- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
関連スレ
面白い問題おしえて〜な 七問目
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 20:55:08]
- >>914
正解
出題者のねらいとしては
2
123
213123132
123213231213123132312132123
･･･
これを持ち出して、無限列っていうアフォを引っかけるつもりだったんだが、
甘すぎたな。
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 21:51:41]
- >>914
それじゃどんな有限列wをとってきてもwwがでてきてしまう。
- 918 名前：917 mailto:sage [04/10/28 21:55:00]
- まちがった。>>915だ。その構成だとどんな0,1,2からなる有限列wをとってきてもwがその列の
なかにでてくる。くりかえしのある列012012とか11111111だってもちろんでてくる。
- 919 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 21:58:54]
- >>915
＞1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。
↑ ココらへｎ
いや、あるように見えるが……
- 920 名前：915 mailto:sage [04/10/28 23:22:05]
- 有るな。わりこみsory。続けてください。
- 921 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 00:46:15]
- >>894
解答マダ−−−−−？
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/29 14:38:16]
- 回答のないものの方が多い。
気長に待ちなさい。
- 923 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 20:53:51]
- 非負整数 n に対して、次式の値を求めよ。
Σ[k=0 to ∞] Σ[j=0 to k] C[2k,k] C[2k+1,k+1+j] (-1)^j (2j+1)^(2n+1) / {(2k+1) 16^k}
- 924 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 23:31:32]
- xyz空間内に底面がxy平面上の円x^2+y^2=a^2,(a＞0)頂点が(0,0,2b),(b＞0)の直円錐がある。
円錐内部は光を通さないものとして以下の問いに答えよ。
(1)点A(a,0,b)に点光源を置き円錐を照らしたとき、円錐の側面のうち光のあたる部分の面積を求めよ。
(2)光のあたる円錐の側面(底面は除く)の面積が(1)で求めた値と等しくなるような点光源の位置(x,y,z)全体の集合Zを求めよ。
(3)a,bが互いに素な自然数のとき、Zの要素のうち原点に最も近い格子点の1つが点Aであるようなa,bの条件を求めよ。
- 925 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:01:08]
- サイコロを振ってk回目に出てきた目をa(k)とする。どの目が出てくる確率も1/6である。
このとき
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k の期待値と
Σ[k=1,∞] (a(k))/7^k の期待値を求めよ。
- 926 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:03:06]
- ／⌒ヽ, ,／⌒丶､ ,-
`,ヾ ／ ,;;iiiiiiiiiii;､ ＼ _ノｿ´
iｶ ／ ,;;´ ;lllllllllllllii､ ＼ ｉｶ
iｻ' ,;´ ,;;llllllllllllllllllllii､ ｆｻ
!ｶ､._ ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!! ＿_ｆｶﾍ.
/ `ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´ 'i､
i' ,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿ |
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| ;iｻ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｻi ｻi |
| iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi |
| iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi |
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- 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:18:42]
- >>925
1/2, 7/12
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:23:03]
- >>925
k回目に出てきた目をa(k)としているだけで、それはただの記号じゃん。
「k回目に出る目の期待値をa(k)」とするとかならわかるけど。
- 929 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:24:53]
- >>928
いや、期待値じゃなくて値っていうなら、お前の突っ込みも分かるけど
Σ[k=1,∞] ××
全体で確率変数なんだろ。んで、その期待値を求めろっていうんだろ？
普通に積分すればいいじゃん。
- 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:28:56]
- あれだべさ、 >>926の前半の概略はこうなるべ
αを0＜α＜1の6進数、小数点以下第n位までの有理数とする。
α = Σ[k=1,n] ( a(k)-1 )/6^k
となる確率は1/6^n 従って、α≦β＜α＋1/6^nなる実数βの集合を考えると
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k
がこの集合に含まれる確率は1/6^n とかってやるんじゃないの？
- 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:32:36]
- >>929
あああ、言いたいことわかる！！わかるけどパッっとしないなあ。
何が引っかかってんだろ・・・優しく語ってくれないか？
確率めっちゃ苦手だ
- 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:33:52]
- >>931
