- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
関連スレ
面白い問題おしえて～な 七問目
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/02/07 06:24]
- >>230
344？
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/02/07 06:32]
- 知ってる人は知ってる問題。
三角形ABCにおいて、∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数、
他の2辺の長さa,cはいずれも素数である。
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 08:51]
- >>235
それ京大の過去問だろ。
- 237 名前：235 mailto:sage [04/02/07 08:53]
- うん。ばれたか。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 11:28]
- めっちゃ昔の兄弟の問題でも覚えてるやついたのに、
んな最近のでごまかせると思ったか。
- 239 名前：235 mailto:sage [04/02/07 11:41]
- いやばれてるつもりで出題したんだが・・・
スマソ
工房だから許してください。
- 240 名前：１３２人目の素数さん [04/02/07 12:09]
- X_n=Σ_[k=1,n](1/n^2)が整数となるのはｎ=1の時のみであることを示せ。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 14:50]
- １／ｎが整数だからｎ＝１。
- 242 名前：１３２人目の素数さん [04/02/07 15:07]
- >>241
分数と分数の和が整数にならないこと示さないといけないだろ。
- 243 名前：240 [04/02/07 15:15]
- >>241
そういうこと。
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 23:46]
- >>235
a>cと仮定する。
b^2=a^2+c^2-acとなるがb^2=(a-c)a+c^2>c^2よりb>c
(b-c)(b+c)=a(a-c)より
b-cまたはb+cがaで割れる。（aが素数であるから）
・b-c=akとなる場合(k>0)
ak(ak+2c)=a(a-c)
(k^2-1)a+(2k+1)c=0となるが左辺>0となるので矛盾。
・b+c=akとなる場合(k>0)
ak(ak-2c)=a(a-c)
(k^2-1)a=(2k-1)cでa>cよりk^2-1<2k-1となるが
このようなkはk=1しかない。この時c=0となるので矛盾。
よってa=cとなる。
もっと簡単に出来る方法はある？
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/08 02:20]
- ａ≦ｂ≦ｃとすると（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝ｃ（ｃ－ａ）で
０≦ｂ－ａ＜ｃ＜ｂ＋ａ≦２ｃから０＝ｂ－ａまたはｂ＋ａ＝２ｃ。
- 246 名前：フォイエルバッハの円 [04/02/08 03:34]
- ＞＞２３４
不正解
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/08 05:29]
- >>240
1≦Xn＜1+∫[1,∞](dx/x^2) = 2
- 248 名前：240 [04/02/08 14:35]
- >>247
正解です。
- 249 名前：フォイエルバッハの円 [04/02/09 15:38]
- 難し過ぎたかなぁ？
- 250 名前：１３２人目の素数さん [04/02/09 18:29]
- n = 24 とする。1≦k≦n をみたす整数 k に対し、
f(k) = cos(2πk/n)+ i sin(2πk/n) とおく。
ここで、i は虚数単位である。
(1) A={1, 2, ..., n} とおくとき、Σ_{k∈A} f(k) = 0
であることを証明せよ。
ただし、Σ_{k∈A} f(k) とは、すべての A の要素 k に
対して f(k) を足し合わせること、すなわちこの場合は
f(1) + f(2) + … + f(n) を意味する。
(2) 次の条件 (*) をみたす、正整数 m をすべて求めよ。
(*) A の部分集合 B で、m 個の要素からなるものをとれば、
Σ_{k∈B} f(k) = 0 となるようにできる。
※ 余裕のある方は、一般の n の場合にも挑戦してみてください。
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/09 18:40]
- ｍ＝０，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３
，１４，１５，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２４。
- 252 名前：250 [04/02/09 18:49]
- >>251
正解。n = 24 の場合はそれほど難しくないですね。（幾何学的なイメージがあれば）
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/09 18:50]
- ｎが６の倍数のときは簡単。
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/11 18:58]
- 半径1の円4つを(※)を満たすようにして平面に書いた。
出来た図形の外周に囲まれた図形の面積の最大値を求めよ。
・どの円も他の二つと重なるようにし、また出来た図形の外周で囲まれた領域内に円ののっていない部分が存在しない・・・（※）
- 255 名前：１３２人目の素数さん [04/02/18 18:54]
- / / }
_/ノ.. /、
/ < }
ry､ ｛ｋ＿ _/`;, ﾉﾉ ﾊﾟﾝﾊﾟﾝ
/ / } ;' `i､
_/ノ../、 ＿/ 入/ / ｀ヽ, ﾉﾉ
/ r;ｧ }''i"￣. ￣r'_ノ"'ヽ.i ） ―☆
｛ｋ＿ _/,,.' ;. :. l､ ﾉ
＼ ｀ ､ ,i. .:, :, ' / / ＼
,;ゝr;,;_二∠r;,_ｪ=-ｰ'" r,_,/ ☆
【ラッキーレス】
このレスを見た人はコピペでもいいので
10分以内に3つのスレへ貼り付けてください。
そうすれば１４日後好きな人から告白されるわ宝くじは当たるわ
出世しまくるわ体の悪い所全部治るわでえらい事です
- 256 名前：フォイエルバッハの円 [04/02/24 00:51]
- ２３０の回答 まだ・・・？
もう 入試シーズンも 終わっちゃうよ！
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:01]
- >>230
＞ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
↑なにこれ？
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:06]
- >>230
しょーもな
- 259 名前：１３２人目の素数さん [04/02/24 01:10]
- ２５７や２５８には多分永遠に解けそうもないな。
というより、そもそも彼らが２ちゃんに投稿すること自体が
罪だったりして。
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:19]
