圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 00:13] 　　　　　　 , 　 ＿ ﾉ） 　　　　 　γ∞γ~　 ＼ 　　とて 　とて　　 |　 /　从从) ） 　 　 　 　ヽ　| |　l　 l |〃 　 　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　 　　　 ｀从ﾊ~ ワノ）　　　＜　圏論についてなんでもどうぞ♪ 　　　　 {| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|!　 　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　　　`,─Y ,└┘_ﾄ─' 　　　　　└／/ ｌ T ヽ＼　　とて ⌒ヽ 　 　,く._ '　　　　　_ > 　　人　　｀ヽ｀二二二´'´ Y⌒ヽ）⌒ヽ　し' ｌ⌒) ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ■前スレ 　なんで圏論なんてもんがあんのよ？ 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1057731708/ ■関連スレ 　大好き★代数幾何 Part 2 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1070510931/ 　集合論なぜなにスレッド 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/ 　非古典論理について語るスレ 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/ ■関連過去スレ 　層 　science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1003853278/　（dat落ち中） 　シット サイト トポス シャン モチーフ 　science.2ch.net/math/kako/1007/10076/1007625226.html 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/27 09:27] カキゴリー 46 名前：１３２人目の素数さん [04/07/27 19:31] 圏論演習も、段々と加群の圏、層の圏、アーベル圏、局所化圏、導来圏などに シフトしようと思っていたが、最初で躓いてしまった。 又一般論：順序集合と順序写像(広義単調増加写像)の圏など良くある圏に話を戻して、 随伴関手・極限等の問題にしようか？ 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/27 20:52] もし可能なら、ステップアップする際に定義やなんかの説明をして 頂けないでしょうか。 スペース的&手間的に、無理っすかねー？ 48 名前：１３２人目の素数さん [04/07/28 04:47] >>47 定義がやたら長いのが abstract nonsense の特徴 49 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 12:21] FeaturesOfTheGod はつくづくアホだなと感じ 50 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 12:22] FeaturesOfTheGod はつくづくアホだなと感じ 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 18:37] と言うことで夏休みに入りました（＾＾；；； 52 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 19:03] >>51 あなた誰 私は圏論演習の出題者だが、近々易しい問題を出す予定。 その前に Tor の問題を1題だけ出してみたいのだが、 皆さん Tor はご存知かな? 説明しろといわれても長くなり杉 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 19:13] 出して味噌。興味が湧けば、考えよう。 54 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 20:20] それでは。 圏論演習 (9) 有限アーベル群の圏 C において、 F (X) = X (恒等函手）、G (X) = Tor(Q/Z, X) は、各 X に付いて F (X) と G (X) は同形であるが、 函手として同値(同形)出ないことを示せ。 (日本語入力が急にバカになったので暇がかかった.) 55 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 23:23] >>54失礼、又、ボケていた。 ｢同値｣でした。 書こうとしたのは、 有限アーベル郡の圏において、A と B のテンソル籍は、Tor(A, B) の、同形であるが、函手として同形でない、でした失礼。 56 名前：１３２人目の素数さん [04/08/03 15:41] 問題がぐちゃぐちゃでわけがわかんねーよ 57 名前：１３２人目の素数さん [04/08/03 23:45] 失礼 又書き直します 58 名前：１３２人目の素数さん [04/08/12 15:12] 255 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/12 15:38] Z/4 ->> Z/2 で考えるよし 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/12 16:07] >>59 相方はZ/2 61 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 09:27] >>59>>60 ご明察 62 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 16:16] 次からは自作の演習問題を考えるから待って炉。 考えた末に既出という場合もあるがな。 