連続確率の問題だからなぁ、間違いなく高校レベル超えてるだろこれｗ
- 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:35:43]
- >>931
とりあえず、ルベーグ積分を覚えてみ。
そうすれば、理解できるようになると思われ
- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:36:59]
- >>932
>>933
サンクス、最初っから高校レベルじゃないんだな。安心したよ
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:39:13]
- >>934 つーても、それほど逸脱しすぎてるわけでもないと思うから出題してみたのだが
普通に
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k
を有限で止めて、>>930みたいにやっていくわけだが、
高校生でもできるんでないかい？
- 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:39:26]
- >>931
たぶんA={1,2,3,4,5,6}をμ({1})=μ({2})=μ({3})=μ({4})=μ({5})=μ({6})=1/6
なる測度で(A,μ)を測度空間とみなしてそのコピーを可算個容易して
(An,μn)としたときX=(ΠAn,Πμn)を積測度としてそれが確率測度になるからその
測度空間上で関数a(n)=(第n成分を取り出す関数)をとるとき
関数Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^kが可測関数であることを示して
その期待値をもとめろってんじゃないのかな？なんとなくa(k)/6^kが可測で
Σ[k=1,K] (a(k)-1)/6^kが一様に可積分だからなんとなく当たり前のような気もするけど。
- 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:41:04]
- >>935
測度空間が無限集合になるのは受験数学の範囲を逸脱してると思う。
- 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:43:10]
- >>930>>936
なるほどね・・・受験数学ヲタだから、あまり大学数学は知らないんだよな。
ルベーグ積分はかじった程度。>>936の説明ならわかった希ガス
- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:43:26]
- E[a(k)]=7/2なんだから、
E[Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞]E[( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞](5/2)/6^k
答えを出すのは簡単。
Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^kが実際に確率変数になる（可測性）とか、limとΣの交換可能性とか細かいことを言わないなら高校生でも解けるだろ。
- 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:46:31]
- いや、工房でもlimとΣの入れ替えぐらいはうるさく言うだろ
- 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:52:57]
- >>939
高校生に解答はかけないだろう。
予想はできても。
ま、マーク式問題なら勘のいいヤツなら正解できるな
- 942 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 08:15:06]
- e をネイピアの数とする．
S_ｎ＝Σ(ｋ=1→ｎ)(1/ｋ!) とすると，任煮の自然数 ｎ に対して
S_ｎ ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)!
が成り立つ事を示せ．
ただし高校の範囲までで，マクローリン展開等は使えません．
- 943 名前：942 [04/11/02 08:16:15]
- × S_ｎ＝Σ(ｋ=1→ｎ)(1/ｋ!)
○ S_ｎ＝Σ(ｋ=0→ｎ)(1/ｋ!)
- 944 名前：942 [04/11/02 08:18:15]
- × S_ｎ ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)!
○ S_(ｎ+1) ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)!
- 945 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 14:12:58]
- (1) 女体の特異点を求めよ。
(2) 女体を亀甲縛りにしたときの縄の長さの最小値を求めよ。
- 946 名前：king233 [04/11/02 15:50:08]
- 得意な問題だけど結構難しい
- 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 18:45:51]
- 特異点
- 948 名前：924 [04/11/02 22:09:31]
- 誰も解いてくれないのでヒント
(1)平面z=b上での光の当たる境界となる点は？
さらにその点と点Aと円錐の頂点を含む平面はどうなる？
(2)交線に着目。
(3)最小候補となる距離は2種類
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 22:17:14]
- >>948
誰も解いていない問題はいっぱいある。気長に待て
- 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 22:21:10]
- ここは問題を吊るすｵﾅﾇｰｽﾚだから、回答は期待しない方が良い。
- 951 名前：ChaosicSoul ◆/yaJbvarMY [04/11/02 23:17:24]
- Re:>945
(1) 胸の先と、後は知らん。
(2) 甲羅の数をいくつ作るかによってだいぶ変わってくる。
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 23:20:15]
- 待て、然して希望せよ！
- 953 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 08:30:43]
- 正八面体を1つの平面で切断するとき、
切断面に7角形が生じることはないことを示せ。
- 954 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 09:29:12]
- 関数､超高校級で後期向けのをきぼん｡
- 955 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 13:00:21]
- >>954
分野は？
＞関数
美積?
- 956 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 13:22:06]
- お任せします｡
- 957 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 14:43:39]
- 微積じゃないけど（且つ、易しいけど）
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......... ＜ 2.75
は？
- 958 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 15:44:02]
- >>957
左辺の収束自体が高校の範囲外。
問題を修正する必要有り。
- 959 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 15:48:15]
- 放物線を軸のまわりに1回転させてできた放物面と定点Aがある。点Aを通るどんな平面とも放物面が接することはないとき、
平面と放物面により囲まれる部分の体積を最小とする平面はどんな平面か。
- 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 16:00:29]
- >>955
みつみ？
ちゃん様？
- 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 16:46:38]
- >>959
文系用底上げバージョン、もしくは理系(1)にして撹乱件ヒント（ｗ
平面上に放物線と定点Aがある。
点Aを通るどんな直線とも放物線が接することはないとき、直線と放物線により囲まれる
部分の面積を最小とする直線はどんな直線か。
･ヒントにうまく乗れる奴
･統一的に解く奴（多分少数）
･力技で２問解く奴（多そう）
に分かれると思う。
- 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 17:02:23]
- >>957
なにか、いい方法があるのでしょうか？
- 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 18:00:51]
- >>958
収束だけだったら高校生でもできるぞ。
n≧4で2^n＜n!なる不等式を証明してやればいい。
- 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 18:16:08]
- 左辺＜1+1+1/2+1/6+1/24+1/(24・5)+1/(24・5^2)+1/(24・5^3)+・・・
=2+(53/96)
＜2.75
- 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 21:00:10]
- >>957
n!>n(n-1)[*]に注意すれば、十分後から[*]を使って評価すれば終りじゃないの？
十分後、が1000とか10000だったら考える必要があるけど
- 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 21:00:43]
- あ、解決済みだ
- 967 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:03:22]
- >>963
だから上に有界と単調増加だけでは、高校では収束の証明にならないんだっちゅうの。
- 968 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:04:49]
- >>967
確かに厳密に言えばそうだけど、慣習として収束値の存在を示す
やり方にこれがあることは事実でしょ。
実際には……実数の連続性なり何なりを使うことになるんだけど……
- 969 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:07:03]
- 高校の範囲外の事を使わなければ証明できない問題を入試に出す事はできない。
- 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:13:29]
- つかよ、高校レベルで収束に対して厳密な証明のある物って
なんか、あったっけ？
- 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:14:13]
- 工房相手なら、
正の整数nに対して
a_n = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......... + 1/n!
