある。 i) 半群Xに対して群GXを構成する ii) Gが函手であることを示す iii) η: 1→FGが自然変換であることを示す iv) gのwell-definedness及びuniqueness、gが準同型であること を示す v) 図式が可換であることを示す 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:37:46] X = {x, y, z, ﾉ}としたときに、Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} とする。Zに以下の2項演算による構造を入れる。 0. a, b, c ∈ Zに対してa (b c) = (a b) c 1. a ∈ Zに対してe a = a（Xが単位元を持つ場合はそれとeを 同一視する） 2. x ∈ X ⊂ Zに対して、x^(-1) x = x x^(-1) = e 3. その他、半群Xにおける規則を{x, y, z, ...}に入れる 明らかにZは群であり、特に「3.」により導入された規則が、 その他の規則の反復適用によって{x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...}の部分 にも適切に浸透する。 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:39:28] ZはXの構造を「比較的」よく保っている群であるが、忠実な 表現という訳ではなくて、縛りとしてはよりきつくなっている。 例えばXが単位元を持つ半群の場合、x y = eだからと言って y x = eとは限らない（反例は簡単に作れる）が、Zにおいては y x = eが強制される。つまり、縛りがきつくなった分というのは、 群の構造を要請する限りは必ず強制される「同一視」によって もたらされるものである。 Zを改めてGXと置く。明らかにGXは群である。 半群準同型h: X→Yとする。Gh: GX→GYを以下のように定義 する。a ∈ GXとする。 Gh (a) = h (a) （a ∈ Xのとき） Gh (a) = (h (a^(-1)))^(-1) （a^(-1) ∈ Xのとき） 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:40:36] GXにおいてa = bならばa^(-1) = b^(-1)であり、たとえXにおい てa ≠ b（あるいはa^(-1) ≠ b^(-1)）であったとしても、上記の理由 により（GYが群である限りは）GYにおいては再びh(a) = h(b)で あり、Ghはwell-definedである。またhが半群準同型なので、 Ghは群準同型である。 明らかにGhk = Gh Gk, G id_X = id_GXなので、結局Gは函手 である。 ηX: X→FGXを自然な包含とする。ηX: X→FGX、ηY: Y→FGY、 h: X→Y、FGh: FGX→FGYという図式を考えると、上のGhの定義 から、FGh (ηX (x)) = FGh (x) = Gh (x) = h(x) = ηY (h (x))となるので、 この図式は可換になる。よって、η: 1→FGは自然変換である。 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:43:01] a ∈ GXとする。f: X→FAに対して、g: GX→Aを g (a) = f (a) （a ∈ Xのとき） g (a) = (f (a^(-1)))^(-1) （a^(-1) ∈ Xのとき） と定義する。半群としてのFAは本来Aとして群の構造を持って いるので、上記のGhと同様にgがwell-definedであること、及び 群準同型であることが分かる。またgの定義よりFg (ηX (x)) = Fg (x) = g (x) = f(x)となるので、目的の図式が可換であることが 示された。 g' ≠ gであるとすると、あるa ∈ GXが存在してg' (a) ≠ g(a)とな る。Aは群なのでg' (a)^(-1) ≠ g(a)^(-1)でもあるので、始めから そのようなa ∈ Xが存在するとして良い。つまりf (a) = g (a) = Fg (a) = Fg (ηX (a)) ≠ g' (a) = Fg' (a) = Fg' (ηX (a))となるので、 g'は目的の図式を可換にしない。よってgのuniquenessが示さ れたことになる。 結局、Gは包含函手Fの左随伴函手である。 136 名前：１３２人目の素数さん [04/09/17 19:28:11] おぉー 解答が出来ていましたね。 大筋では正解と言えますが、 細かい点 ＞Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} → Z ： {x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} から生成されたモノイド？ Z が良く分からないので、以下の ＞Zに以下の2項演算による構造を入れる。 も良く分かりません。単に ＞Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} とする場合は x*y^(-1) が何になるのか良く分かりません。 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 23:03:56] あ、そうか、そうですね。 Z = 云々、という書き方だと駄目ですね。おっしゃる通り、そこから 生成する、というつもりでした。御指摘ありがとうございます。 あと、文字化けスマソ(^^; 138 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 00:52:21] >>137 ご明察 としておきましょう。 では次の問題の準備をしておこう。 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 01:17:49] 日本の圏論の第一人者って誰？ 