- >>230
＞ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
これをm,nの間の距離と解釈して。
riをOiの半径として
r2sin56.8°-r1sin56.8°=6
にsin56.8°=cos33.2°=√((1+cos66.4°)/2)=√0.7とr1=350代入するだけだろ？
- 261 名前：フォイエルバッハの円 [04/02/24 01:22]
- ＞＞２６０
不正解！！
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:27]
- ああ、
r1sin56.8°-r2sin56.8°=6
か。
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:29]
- >>230
しょーもな
- 264 名前：１３２人目の素数さん [04/02/24 01:38]
- 全然 目の付け所が 違ってますね。
それじゃ 解けないのも当然。
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:39]
- >>264
じゃあもう解けないでいいや。
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:46]
- (r1-r2)sin23.4°+r1+6=r1じゃね？
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:46]
- 訂正
(r1-r2)sin23.4°+r2+6=r1じゃね？
- 268 名前：１３２人目の素数さん [04/02/24 01:52]
- 接線の長さを 円の半径であらわすことを考えられてはいかがでしょう。
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 01:54]
- >>267
じゃいかんの？
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 02:01]
- >>268
おおい。
- 271 名前：１３２人目の素数さん [04/02/24 02:23]
- どうしても ｒ１－ｒ２＝６としたいようですね。
それは 言えますか？
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 03:15]
- >>271
？？>>267をといたら
r1-r2=10になるけど？
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 03:21]
- (r1-r2)sin23.6°+r2+6=r1に訂正。
(r1-r2)(1-sin23.6°)=6
(r1-r2)(1-cos66.4°)=6
cos66.4°=0.4より
(r1-r2).6=6
r1-r2=10
だと思うが。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 03:24]
- というか明らかに他にでてる問題より一段ランクの低い問題はっといてどうして
こんなでかい態度がとれるんだろう？自分の出してる問題が他の問題より
レベルが低すぎてだれからもレスがもらえないことが理解できないんだろうか？
- 275 名前：１３２人目の素数さん [04/02/24 23:27]
- 出来なかった負け惜しみは聞く耳持ちません。
- 276 名前：１３２人目の素数さん [04/02/24 23:28]
- ２７３の解法は間違い。
ヒントを出されているのに この程度ですか？？？
おばかさんですね。
- 277 名前：１３２人目の素数さん [04/02/24 23:29]
- ばーか
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 23:48]
- てかさ。>>230は他の問題一問でもとけるのか？といてみたら自分の問題が
スレちがいの低レベルだってわかりそうなもんだと思うんだが。
釣りじゃなさそうだし。
- 279 名前：１３２人目の素数さん [04/02/26 10:12]
- www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p.pdf
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/1.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/2.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/3.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/4.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/5.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/6.htm
問題うpされたからage
- 280 名前：１３２人目の素数さん [04/02/26 10:15]
- 出題の特徴
手はつけ易いが計算が繁雑で時間がかかる問題が多い．
その他トピックス
例年，目新しい出題が見うけられるのだが，
今年は「どこかで見たことがある気がする」問題が並んでいる．
厳しい評価ですな。
- 281 名前：１３２人目の素数さん [04/02/26 11:55]
- >>280
まあ、そんな感じじゃない。
それにしてもまた π=3.14... にこだわった問題が出題されているなあ。
体積が 8 になる、というのは、πを 3 とみなしたときの2つの球の体積の和なのだろう。
シチュエーションがあまりにも人工的で、センスがいいとは思えないね。
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/26 13:06]
- っていうか・・・この解答書いた人、字が下手すぎｗ
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/26 14:04]
- 字が下手なのは間違ってた場合言い訳できるからだと思われ。
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/27 04:34]
- 東大の問題を3つほどやってみたけど、
どれも20分ほど格闘したあげくダルくなって放棄。（情けなや
京大の問題も3つほどやってみたんだが、
3つとも10～15分であっさり解けてしまった。
こんなに差があったっけ？
昔は京大の方がねちっこくてダルい印象があったんだけど。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/27 06:48]
- 今年の京大は異常
- 286 名前：１３２人目の素数さん [04/02/27 10:02]
- 去年も異常じゃ？w
ずっとこの方針でいくらしいよ。
- 287 名前：１３２人目の素数さん [04/02/27 10:20]
- >>282
ワセダ亨か？
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 02:10]
- 427
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/08 13:46]
- 円C1は(0,0)、C2は(5,0)、C3は(4,4)、C4は(1,5)を中心とする半径1の円である。
C1の内部・周上に点A、C2,C3,C4も同様に点B,C,Dをとる。