63 名前：１３２人目の素数さん [04/08/24 01:24] 971 64 名前：１３２人目の素数さん [04/08/24 18:35] 9月になったら作るから待って炉 65 名前：１３２人目の素数さん [04/08/31 23:30] 400 66 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 18:54] ９月になったので約束通り圏論演習の続きを始めよう。 第(10)題目になるな。 久々だからごく易しい問題から始める。 圏 C で次の三条件を満たす物を具体的に一つ構成せよ。 (i) C は small category に圏同値でない。 (ii) C は任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じている、 (iii) C は その双対圏 C^op と圏同値である。 67 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 19:23] Sets \times Sets^op 68 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 19:37] >>67 ご明察。 簡単すぎたな。 69 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 20:00] 圏論演習 (11) ではひと味変えて、 圏 C で次の三条件を満たす物を具体的に一つ構成せよ。 (i) C は small category に圏同値でない。 (ii) C は その双対圏 C^op と圏同値である。 (iii) C は、D×D^op の形の圏に圏同値でない。 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 20:22] Sets x Sets^op に更に object A 及び A^op を付け加えたものは。 ・当然smallってこたあないやね ・自分の双対圏と同値だあね ・で、D×D^op の形の圏に圏同値でないように思うのだが 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 20:26] A 及び A^opって言い方、変だな。スマソ。 72 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 22:37] >>70>>71 もう少し整理してから書き込んでください。 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 23:37] えーと、object A及びarrowとしてid_Aのみを加えたとして。 もしあるD×D^op の形と圏同値だったとすると、Aに対応するある (a1, a2) （a1, a2はDのobject）が存在する。 x≠a1, y≠a2とする。(a1, y)≠(x, y)かつ(x, a2)≠(a1, a2) なので、Sets×Sets^opのobject P, Q（≠A）がそれぞれ (a1, y)及び(x, a2)に対応する。 Sets×Sets^opのarrow f: P→Q及びg: Q→Pが存在するので、 Dのarrow a1→x, a2→y及びx→a1, y→a2が存在する。つまり D×D^op のarrow h: (a1, a2)→(x, y)が存在する。 これはarrowとしてid_Aのみを加えたことに反するので、 そもそもD×D^op の形と圏同値ではない。 74 名前：１３２人目の素数さん [04/09/03 00:03] >>73 ご明察 次はもう少し難しくしよう。 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/03 08:53] すんません、4行目の「(a1, y)≠(x, y)」は「(a1, y)≠(a1, a2)」の 間違いです。 はじめは>>69の「ひと味変えて」の意味がよく分からなかったのだが、 >>73の構成だといわゆる帰納的極限・射影的極限を持たないのだから、 確かにひと味変わってるんだな・・・。 76 名前：１３２人目の素数さん [04/09/03 19:09] 圏論演習 (12) R を環、圏 C を左 R - 加群の圏とする。 C の充満部分圏 D で、 (i) 包含関手 C ⊂ D は左随伴関手を持つ。 (ii) Ob(D) に属する加群の剰余加群（に同型な加群）も Ob(D) に属する。 なる二性質を満たす物全体は集合になる事を示せ。 77 名前：１３２人目の素数さん [04/09/03 20:39] >>76 訂正 （誤）(i) 包含関手 C ⊂ D は左随伴関手を持つ。 （正）(i) 包含関手 D ⊂ C は左随伴関手を持つ。 78 名前：１３２人目の素数さん [04/09/05 17:51] ちょっと難しかったかな。 回答は別の機会にして、 次は又易しめのにしよう。 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/06 22:46] >>76 ならないだろ？ Vをヴァーサスクラスとして各x∈Vにたいし R加群Mx=(S,A,B) (Sは底集合、Aは加法を定義するグラフS×S→S、BはR倍を定義する グラフS×R→S)をS={x}、A(x,x)=x、B(x,r)=xと定義すればMxはR加群。 さらにCの充満部分圏Dxを{Mx}だけで構成されるものとすれば条件をみたす。 Dxの全体は集合にならない。 80 名前：１３２人目の素数さん [04/09/06 23:39] >>79 ＞Vをヴァーサスクラス って何? その後の意味も良く解らないんだけど (出題者) 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/06 23:44] >>80 ＞＞Vをヴァーサスクラス ＞って何? ヴァーサスクラス＝全ての集合を含むクラス。当然集合でない。 　 ＞その後の意味も良く解らないんだけど ＞(出題者) 　 つまり条件(i)(ii)をみたす充満部分圏のなすクラスと一対一に対応する集合は 存在しないということ。 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/06 23:51] >>80 あ、すまん。同型な加群もいれるのか。よく読んでなかった。吊ってくる。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 00:07] 死ぬな、イキロ。 ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。 