140 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 01:24:25] 純粋な圏論という人はいないと思うよ 外国まで含めても少数。 皆何かと絡ませているね。 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 04:38:12] 絡ませてる人では？ 東大にはいないの？ 142 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 08:11:22] 大体東大に圏論がメインという人がいるわけ無いよ 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 08:34:03] 情報の方を探せば… 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 14:14:10] 第一人者どころか圏論が専門の人すら稀なのかー 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 18:57:38] ペギオ 146 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 19:29:10] セミナーでカテゴリーの話をすると先輩が『またか』みたいな顔をするのはなぜ？ 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 19:48:44] >>146 それは ＞カテゴリーの話 の内容にもよると思う。 基本的なことなら、ああ又かと思うかも知らないし、 それ以外だったら、自分にわからん抽象的な長話はよしてくれ だったりする。 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 20:03:31] >>146 てか専攻はなに。専攻によるんじゃないの？代数幾何とかだったらもはや昨今 圏論的議論はさけられないし、代数的位相幾何とかいわずもがなだし。 できればそんな話はやりたくないってジャンルもあるだろうし。 どういうジャンルの人はいやがるんだろう？ 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 20:08:42] では代数幾何と代数トポロジー以外だな。 基礎論とか 複雑系に出てくる高次圏とか 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 20:21:48] >>149 ＞基礎論とか ＞複雑系に出てくる高次圏とか 　 こういうのに出てくる圏論ってどっちかってとウザイ議論は避けたいとかいって 敬遠される対象なのかな？全然しらないけど。計算論で圏論つかうってのは聞いたことあるけど。 やっぱりけむたがられてんのかな？ 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 21:04:04] www.google.co.jp/search?q=cache:On2PSNvJlEwJ:www.kobe-u.ac.jp/~nlinear/gunji/bookpaper.html+%22%E5%9C%8F%E8%AB%96%22&hl=ja 152 名前：１３２人目の素数さん [04/09/19 00:01:25] >>151 こっちの方がｳｻﾞｲな 153 名前：ちょっとｽﾏﾝがおれのスレはどのカテゴリに定義すべき？ [04/09/19 00:13:46] タイトル：　おれが萌え萌え彼女とｾｯｸﾙ出来るようになるスレ ｵﾆｬﾆｮｺに話しかけるテク教えてください！ まずは大学で萌え萌え彼女を発見した場合はどのようにしたらいいんでしょうか？ シュチュエーション別にテク教えて頂けるとありがたいです。 教えてもらってアタックして２０日たっても萌え萌え彼女とｾｯｸﾙ出来なかった場合、 おれの魅力が無いのだと思います。そしたら潔くﾁﾝﾎﾟ切り落とそうと思います。 おれの特徴： ・口べたです ・童貞です ・ｵﾆｬﾆｮｺをデートに誘ったことないです 頑張ります！よろしくおねがいします。 154 名前：１３２人目の素数さん [04/09/19 00:15:54] ここで問題なし。 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/22 17:46:04] 圏論演習 (15) 適当な問題を作るまでの場つなぎに。 問題が全部で 91 個出来るが、自明でない物を各自選んで答えよ。 Set : 集合の圏、 Ab : アーベル群の圏、 Grp : 群の圏、 Ring : 単位元を有する可換環と単位元を保つ環準同型の圏とする。 これら四つの圏、これらの内二つの直積として出来る 10 個の圏、合計 14 個の圏は、どの二つも圏同値でない。 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/22 18:09:02] うはー(^^; 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/23 18:30:48] Wikiで作る圏論まとめサイトって需要ある？ 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/23 22:37:29] 中味が濃く、十分噛み砕かれていれば需要は大きい。これが難しい。 やってくりゃれ。 159 名前：１３２人目の素数さん [04/09/24 14:47:29] >>155 すべて自明なので選べない。 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/24 15:54:57] 自明なのなんて、１組でもあるんすか 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/24 21:43:09] あるよ。 始対象と終対象が同型な場合と同型で無い場合など。 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/24 23:17:18] なるへそ。 