- 18 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [03/02/27 00:00]
- >>12
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａがＫ［Ｘ］で可約なら
ｂ∈Ｋ，ａ＝ｂ＾ｐとなるｂが存在することの証明。
（１）１の原始ｐ乗根がＫにないとき。
Ｋの代数閉包の元ｃ，ｄでａ＝ｃ＾（ｐ＾ｅ），ｄは原始ｐ＾ｅ乗根となるものをとる。
定数項を比較してｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕ∈Ｋとなるｕが存在することが分かる。
ｄ＾（ｐｕ）＝（ｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕ）＾ｐ／ａ∈Ｋからｄ＾（ｐｕ）＝１。
よってｂ＝ｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕとすればいい。
（２）１の原始ｐ乗根がＫにあるとき。
ｅがより小さいとき成り立つとする。
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａが二つのＸ＾ｐの定数でない多項式の積で表せるなら
Ｘ＾（ｐ＾（ｅ−１））−ａが可約になるので条件を満たすｂが存在する。
そうでないとき１の原始ｐ乗根の一つをｄとし
ｆ（Ｘ）を最高次の係数が１のＸ＾（ｐ＾ｅ）−ａの既約約元とすると
Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）はＸ＾ｐの定数でない多項式の積なので
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａ＝Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）。