四角形ABCDの面積の最小値及び最大値を求めよ。
- 290 名前：１３２人目の素数さん [04/03/09 17:06]
- ﾍｰ(´ν_.｀ )ｿｳﾅﾝﾀﾞ
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 02:27]
- >>289
四角形の面積を4点の位置（動径の位置を回転角で表すと、それぞれとりうる値は0以上2π以下）に
関する4変数の連続関数とみなせば、最小値および最大値が存在することはよい。
そこで最小値（もしくは最大値）が実現されるとして成り立つべき関係を
式で表すと、2つの変数に関する連立方程式が立てられる。
そこまではよいのだが、この連立方程式が解けない…。Mathematica に解かせると、
Simplify できない、物凄く長い式になってしまった。
面白い問題と思うのだが、答えがちゃんと求まるような点を選んだほうがいいのでは…
それとも間違ってますか？
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 22:24]
- 東大の問題って
方針の概要は浮かびやすいんだけど
ゴツイ計算につまずいたり
明らかに正しそうなことを上手く表現できなかったりして
なかなか答えにたどりつかない。
- 293 名前：１３２人目の素数さん [04/03/15 18:45]
- www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p.pdf
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p/1.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p/2.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p/3.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/k02-22p.pdf
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/k02-22p/2.htm
www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/k02-22p/3.htm
問題がうｐられてたからage
コメントは両方とも「変わりなし」との事。
個人的には東大の方は問題がなんか汚い。
- 294 名前：１３２人目の素数さん [04/03/15 18:48]
- と思ったが京大の4番、三角関数の近似値求める問題じゃねぇか。
東大のパクリだ。パクリ。
- 295 名前：１３２人目の素数さん [04/03/15 20:25]
- パクりはウリナラ発祥ニダ
- 296 名前：１３２人目の素数さん [04/03/16 03:01]
- Ａからみて東に光速の９９％で遠ざかるＢがあり、
Ａからみて西に光速の９９％で遠ざかるＣがある。
では
（１）ＣからみてＢは東に光速の何％で動いて見えるか？
（２）ＡからみてＢとＣは光速の何％でお互いに離れて見えるか？
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/17 00:35]
- >>296
特殊相対論の問題。せめて速度の合成法則くらい書いておいてくれ。
- 298 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 06:51]
- (1) 99.99%
- 299 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 21:07]
- 光速よりも速い自然現象の例をあげてください。
- 300 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 21:27]
- >>299
名古屋国際の土佐
- 301 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 22:14]
- www.marathonguide.com/history/records/alltimelist.cfm?Gen=F&Sort=Time
- 302 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 23:54]
- physicsweb.org/article/news/6/1/13
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/18 23:56]
- >>299
うわさの伝達速度
- 304 名前：１３２人目の素数さん [04/03/19 20:07]
- >>302
光速の３倍、groupe velocityだよ。
- 305 名前：１３２人目の素数さん [04/03/21 10:57]
- (2)はだれもできないのか？
- 306 名前：１３２人目の素数さん [04/03/21 11:05]
- 2^20,996,011-1の次の素数はなに？
- 307 名前：１３２人目の素数さん [04/03/21 11:14]
- 306はパソコンをつかってよい。
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/22 12:41]
- >>306
2^38007203 -1
- 309 名前：１３２人目の素数さん [04/03/22 20:58]
- ほんとかあ～
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/22 21:45]
- >>306
模範解答ｷﾎﾞﾝ
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/22 21:57]
- 昔京大でEisensteinの判定法が出てたよね。とりあえず
漏れも一問出してみよう。
f(x)=f '(x)をみたす函数はCe^xしかないことを示せ。
早い人は一分以内に解けるけど。
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/22 23:40]
- ごく初歩的な微分方程式じゃないか…
>>311は逝ってよし！
- 313 名前：１３２人目の素数さん [04/03/22 23:47]
- >>311
え？俺わからん。
「それだけしかない」っていうにはどうすればいいん？
- 314 名前：311 mailto:sage [04/03/23 00:00]
- 312が分かってるのかどうか微妙だけど……
これ知ってるのと知らんのとでは大分微積の理解に
違いが出るだろうから簡単だけど出題しました。
f(x)/e^xを微分すると、0になるから、あとは簡単。
Π^2/6出してもいいんだけど、取り敢えず
「18人(1,2～18)で総当たり戦をしました。三すくみの組合せ
(a,b,c)は最大でいくつ出来ますか？」これ、制限時間15分程度
だったんだが、漏れは時間内に解けなかった。因みに見たこと
ある！なんてデリカシーのないことを言わないように。
- 315 名前：１３２人目の素数さん [04/03/23 00:03]
- >>314
いや、それはわかる。
微分して０になるから、ｆ(ｘ)/e^xが定数になる。ってことでしょ？
だから、「それしかない」の証明はどうなんの？
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/23 00:16]
- 多分伝わってない。
(f(x)/e^x)^2=e^(-2)A,
A=f'(x)exp x-f(x)exp x={f'(x)-f(x)}exp x.