163 名前：１３２人目の素数さん [04/09/29 00:59:33] 次は正しい？ 圏の直積分解は一意的である。 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 01:05:17] >>163 ぁゃιぃ。だってたとえばモノイド(単位元をもつ半群)は対象を一つしかもたない 圏と同一視できるけどモノイドの直積分解なんかおもいっきり一意じゃなさそう。 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 16:24:01] レスが少ないので若干の解答例を述べよう。これら >>155の圏では始対象と終対象が同型で無いかあるかすぐ分るから、二類に分かれる。 Set, Ring は前者、 Ab, Grp は後者。 Set の始対象は空集合だから、二つの始対象の直積は始対象。 Ring の始対象は有理整数環 Z なので、その二つの直積 Z×Z は零因子を持つから Z に同型でない。 因ってこの二つは圏同値にならない。 Ab では二つの対象の直和と直積は常に同型だが、 Grp ではそうならないから、これらは圏同値でない。 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 16:24:51] 次に Set と Set×Set が圏同値でないこと。 Set の終対象は濃度 1 の集合、例えば {1} で、 二つの対象 X, Y が同型となるための必要十分条件は、 Hom ({1}, X) と Hom ({1}, Y) の濃度が一致することである。 ところが Set×Set では ({1}, {1, 2}) と ({1, 2}, {1}) は 共に終対象からの射が 2 個であるが同型でない。因ってこれらは圏同値ではない。 167 名前：１３２人目の素数さん [04/09/29 16:52:21] 一般に二つの対象の直和と直積が常に同型なのは Ab, Ab×Ab だけだから、 これらは他者と区別出来る。 Ab, Grp では、部分対象が同値を除いて 2 個しかないのは、素数位数の巡回群である。 この様な対象 X, Y が同型であるための必要十分条件は　 Hom(X, X) と Hom(Y, Y) の濃度が一致することだが、 Ab×Ab, Ab×Grp, Grp×Grp はその様な性質を満たさないから、 これらは Ab, Grp と圏同値でない。 Ab×Grp と Grp×Grp が圏同値でないことをどなたかどうぞ。 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 17:06:30] ＞一般に二つの対象の直和と直積が常に同型なのは Ab, Ab×Ab だけだから、 　 Rを多元環としてmodRの圏も有限直和と有限直積同型だと思うけど？ 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 17:24:47] >>168 >>155 の中で。 170 名前：１３２人目の素数さん [04/10/05 11:48:26] 590 171 名前：１３２人目の素数さん [04/10/05 15:21:04] >>167 Ab×Grp と Grp×Grpでは、部分対象が同値を除いて 2 個しかないのは、 　　(Z/pZ,{1}), ({1}, Z/pZ) p は素数 この様な対象 X, Y が同型であるための必要十分条件は　 Hom(X, X) と Hom(Y, Y) の濃度が一致すること、、、ではないな。 あとはよろしく。 172 名前：１３２人目の素数さん [04/10/06 18:44:47] >>171 何を言いたいのか・・・ 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/09 15:42:51] 荒らしを防ぐためsage進行で行こう 174 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 22:21:42] 158 175 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 176 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/14 22:29:34] Re:>175 捏造すんな。 177 名前：１３２人目の素数さん [04/10/15 09:02:29] mail okuttemo ii? 178 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/15 12:01:30] Re:>177 それでどうする気だ？ 179 名前：初学者 mailto:sage [04/10/16 12:07:47] Mac Lane の本で、metacategoryってのが出てくるけど、 これは普通のcategoryの定義と何が違うんだろう？ それに対して、categoryの定義では「Oを対象の集合」として グラフがどうとかこうとか言ってるけど、 metacategoryが（大きい）圏で、 categoryは小さい圏に限るということなのだろうか？ どうなんでしょう？ 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 00:03:02] 767 181 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 05:13:50] >>179 metacategory の定義の書けばかやろう 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 15:42:28] 圏論やってる人でMac Lane持ってない人っているんだ・・・ 183 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 23:51:34] 定義書けよ。ばかやろう

---

---

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef