- 385 名前：１３２人目の素数さん [02/02/24 23:04]
- 高校・大学でやる難しい事知らんから他スレの話題に入れない、実は賢い人たちへ。
その力をここで見せてやってくれ。
１．(1)
1つの頂点に正n角形がm個集まってできる正多面体は多くとも5つしかないことを
証明せよ。
２．(1)
ある整数の約数をすべて足すと168、約数の逆数をすべて足すと2.8になる。
この整数はいくらか。
３．(1)
2^(n+1)+3^(2n-1)は7で割り切れることを証明せよ。ただし帰納法は用いないこと。
４．(3)
頂点が格子点となる正五角形は存在するか？ただし三角比は用いないこと。
（格子点：座標値が全て整数の点）
５．(3)
命題：空間内のn個の格子点間を結ぶ線分をすべて考える。このとき、これらの線分
の中点の少なくとも１つは格子点である。
この命題が常に真となるような自然数nの条件を求めよ。
６．(5)
(999999999999999999999999999999)^5 の各桁の数を全て足した数をa、
aの各桁の数を全て足した数をb、b各桁の数を全て足した数をcとする。cを求めよ。
７．(1)
2つの平方数の和で表される整数の集合をFとする。
a∈F,b∈F ⇒ a*b∈F を証明せよ。（a∈F ： aはFに含まれる）
８．(4)
次の関係を満足する有理数aを求めよ。ただし[x]はxを超えない最大の整数。
(4/3)*{(1/a)-[1/a]} = a , 0<a<1
９．(4)
1次以上の任意の整数係数多項式f(x)について、f(1),f(2),f(3), ... の中には
素数でないものが存在することを証明せよ。
１０．(6)
数列1,3,9,27,81,243,729,...から異なるいくつかの数をとって足してできる
数を小さい順に並べてできる数列1,3,4,9,10,12,13,...を考える。
この数列の100項目の数を求めよ。
「計算力よりアタマの良さを必要とする良問。中学から大学以上まで、幅広い層で
考えられるものばかり」らしい。某書より抜粋。一応()は点数。
ちなみに俺は1,2,3,7しか解けんかった…。
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