- 848 名前：１３２人目の素数さん [04/11/08 06:44:15]
- >>847
Rを整閉整域Ｒ、SをRの積閉集合Ｓ、KをR、Rsの商体とする。
r∈Kとモニック多項式P(x)∈Rs[x]でP(r)=0であるものがとれたと仮定する。
するとa∈SをaP∈R[x]となるようにとれる。つまりPのすべての係数がa倍すると
Rの元になるようにa∈Sをとれる。(Pの係数の分母にあらわれるSの元の積をaと
すればよい。) degP=nとしてQ(x)=a^nP(x/a)とおくと容易にQ(x)はR係数のモニック多項式
になる。実際Qの最高次の係数は1であり、ソレ以外はすべてPの係数にaを1回以上かけた
ものになる。さらにQ(ar)=0である。よってRが整閉整域であるのでar∈Rである。
a∈Sゆえr∈Rs。以上によりRsは整閉整域。