英語は「versus」なの？　それは、proper class全部を指すの？ 84 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:10] >>出題者 ネタ本かお勧めの書籍教えて 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 00:14] >>83 ＞ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。 　 そう？すくなくとも２つの教科書でよんだとおもう。岩波の公理論的集合論と AlgebraIって本。 　 ＞英語は「versus」なの？ 　 だったかな？自信ないからカタカナで書いた。 　 ＞proper class全部を指すの？ 　 ∀x(∃y x∈y⇒x∈V) を満足する唯一のクラスと定義していたはず。 86 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:23] >>84 ＞ネタ本かお勧めの書籍教えて ヴァーサスクラスも知らなかった私が余り大きな事は言えないな。 87 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:27] 教えたくないのですか？ 88 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:47] >>87 別に教えたくないわけではないが、 純粋な圏論関係はずいぶん昔に読んだ (著者、書名も正確には覚えていないが) Pareigis, Categories ang Functors, Freyd, Abelian Categories などで、 最新知識は代数やトポロジーの本から得ている。 www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0691086850/qid=1094485536/sr=1-9/ref=sr_1_10_9/249-4472161-4287522 など。 89 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 10:19] >>87 つまりネタ本は今手にはいるかどうか分らないような古い本で、 最新のお薦め本は知らないと言う事。 ではもう少しやさしくして 圏論演習 (13) 任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category を特徴付けよ。 90 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 13:06] >>88-89 ありがとう。結構定番だね。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 13:33] 射影的極限を持つならば、 ・終対象 ・Ob(C)の任意の部分集合の直積 ・equalizer を持っている。逆にこの３つを持てば、射影的極限を持つ。 ……くらいでどや？ 92 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 13:58] >>91 特徴づけだからもっと簡単な言葉で述べてくれ。 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 14:04] >>85 普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。 岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。 94 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 14:39] >>91 ＞終対象 終対象は 0 個の直積だから、任意の直積に付いて閉じていれば 終対象も存在する。 ＞Ob(C)の任意の部分集合の直積 では重複が許されないから、 射影的極限を持つとはすぐには結論できない。 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 17:40] ・・・あ、そうか。部分集合つったら、確かにそうなってしまうな。 96 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 19:55] >>89 それより>>76の証明は？ 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 20:00] >>93 ＞岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。 　 あれ？そうだっけかな？たしか岩波だったとおもったが。日本語でBG集合論の解説してる 数すくない本の一冊だったんだけど。 　 ＞普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。 　 universeともいうかもしれないけどuniverseというと本来のヴァーサスクラスのもつ 性質のいくつかを公理化してそれを満足するクラスのことをさす場合もあるんじゃ なかったっけ？すくなくともAlgebraIではそのような解説がしてあったとおもうけど。 98 名前：97 mailto:sage [04/09/07 22:12] どうも岩波じゃなくて共立のようだ。大学いって図書館いかないと確認できないけど。 99 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:10] >>96 兎に角 >>89 を次の>>100で解いてくれ。 ヒント: small category が任意の直積に付いて閉じているか 或いは、任意の直和に付いて閉じているか、いずれかならば Hom (A, B) は常に高々一個の元からなる。 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:13] >>99 ｢特徴づけよ｣なんて設問に答えようがあるか。こんな設問なら 　 Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category であるための必要十分条件は Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category であることである。 　 だってこたえだろが？ 101 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:15] そこらへんは多めに見てあげたら？ 彼の出題、独善的なものも多いけど、なかなか面白いよ。 個人的に>>100はハズレ。 102 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:16] >>100じゃなくて>>89な。 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:18] 多めにみるったって答えようないじゃん。 たとえばpullback、pushout、帰納的極限、射影的極限について閉じてるちいさい圏 とかも答えになるだろうがこれだって唯一のこたえじゃないし。受験数学じゃあるまいし こんな設問答えようがない。 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:26] それこそ受験数学じゃないんだからさ、 いくらでもある同値条件の中から、 ぱっと見もっとも簡単なもの挙げろ、って事だろ。 >>99よく見てみ。 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:30] だいたい任意の直積についてるって意味もよくわからん。 おそらく>>99の解釈でいえば｢任意の直積｣とかいうやつは ｢任意のクラスでラベルされた対象の族の直積｣ を意味してるみたいだけど普通に圏論やったことがある人間なら そんな風には解釈しないだろ？こんな解釈なら ｢Setsは任意の対象の族の直積について閉じてる。｣ みたいな命題もまちがってることになる。 106 名前：105 mailto:sage [04/09/07 23:34] ああ、しまった。そういう意味か。つまりすべての対象が始対象かつ終対象 になってる圏って答えろって意味か。しかしやっぱり設問としてはいかんと思う。 問題がおもしろくなくなっても｢〜をしめせ｣みたいにすべきだ。 107 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:56] >>106 まだ違ってるな。 始対象であり、かつ終対象であるような object が存在するとは限らないよ。 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:04] >>107 え？Aが始対象⇔Hom(A,B)が任意のBに対し１元集合 じゃないのか？>>89の問題は集合Iに対し圏C(I)をC(i,j)=1i (i=j) φ(i≠j) と定義したときCが任意の集合Iに対し関手Δ:C→fun(C(I),C) (Δ(X)i=X)が左右の随伴をもつが仮定なんだよな？ 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:04] >>105 つまらんor気に入らん問題は放置すれば良いだけだろ。 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:05] >>109 そうだな。そうするよ。 111 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 00:07] >>108 高々一個という事は空集合と言う事もあるということだよ。 112 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 00:09] >>106 ＞設問としてはいかんと思う。 大学院入試で出たら>>100の様に答えるのか? 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 00:11] >>112 大学院入試で>>89のようなバカな設問する大学はない。 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 02:11] ○○を特徴づけよというのは、日本語として読んだとき理解しにくいとは思う。 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 07:57] うん、確かにそうなんですけどね。 でも、結果として提示される答え（のリスト）をつらつらと眺める ことは、初学者には結構勉強になりますよぅ。 116 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 12:16] 圏論演習 (13) が設問として不適当というなら 私が解答「例」を述べよう。 族 A_λ, ∈ Λ の直積を Π_λ A_λ と書こう。 もし Hom (A, B) が二つ以上の元を持ったとすると、 Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) となって、 Λ を大きくしてやれば、 Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) が 幾らでも大きくなり、 small と言う仮定に反する。 よって Hom (A, B) の元は高々一個。 さて、 small と言う仮定から、（この仮定はなくても良いか） 圏同値を除けば、集合 X = Ob(C) 異なるる元は同型でないと仮定して良い。 X = Ob(C) の二元 a, b に、 Hom (a, b) が空でない時、 a ≦ b としてやれば 半順序集合が得られる。逆に半順序集合 Y が与えられた時、圏 D を、 Ob(D) = Y, Hom (a, b) は、 a ≦ b の時のみ只一個の元からなり、 それ以外の場合は空集合とすると圏になる。 よって条件を満たす圏を調べる事は、（圏同値を除いて） 半順序集合を調べる事に帰着する。 a ∈ Ob(C) 自身の（任意個数の）直積は a だから、 Ob(C) の部分集合の存在が言えれば、任意の直積が存在する。 （半）順序集合の言葉で言えば、直積は部分集合の下限となる。 （空集合の下限は定義より最大元となり、これは終対象） よって下限が常に存在すれば任意の直積は存在する。 又 Hom (a, b) は高々一個の元からなるから、equalizer は常に存在。 よって下限が常に存在すれば、射影的極限について閉じている。 同様に上限が常に存在すれば、帰納的極限について閉じている。 よって必要条件は上限・下限が常に存在する（半）順序集合と言う事になる。 （これを完備束という） 逆にこれが十分条件である事を言うのは難しくない。 よって、完備束から上記の方法で定義された圏に 圏同値である small category と言うのが一つの特徴付けである。 117 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 12:23] 訂正 （誤）族 A_λ, ∈ Λ （正）族 A_λ, λ ∈ Λ （誤）（この仮定はなくても良いか） （正）仮定は必要 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 12:40] 不適当とは言わないが、今までの中では駄問くさい。 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 14:36] Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) が 幾らでも大きくなると、 何故「 small と言う仮定に反する」ことになるのでしょうか。 smallって、Ob(C)が集合って意味ですよね？ 解説お願いしますです。 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 15:30] 同型類が集合なら、同型類を走らせた\cup_{A,B}Hom(A,B)も集合なので、 Homの濃度の上限が存在する。 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 16:41] おお、そうやって考えるものなのですね。 解説thx. 122 名前：哲屑はウザイ [04/09/08 23:06] www010.upp.so-net.ne.jp/intruder/books.htm 哲くずが数学について偉そうにコメントしている。 哲クズって、なんでこうも数学に粘着するんだ? 例) 松坂和夫『集合・位相入門』、岩波書店、1968 集合論はやはり古さを感じる。素朴集合論だし。 位相空間論の方はとても面白かった。 最初のinformalな動機づけの方がむしろ私には分かりにくかったりした （これは前に志賀浩二を読んでいたので、informalな考えは少し身に付いていたからかもしれない）。 この本の位相空間論の読書は、日々の読書の中でもっとも楽しい時間だった。 123 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 23:18] >>122 マルチの上にスレ違い 124 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 23:23] ここは良スレですね 125 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 19:54] >>124 何で 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/09 23:35] >>125 スレの死亡宣告だよ。 127 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 13:18] 圏論演習 (14) 今度は初学者向けのにしよう。 Grp ： 群の圏、 C ： 半群の圏 （或はモノイドと単位元を保つ準同型の圏にしても良い） この時包含関手 F ： Grp ⊂ C は随伴関手を持つ （右か左かは分るよねー） この関手は○○○○と言われている。 所で容易問題なら幾らでも出来るが、難易度・中程度で、 面白くて、出題も適切で、勉強にもなる演習問題となると、 こちらのネタにも限りがある。 他の人、出題の応援を求む。 別に出題でなくても、圏論の話題提供してくれ。 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 17:30:23] えーと、これはＣのobjectをbase setとした自由生成を、 左随伴関手として持つんじゃないかな。 呼び名は知らんなぁ。 129 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 20:52:16] >>128 答案の文章としては分かりにくい点もあるが まあよしとしておこう。 本当は初学者の方にもう少しきっちりした物を書いてほしかったのだが、 随伴関手は group completion という。 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 21:17:01] あ、すいません。じゃあ、時間があったら、も少しコリコリと 書いて出します。ちゃんと書いたら間違ってたりするかもしれ ませんし。 （ていうか私は初学者の範疇に入るハズ） 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:35:18] 包含函手F: Grp→Cに対して、左随伴函手G: C→Grpを構成する ことを考える。つまりunit ηを使った三角図式をηX: X→FGX、 f: X→FA、Fg: FGX→FAとし、この図式が可換となるような唯一 のg: GX→Aが任意のfに対して存在することを示す。X, FA, FGX ﾎ Ob (C)であり、A, GX ﾎ Ob (Grp)である。もちろん上のηX, f, Fg は半群の準同型写像であり、gは群の準同型写像である。 以下の点を示す必要がある。 i) 半群Xに対して群GXを構成する ii) Gが函手であることを示す iii) η: 1→FGが自然変換であることを示す iv) gのwell-definedness及びuniqueness、gが準同型であること を示す v) 図式が可換であることを示す 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:37:46] X = {x, y, z, ﾉ}としたときに、Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} とする。Zに以下の2項演算による構造を入れる。 0. a, b, c ∈ Zに対してa (b c) = (a b) c 1. a ∈ Zに対してe a = a（Xが単位元を持つ場合はそれとeを 同一視する） 2. x ∈ X ⊂ Zに対して、x^(-1) x = x x^(-1) = e 3. その他、半群Xにおける規則を{x, y, z, ...