とおく。
このとき、任意の正の整数nに対して a_n < 2.75 が成り立つことを示せ。
とでもしないとな。
- 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:17:54]
- >>970
ピントずれまくり
- 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:19:49]
- >>969
東大の入試は確かにその辺に気をつかってるよね。
- 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:20:48]
- いやさぁ、極端な話
1/n → 0 (n→∞)
でさえ、怪しいんじゃない？
- 975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:22:26]
- 怪しいも何も、収束の定義そのものが怪しいんだから仕方がない。
- 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:22:42]
- >>974
あやしいね。
- 977 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:28:46]
- 収束を示すんじゃなく不等式を示すんだから別にいいと思う。
- 978 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:31:53]
- >>977
>>957の表記はそうじゃないだろ？
ﾊﾞｶか？
- 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:34:27]
- 確かに>>957だと
･左辺確定
･左辺 < 右辺
を問われていると見るのが普通だと思う。
- 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:34:41]
- >>957の表記も怪しいねw
- 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:36:08]
- 結局悪問って事になるわけか。
円周率の存在は証明無しに使って良くて
収束は駄目。この境目が正直言って分かりません。
- 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:40:20]
- 工房では
e := lim[n->∞](1+1/n)^n
右辺の存在は天下りというか不問というかアンタチャブルというか、とにかく存在！
なんじゃなかったっけ？
- 983 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:40:51]
- >>971のように修正すれば高校の範囲になるよ。無問題。
>>981
そんなこと言ったたきりが無い。
長さや面積だって本来積分で定義すべきものを、
既にそれらの概念があるものとして扱ってる。
- 984 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:51:47]
- 長軸3、短軸2の楕円に内接する12角形の面積の最大値を求めよ。
- 985 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:57:28]
- >>984
円で考えてあとは相似変換。
- 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:58:56]
- そもそも厳密な実数論や積分論は、職業的数学者が
数学の系統的な講義のやり方に頭を悩ませていたことからうまれたもので、
17世紀ごろには、数学は大分実用志向だったから
必ずしも厳密な理論は必要なかった。だからこそ
Fourrierの理論なんかが生まれた、と数学史の本によるとそういうことらしい。
だから高校数学では厳密な理論は必ずしも必要ないんじゃないでしょうか
（むしろ漏れは算数と一緒に道徳を教えるという文部省の方針の暴挙を
どうにかしてほしい。）
- 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:00:51]
- >>984
四角形までなら何とかごまかせるけど五角形以上は
最大値の存在証明が結構大変だと思う。
だから東大じゃで無いと思う。
- 988 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:02:03]
- 「高校数学では厳密な理論は必要ないんじゃない」と言う事ではなくて、
理解できるだけの素養が備わっていないだけ。
- 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:09:34]
- まあそれも一理あるけどあまり\epsilonが\deltaが一様収束がと
やっちゃっても物理、工学に進む学生の足かせとなるんじゃなかろうか？
あまりそういう意識で勉強すると誰も電磁気学を勉強できなくなるし
（高校でも大学教養でも）
- 990 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:19:26]
- >>984
最大値が存在しなければ極大値が存在。
それは内接する三〜十一角形の面積以外にありえない。
正円に内接する正十二角形の面積＞内接する三〜十一角形の面積。
という方針なら高校生でも解けるのでは?
- 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:21:13]
- 次スレお願い
>>995
- 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:22:04]
- 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......... ＜ 1+1+1/2+1/6+1/24+1/(24・5)+1/(24・5^2)+1/(24・5^3)+・・・
は高校だとやっちゃダメなのか・・・
- 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:24:33]
- >>>990
方針も何も全然分からないんだけど……
>>最大値が存在しなければ極大値が存在。
ナゼ？
>>それは内接する三〜十一角形の面積以外にありえない。
ナゼ？
>>正円に内接する正十二角形の面積＞内接する三〜十一角形の面積。
ナゼ？
- 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:32:05]
- >>992
収束値が存在しなければ不等式自体あり得ないだろ。
- 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:34:57]
- 次スレ早く立てろ！
- 996 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:40:47]
- 次スレまだぁ〜
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ
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ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从☆`ヾ/゛／' "＼' /". ☆ | |
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ﾄﾞｯｺｲｼｮﾄﾞｽﾄﾞｽﾄﾞｽ=!|l|》ﾘｎl⌒!Ｉ⌒Ｉ⌒I⌒Iﾂ从=≡|l≫,ﾞ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ《l|!|!l!'~'⌒^⌒(⌒)⌒^~~~ヾ!|l!|l;"ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞl|l|（（ (〇) ））（（ (〇) ））|l|》;ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞ`へヾ―-― ―-― .へヾｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
／|＼人 ＿.ノ _||_. ／|＼
- 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:44:31]
- たてますた
- 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:44:46]
- ぬぉ、新スレたてたけどほとんど同じ時間にもう一人……
- 999 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:45:30]
- １０００
- 1000 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:46:44]
- 余裕で１０００げっと
- 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]
- このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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