これはf(x)が微分可能なら必ず成立するが、この場合
問題の条件からA=0。よってf(x)/exp x=Const.
（こっちの証明には平均値の定理を使う。）
三すくみ難しいよ。
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/23 00:16]
- 失礼、(f(x)/e^x)^2の2は’に変えてください。微分です。
- 318 名前：１３２人目の素数さん [04/03/23 07:26]
- >>306
大学生がパソコン使って見つけた世界最大の素数です。
つぎをみつけたらギネスにのります。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/23 07:34]
- それの次に大きい素数を見つけることは
それより大きい素数を見つけることより
遙かに難しいと思う
- 320 名前：１３２人目の素数さん [04/03/23 08:10]
- >>319
は？あたりまえじゃん。
- 321 名前：１３２人目の素数さん [04/03/23 22:22]
- 素数の分布からいってどのあたりに次の素数があるのですか？
- 322 名前：１３２人目の素数さん [04/03/24 15:18]
- 高二の春休みにガッコの数学課題をしていて面白い問題を見つけました。
数学IAIIBIIICの中でも最も基礎的な範囲である数学Ｉの二次関数。
基礎の基礎とは言え侮る無かれ、二次関数には、数学が得意な方でも二十分はかかってしまう場合分けがあります。
私も解いて見ましたが、二十分程かかってしまう問題でした。初心に戻ったつもりで、この問題を解いてみて下さい。
二次不等式 x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0…①, x^2+3x-4a^2+6a<0…②
について、次の各問いに答えよ。ただし、aは正の定数とする。
(1) ①,②を解け。
(2) ①,②を同時に満たすxが存在するのは, aがどんな範囲にあるときか。
(3) ①,②を同時に満たす整数xが存在しないのは, aがどんな範囲にあるときか。
- 323 名前：１３２人目の素数さん [04/03/24 15:25]
- >>322
なぜそんな問題が東大スレなんだ
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/24 15:28]
- >>323
簡単だろうけど、「時間のかかる問題」だから。
東大の人でも一瞬では解けないと思ったからかな
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/24 15:30]
- (1)a<x<a+3……① 2a<x<2a+3……②
(2)0<a<3
(3)a=2 ∨5/2≦a
あとは自分で解くこと。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/24 15:47]
- こんな問題に二十分もかかったら、灯台の入学試験じゃ
点数取れないよ。とくに昔の問題は。
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/24 15:50]
- （ａ，ａ＋３）。
（－２ａ，２ａ－３），（２ａ－３，－２ａ）。
（３，＋∞）。
（０，７／２）∪｛４｝。
- 328 名前：１３２人目の素数さん [04/03/24 15:54]
- >>322
こんなクソ問題 高校一年の教科書付属の問題集に載ってる。
だいいちこんなの２０分もかからん
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/24 16:00]
- >>327
（０，７／２］∪｛４｝。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/24 16:26]
- Π＜355/113を証明せよ。
- 331 名前：１３２人目の素数さん [04/03/25 02:05]
- >>330
前から疑問だったんだが、この手の問題って言うのは
何を知識として出発すれば良いんだ？
それこそ、円周率が円周/直径である事からスタートしなくてはいかんのかなぁ。
でも、だとすると、どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
示さないといけないだろうし、それを示すとなると、ほとんど厳密にやろうとしたら
範囲外になるだろうし、一体どの程度の知識で解く事が要求されているのか。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/25 02:20]
- そういう基準は受験生としての常識で判断するんだ。
東大は採点者が何を求めているのか察する要領の良さ、
空気読む能力を求めている。
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/25 06:04]
- > どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
> 示さないといけないだろうし、
これは相似だからで済ましてはいけないの？
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/25 13:14]
- 普通の受験生が厳密に証明しようとしても、厳密とは
程遠い読むに耐えない証明しかできないんだから、
（17世紀数学式に？）円周率の性質をうまく使って値を評価する
だけでいいんじゃないの？そもそも曲線の長さや面積の定義なんて
高校じゃ殆ど教えてないし、教えても誰も理解しないだろ。
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