}に入れる 明らかにZは群であり、特に「3.」により導入された規則が、 その他の規則の反復適用によって{x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...}の部分 にも適切に浸透する。 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:39:28] ZはXの構造を「比較的」よく保っている群であるが、忠実な 表現という訳ではなくて、縛りとしてはよりきつくなっている。 例えばXが単位元を持つ半群の場合、x y = eだからと言って y x = eとは限らない（反例は簡単に作れる）が、Zにおいては y x = eが強制される。つまり、縛りがきつくなった分というのは、 群の構造を要請する限りは必ず強制される「同一視」によって もたらされるものである。 Zを改めてGXと置く。明らかにGXは群である。 半群準同型h: X→Yとする。Gh: GX→GYを以下のように定義 する。a ∈ GXとする。 Gh (a) = h (a) （a ∈ Xのとき） Gh (a) = (h (a^(-1)))^(-1) （a^(-1) ∈ Xのとき） 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:40:36] GXにおいてa = bならばa^(-1) = b^(-1)であり、たとえXにおい てa ≠ b（あるいはa^(-1) ≠ b^(-1)）であったとしても、上記の理由 により（GYが群である限りは）GYにおいては再びh(a) = h(b)で あり、Ghはwell-definedである。またhが半群準同型なので、 Ghは群準同型である。 明らかにGhk = Gh Gk, G id_X = id_GXなので、結局Gは函手 である。 ηX: X→FGXを自然な包含とする。ηX: X→FGX、ηY: Y→FGY、 h: X→Y、FGh: FGX→FGYという図式を考えると、上のGhの定義 から、FGh (ηX (x)) = FGh (x) = Gh (x) = h(x) = ηY (h (x))となるので、 この図式は可換になる。よって、η: 1→FGは自然変換である。 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 21:43:01] a ∈ GXとする。f: X→FAに対して、g: GX→Aを g (a) = f (a) （a ∈ Xのとき） g (a) = (f (a^(-1)))^(-1) （a^(-1) ∈ Xのとき） と定義する。半群としてのFAは本来Aとして群の構造を持って いるので、上記のGhと同様にgがwell-definedであること、及び 群準同型であることが分かる。またgの定義よりFg (ηX (x)) = Fg (x) = g (x) = f(x)となるので、目的の図式が可換であることが 示された。 g' ≠ gであるとすると、あるa ∈ GXが存在してg' (a) ≠ g(a)とな る。Aは群なのでg' (a)^(-1) ≠ g(a)^(-1)でもあるので、始めから そのようなa ∈ Xが存在するとして良い。つまりf (a) = g (a) = Fg (a) = Fg (ηX (a)) ≠ g' (a) = Fg' (a) = Fg' (ηX (a))となるので、 g'は目的の図式を可換にしない。よってgのuniquenessが示さ れたことになる。 結局、Gは包含函手Fの左随伴函手である。 136 名前：１３２人目の素数さん [04/09/17 19:28:11] おぉー 解答が出来ていましたね。 大筋では正解と言えますが、 細かい点 ＞Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} → Z ： {x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} から生成されたモノイド？ Z が良く分からないので、以下の ＞Zに以下の2項演算による構造を入れる。 も良く分かりません。単に ＞Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} とする場合は x*y^(-1) が何になるのか良く分かりません。 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 23:03:56] あ、そうか、そうですね。 Z = 云々、という書き方だと駄目ですね。おっしゃる通り、そこから 生成する、というつもりでした。御指摘ありがとうございます。 あと、文字化けスマソ(^^; 138 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 00:52:21] >>137 ご明察 としておきましょう。 では次の問題の準備をしておこう。 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 01:17:49] 日本の圏論の第一人者って誰？ 140 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 01:24:25] 純粋な圏論という人はいないと思うよ 外国まで含めても少数。 皆何かと絡ませているね。 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 04:38:12] 絡ませてる人では？ 東大にはいないの？ 142 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 08:11:22] 大体東大に圏論がメインという人がいるわけ無いよ 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 08:34:03] 情報の方を探せば… 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 14:14:10] 第一人者どころか圏論が専門の人すら稀なのかー 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/18 18:57:38] ペギオ

---

---

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef