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代数的整数論 022

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/06(日) 09:59:53 ]
代数的整数論 022
Kummer ◆IxIr9aihfg（旧g2BU0D6YN2）が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/06(日) 10:00:26 ]
過去スレ
001: science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231/
002: science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/
003: science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
004: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
005: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
006: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/
007: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/
008: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
009: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
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011: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/
012: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/
013: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/
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015: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255385658/
016: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/
017: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1264907022/
018: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1268013108/
019: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1269467269/
020: kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1273981720/
021: kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1293105173/

3 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 10:17:18 ]
(X, Φ, μ) を測度空間(過去スレ007の317)とする。
Φ は集合環(過去スレ007の189)であるから
包含関係を順序とする一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
過去スレ021で束論の基礎について述べたのはそれを測度論に応用するためであった。
束論の基礎としてはまだ述べるべきことは多いがこれから（一般）Boole代数について
述べることにする。

4 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 10:42:06 ]
例
X を集合とする。
X の冪集合 P(X) のBoole代数としての性質を調べよう。
A ∈ P(X) の特性関数 χ_A は X から X から２元体 F = Z/2Z = {0, 1} への写像と見なされる。
よって、A と χ_A を同一視することにより、
P(X) は X から F への写像全体の集合 F^X と同一視される。
f, g ∈ F^X のとき f + g ∈ F^X および fg ∈ F^X を
(f + g)(x) = f(x) + g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x) により定義する。
この算法により F^X は単位元を持つ可換環となる。
A, B ∈ P(X) のとき F^X において
χ_A + χ_B = χ_(AΔB)、(χ_A)(χ_B) = χ_(A∩B) である。
ここで AΔB は A と B の対称差、即ち (A - B)∪(B - A) である。
よって、P(X) は AΔB を加法とし、A∩B を積とすることにより F^X と同型な可換環となる。
この環は任意の A ∈ P(X) に対して A^2 = A となる性質を持つ。

5 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 10:49:19 ]
定義
A を単位元を持つとは限らない環とする。
任意の a ∈ A に対して a^2 = a となるとき A を一般Boole環(generalized Boolean ring)と言う。

6 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 10:50:26 ]
定義
単位元を持つ一般Boole環(>>5)をBoole環(Boolean ring)と言う。

7 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 10:54:37 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
任意の a ∈ A に対して a + a = 0 である。

証明
a + a = (a + a)(a + a) = a^2 + a^2 + a^2 + a^2 = a + a + a + a
よって、a + a = 0
証明終

8 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 10:56:33 ]
命題
一般Boole環(>>5)は可換環である。

証明
a, b ∈ A に対して
a + b = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a + b + ab + ba
よって、ab + ba = 0
一方、>>5より、ab + ab = 0
よって、ab = ba
証明終

9 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 11:00:14 ]
>>7より一般Boole環は２元体 F_2 = Z/2Z = {0, 1} 上の線型空間となる。
簡単なことだがこの事実は重要である。

10 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 11:49:14 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
A の任意の部分環は一般Boole環である。

証明
自明である。



11 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 11:50:16 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
A の任意のイデアル I に対して A/I は一般Boole環である。

証明
自明である。

12 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 11:53:31 ]
命題
有限な一般Boole環(>>5)の元の個数は 2 の冪である。

証明
>>9より明らかである。

13 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 12:17:59 ]
例
X を集合とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
X から F への写像全体の集合を F^X と書く。
f、g ∈ F^X のとき f + g ∈ F^X と fg ∈ F^X を
各 x ∈ X に対して
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
で定義する。
このとき F^X はBoole環(>>6)である。

14 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 12:25:30 ]
定義
X を集合とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
f を X から F への写像とする。
X の部分集合 {x ∈ X；f(x) = 1} を f の台と言い S(f) と書く。
F^(X) = {f ∈ F^X； S(f) が有限集合} と書く。
F^(X) は F^X の（単位元をもつとは限らない）部分環である。
>>13より F^X はBoole環(>>6)であるから>>10より F^(X) は一般Boole環(>>5)である。

15 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 13:34:40 ]
命題
零因子を持たない一般Boole環で零環 0 でないものは２元体 {0, 1} に同型である。

証明
A ≠ 0 を零因子を持たない一般Boole環とする。
a ≠ 0 を A の任意の非零元とする。
b を A の任意の元とする。
a(b + ab) = ab + (a^2)b = ab + ab = 0
よって、b + ab = 0
よって、ab = -b = b
よって、a は A の単位元 1 である。
よって、A = {0, 1}
証明終

16 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 17:42:34 ]
定義
X をBoole代数(>>336)とする。
a, b ∈ X のとき a＼b = a∧b’と書く。
ここで b’は b の補元(過去スレ021の328)である。

17 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 17:47:33 ]
定義
X をBoole代数(>>336)とする。
a, b ∈ X のとき aΔb = (a＼b)∨(b＼a) と書き a と b の対称差(symmetric difference)と言う。
aΔb は a + b とも書く場合がある。

18 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 18:11:20 ]
命題
X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
X は対称差(>>17) Δ を加法とし、交わり∧を乗法とすることによりBoole環(>>6)となる。

証明
a, b, c ∈ X とする。

(aΔb)Δc = ((aΔb)∧c’)∨((aΔb)’∧c)
= (((a∧b’)∨(b∧a’))∧c’)∨(((a’∨b)∧(b’∨a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∨b)∧b’)∨((a’∨b)∧a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∧b’)∨(b∧a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∧b’∧c)∨(a∧b∧c)

この右辺は a, b, c に関して対象だから aΔ(bΔc) に等しい。

aΔb = bΔa

aΔ0 = (a∧1)∨(0∧a’) = a∨0 = a
よって 0 は加法の単位元である。
aΔa = 0 であるから加法にかんする a の逆元は a である。
以上から L はΔ を加法とするアーベル群である。

c∧(aΔb) = c∧((a∧b’)∨(b∧a’)) = (c∧a∧b’)∨(c∧b∧a’)
(c∧a)Δ(c∧b) = ((c∧a)∧(c’∨b’))∨((c’∨a’)∧(c∧b)) = (c∧a∧b’)∨(c∧b∧a’)
よって、c∧(aΔb) = (c∧a)Δ(c∧b)
即ち加法分配法則が成り立つ。

a∧b = b∧a
a∧1 = 1∧a
よって、X は 1 を単位元とする可換環である。
a∧a = a であるから X はBoole環である。
証明終

19 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 18:53:54 ]
>>16
>X をBoole代数(>>336)とする。

X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。

20 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 19:09:30 ]
命題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X とする。
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X がある（例えば c = a∨b）。
b’を b の区間 [0, c] における相対補元(過去スレ021の363)とする。
このとき a∧b’は c のとり方によらない。

証明
a ≦ d、b ≦ d とし b”を b の区間 [0, d] における相対補元とする。
a∧b’= a∧b”を示せばよい。
d を c∨d で置き換えることにより c ≦ d と仮定してよい。

b∧(c∧b”) = b∧b”= 0
b∨(c∧b”) = (b∨c)∧(b∨b”) = c∧d = c
よって、c∧b”は b の [0, c] における相対補元である。
分配束(過去スレ021の322)における相対補元の一意性(過去スレ021の324)より
c∧b”= b’である。
よって、a∧b’= a∧(c∧b”) = a∧b”
証明終



21 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 19:12:28 ]
定義
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X がある（例えば c = a∨b）。
b’を b の区間 [0, c] における相対補元(過去スレ021の363)とする。
>>20より a∧b’は c のとり方によらない。
このとき、a＼b = a∧b’と書く。

22 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 19:13:39 ]
定義
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき aΔb = (a＼b)∨(b＼a) と書き a と b の対称差(symmetric difference)と言う。
aΔb は a + b とも書く場合がある。

23 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 19:20:26 ]
命題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
X は対称差(>>22) Δ を加法とし、交わり∧を乗法とすることにより一般Boole環(>>5)となる。

証明
a, b, c ∈ X とする。
区間 [0, a∨b∨c] はBoole代数(過去スレ021の336)である。
よって>>18より本命題が得られる。
証明終

24 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 19:28:55 ]
命題
X を一般Boole環(>>5)とする。
a、b ∈ X、a = ab のとき a ≦ b と定義することにより X は順序集合となる。

証明
a、b、c ∈ X とする。

(1) a = aa より a ≦ a

(2) a ≦ b かつ b ≦ a なら a = ab かつ b = ba
>>8より X は可換環であるから a = b

(3) a ≦ b かつ b ≦ c なら a = ab かつ b = bc
よって、a = (ab)(bc) = abc = ac
よって、a ≦ c
証明終

25 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 19:52:18 ]
命題
X を一般Boole環(>>5)とする。
X は>>24で定義した順序により束(過去スレ021の156)になる。
a、b ∈ X のとき ab = a∧b、a + b + ab = a∨b である。

証明
a、b ∈ X とする。
ab = (ab)a であるから ab ≦ a
同様に ab ≦ b
c ≦ a、c ≦ b とする。
c = ca、c = cb である。
c = c^2 = (ca)(cb) = cab
よって、c ≦ ab
以上から ab = a∧b である。

次に a + b + ab = a∨b を証明しよう。

a(a + b + ab) = a + ab + ab = a
よって、a ≦ a + b + ab
同様に b ≦ a + b + ab

a ≦ c、b ≦ c とする。
a = ac、b = bc である。
(a + b + ab)c = ac + bc + abc = a + b + ab
よって、a + b + ab ≦ c
以上から a + b + ab = a∨b である。
証明終

26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/06(日) 21:35:40 ]
現在、誰でも自由に意見を書き込める掲示板がセットになったニュースサイトが欠かせなくなりました。既存マスメディアによる一方通行の情報に身を委ねていた方々へ。目からうろこが落ちる納得の毎日を約束します。

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27 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 21:58:32 ]
命題
X を一般Boole環(>>5)とする。
X は>>24で定義した順序により一般Boole代数(過去スレ021の373)になる。

証明
>>25より、X は>>24で定義した順序により束になる。
a、b ∈ X のとき ab = a∧b、a + b + ab = a∨b である。

分配律を証明しよう。
a∧(b∨c) = a(b + c + bc) = ab + ac + abc
(a∧b)∨(a∧c) = ab + ac + abc
よって、a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)

a∨(b∧c) = a∨bc= a + bc + abc
(a∨b)∧(a∨c) = (a + b + ab)(a + c + ac)
= a + ac + ac + ab + bc + abc + ab + abc + abc
= a + (ac + ac) + (ab + ab) + bc + (abc + abc + abc)
= a + bc + abc
よって、a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)

次に X が区分的相補束(過去スレ021の368)であることを証明する。

0 = 0a であるから 0 ≦ a
よって、0 は X の最小元である。

a ≦ b のとき a = ab
a∨(a + b) = a + a + b + a + ab = b + ab + ab = b
a∧(a + b) = a + ab = a + a = 0
よって、a + b は区間 [0, b] における a の相対補元(過去スレ021の363)

以上から X は一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
証明終

28 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 22:04:47 ]
命題
X をBoole環(>>6)とする。
X は>>24で定義した順序によりBoole代数(過去スレ021の336)になる。

証明
>>27より、X は一般Boole代数であるから X が最大元を持つことを証明すればよい。
任意の a ∈ X に対して a = a1 だから a ≦ 1 である。
よって、1 は X の最大元である。
証明終

29 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 22:14:42 ]
定義
X と Y を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
写像 f：X → Y は束としての準同型(過去スレ021の193)で f(0) = 0 となるとき
一般Boole代数としての準同型と言う。

30 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 22:15:55 ]
定義
X と Y をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
写像 f：X → Y は束としての準同型(過去スレ021の193)で f(0) = 0 かつ f(1) = 1 となるとき
Boole代数としての準同型と言う。



31 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 22:20:14 ]
命題
X と Y を一般Boole環(>>5)とする。
f：X → Y を環の準同型とする。
>>27より X と Y は一般Boole代数(過去スレ021の373)になる。
このとき f は一般Boole代数としての準同型(>>29)である。

証明
a、b ∈ X のとき ab = a∧b、a + b + ab = a∨b である。
よって、
f(a∧b) = f(ab) = f(a)f(b) = f(a)∧f(b)
f(a∨b) = f(a + b + ab) = f(a) + f(b) + f(a)f(b) = f(a)∨f(b)
よって、f は束としての準同型(過去スレ021の193)である。
f(0) = 0 であるから f は一般Boole代数としての準同型である。
証明終

32 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 22:25:07 ]
命題
X と Y をBoole環(>>6)とする。
f：X → Y を単位元を持つ環の準同型（即ち、環の準同型で単位元を単位元に写すもの）とする。
>>28より X と Y はBoole代数(過去スレ021の336)になる。
このとき f はBoole代数としての準同型(>>30)である。

証明
>>31より f は一般Boole代数としての準同型(>>29)である。
f(1) = 1 であるから f はBoole代数としての準同型である。
証明終

33 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 23:33:29 ]
命題
X と Y を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
f：X → Y を一般Boole代数の準同型(>>29)とする。
>>23より X と Y は一般Boole環(>>5)になる。
このとき f は一般Boole環としての準同型である。

証明
a, b ∈ X のとき a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X がある（例えば c = a∨b）。
b’を区間 [0, c] における b の相対補元(過去スレ021の363)とする。
b∧b’= 0、b∨b’= c である。
よって、f(a) ≦ f(c)、f(b) ≦ f(c)
f(b)∧f(b’) = f(0)、f(b)∨f(b’) = f(c) である。
よって、f(b’) は区間 [0, f(c)] における f(b) の相対補元である。
よって、f(a＼b) = f(a∧b’) = f(a)∧f(b’) = f(a)∧f(b)’= f(a)＼f(b)’
同様に f(b＼a) = f(b)＼f(a)’
よって、
f(aΔb) = f((a＼b)∨(b＼a)) = f(a＼b)∨f(b＼a) = (f(a)＼f(b)’)∨(f(b)＼f(a)’)
= f(a)Δf(b)

一方、f(a∧b) = f(a)∧f(b)
よって、f は一般Boole環としての準同型である。
証明終

34 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 23:38:22 ]
定義
X と Y をBoole環(>>6)とする。
f：X → Y を単位元を持つ環の準同型（即ち、環の準同型で単位元を単位元に写すもの）とする。
このとき f をBoole環としての準同型とい言う。

35 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/06(日) 23:39:42 ]
命題
X と Y をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
f：X → Y をBoole代数の準同型(>>29)とする。
>>18より X と Y はBoole環(>>6)になる。
このとき f はBoole環としての準同型(>>34)である。

証明
>>33と f(1) = 1 より明らかである。

36 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/07(月) 09:47:22 ]
補題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X、a ≦ b のとき aΔb = b＼a

証明
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X をとる。
区間 [0, c] における b の相対補元(過去スレ021の363)を b’とする。
a ≦ b より a∧b’≦ b∧b’= 0
よって、a＼b = a∧b’= 0
よって、aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = b＼a
証明終

37 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/07(月) 10:00:46 ]
補題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき a＼b = a＼(a∧b)

証明
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X をとる。
x ∈ [0, c] のとき区間 [0, c] における元 x の相対補元(過去スレ021の363)を x’とする。

a＼(a∧b) = a∧(a∧b)’= a∧(a’∨b’) = (a∧a’)∨(a∧b’) = 0∨(a∧b’) = a∧b’= a＼b
証明終

38 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/07(月) 10:07:15 ]
補題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X、a∧b = 0 のとき aΔb = a∨b
ここで、aΔb は a と b の対称差(>>22)である。

証明
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X をとる。
x ∈ [0, c] のとき区間 [0, c] における元 x の相対補元(過去スレ021の363)を x’とする。

>>37より、a＼b = a＼(a∧b) = a＼0 = a∧0’= a∧c = a
同様に b＼a = b
よって、aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = a∨b
証明終

39 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/07(月) 10:17:22 ]
>>36、>>37、>>38からわかるように一般Boole代数 X における演算は
ある集合 Ω 上の集合環(過去スレ007の189)における演算と良く似ている。
これは偶然でないことを後に示す。

40 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/07(月) 10:32:58 ]
補題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X、a ≦ b のとき (b＼a)∨a = b

証明
区間 [0, b] における a の相対補元(過去スレ021の363)を a’とする。

(b＼a)∨a = (b∧a’)∨a = (b∨a)∧(a’∨a) = b∧b = b
証明終



41 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/07(月) 10:38:09 ]
補題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき a∨b = (aΔb)Δ(a∧b)
ここで、aΔb は a と b の対称差(>>22)である。

証明
>>37より、
aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = (a＼(a∧b))∨(b＼(a∧b))

>>38と>>40より
(aΔb)Δ(a∧b) = (aΔb)∨(a∧b) = (a＼(a∧b))∨(b＼(a∧b))∨(a∧b) = a∨b
証明終

42 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg mailto:sage [2011/02/07(月) 10:42:31 ]
>>41は一般Boole代数の公理から計算すると面倒だがベン図（Venn diagram）を描いてみればすぐわかる。

43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/07(月) 11:15:35 ]
クンマーが書いてることって嘘ばっかだと思ってたけど
書き写しか何かなんだな

44 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 11:30:32 ]
命題
一般Boole環(>>5)全体の類(過去スレ017の323)GBoolRngは
環としての準同型を射とすることにより圏となる。
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とすれば
GBoolRngはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。

一般Boole代数(過去スレ021の373)全体の類GBoolAlgは
一般Boole代数としての準同型(>>29)を射とすることにより圏となる。
GBoolAlgはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。

>>27よりGBoolRngの対象は>>24で定義した順序によりGBoolAlgの対象となる。
>>31よりGBoolRngにおける射はGBoolAlgにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) F：GBoolRng → GBoolAlg が得られる。

>>23よりGBoolAlgの対象はGBoolRngの対象となる。
>>33よりGBoolAlgにおける射はGBoolRngにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) G：GBoolAlg → GBoolRng が得られる。

このとき GF = 1_GBoolRng、FG = 1_GBoolAlg である。
よって、GBoolRng と GBoolAlg は準具象圏として同型である。

証明
X ∈ GBoolRng とする。
>>27より a, b ∈ X のとき F(X) において a∨b = a + b + ab、a∧b = ab である。

(続く)

45 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 11:31:53 ]
>>44の続き

>>27の証明より b + (a∨b) = a + b + b + ab = a + ab は
区間 [0, a∨b] における b の相対補元である。
よって、a＼b = a∧b’= a(a + ab) = a + ab
同様に b＼a = b + ab
よって、
aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = (a + ab) + (b + ab) + (a + ab)(b + ab)
= a + b + ab + ab + ab + ab = a + b

一方、a∧b = ab
よって、GF(X) = X である。

逆に Y ∈ GBoolAlg とする。
>>23より、a, b ∈ Y のとき G(Y) において a + b = aΔb、ab = a∧b である。
よって、>>41より a + b + ab = (aΔb)Δ(a∧b) = a∨b
よって、FG(Y) = Y である。
証明終

46 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 12:15:49 ]
命題
Boole環(>>6)全体の類(過去スレ017の323)BoolRngは
単位元を持つ環の準同型（即ち、環の準同型で単位元を単位元に写すもの）準同型を
射とすることにより圏となる。
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とすれば
BoolRngはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。

Boole代数(過去スレ021の336)全体の類BoolAlgは
Boole代数としての準同型(>>30)を射とすることにより圏となる。
BoolAlgはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。

>>28よりBoolRngの対象は>>24で定義した順序によりBoolAlgの対象となる。
>>32よりBoolRngにおける射はBoolAlgにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) F：BoolRng → BoolAlg が得られる。

>>18よりBoolAlgの対象はBoolRngの対象となる。
>>35よりBoolAlgにおける射はBoolRngにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) G：BoolAlg → BoolRng が得られる。

このとき GF = 1_BoolRng、FG = 1_BoolAlg である。
よって、BoolRng と BoolAlg は準具象圏として同型である。

証明
>>44より明らかである。

47 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 12:17:28 ]
>>46より、Boole環とBoole代数は同じものと見なすことが出来る。
この事実はStoneにより1935年に始めて発表された
(Subsumption of Boolean algebra under the theory of rings, Proc. Nat. Acad. Sci. 21(1935))。
この命題は証明自体は簡単である。
しかし、BooleがBoole代数の概念を発表したのが1847年。
このあいだ90年近くこの事実に誰も気づかなかった、少なくとも誰も発表しなかったというのは面白い。
Stoneのこの発見によりBoole代数の理論は急速に発展することになる。

48 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 13:32:28 ]
A を単位元を持つ可換環とする。
Aの素イデアル全体の集合をSpec(A)と書いた(過去スレ001の81)。
a ∈ A に対して D(a) = {P ∈ Spec(A)； a ∈ A - P} と書く。
D(a) の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(過去スレ001の160)の開集合の基底である。
Spec(A) の冪集合はBoole代数(過去スレ021の336)であるから>>46よりBoole環と見なせる。
A がBoole環(>>6)のとき a → D(a) は A から Spec(A) の冪集合への
単射準同型となる。
これがStoneによるBoole代数の表現定理である。
これを一般Boole環(>>5)に拡張して証明しよう。

49 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 13:40:32 ]
定義
A を単位元をもつとは限らず可換とも限らない環とする。
A の元 a は ax = 0 となる A の元 x ≠ 0 があるとき左零因子と言う。
同様に、A の元 a は ya = 0 となる A の元 y ≠ 0 があるとき右零因子と言う。
A の元は左零因子かつ右零因子であるとき零因子と言う。

50 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 13:42:22 ]
定義
A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I ≠ A で A/I が零因子(>>49)をもたないとき I を A の素イデアルと言う。
即ち I ≠ A で ab ∈ I なら a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアルと言う。



51 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 13:44:25 ]
定義
A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I ≠ A で I を含む A のイデアルは I と A のみであるとき I を A の極大イデアルと言う。

52 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 13:52:13 ]
定義
A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
S を A の空でない部分集合とする。
S が次の条件(*)を満たすとき積閉であるという。

(*) a∈ S、b ∈ S なら ab ∈ S

53 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 14:51:02 ]
>>50の修正

定義
A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I ≠ A で A/I が０以外の零因子(>>49)をもたないとき I を A の素イデアルと言う。
即ち I ≠ A で ab ∈ I なら a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアルと言う。

54 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 15:25:31 ]
A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
M を A の極大イデアル(>>51)とする。
このとき M は A の素イデアル(>>53)とは限らない。

例
A を素数位数のアーベル群とする。
a, b ∈ A のとき ab = 0 と乗法を定義すれば A は可換環になる。
A のイデアルは 0 と A だけであるから 0 は A の極大イデアルである。
しかし、0 は A の素イデアルではない。

55 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 15:39:31 ]
定義
A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
Z を有理整数環とする。
B = Z×A を集合としての直積とする。

B に次の算法を定義する。
(n, x) + (m, y) = (n + m, x + y)
(n, x)(m, y) = (nm, ny + mx + xy)

このとき B は (1, 0) を単位元とする可換環である。
{0}×A は B のイデアルであり、x → (0, x) により A は {0}×A と同型になる。
A と {0}×A を同一視して B を 単位元の添加により A から得られる環と言う。

56 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 15:45:01 ]
A を一般Boole環(>>5)とする。
>>55の B はBoole環にはならない。
よって、>>55を次のように拡張する。

57 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 15:47:36 ]
定義
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B = K×A を集合としての直積とする。

B に次の算法を定義する。
(α, x) + (β, y) = (α + β, x + y)
(α, x)(β, y) = (αβ, αy + βx + xy)

このとき B は (1, 0) を単位元とする K 上の可換代数である。
{0}×A は B の K-イデアルであり、x → (0, x) により A は {0}×A と同型になる。
A と {0}×A を同一視して B を 単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数と言う。

58 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 15:52:07 ]
A を一般Boole環(>>5)とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
>>9より A は F 上の可換代数と見なせる。
このとき B を単位元の添加により A から得られる F 上の可換代数（>>57）とすれば
B はBoole環(>>6)である。

59 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 16:42:41 ]
K を単位元をもつ可換環とする。
K-CommAlg を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数全体の類(過去スレ017の323)のなす圏とする。
K-UCommAlg を単位元をもつ K 上の可換代数全体の類(過去スレ017の323)のなす圏とする。
K-UCommAlg の射は単位元を単位元に写す K-準同型とする。
K-UCommAlg は K-CommAlg の充満ではない部分圏である。

A ∈ K-CommAlg に対して B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数(>>57)とする。
このとき B は A の (K-UCommAlg)-反射(過去スレ018の135)である。
これを確かめるのは読者に任す。

60 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 17:06:49 ]
規約
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
A のイデアルとは特に断らないかぎり A の環としてのイデアルで K-部分加群となっているものを言う。



61 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 17:10:31 ]
定義
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A のイデアルとする。
A の元 u は A の任意の元 x に対して xu ≡ x (mod I) となるとき
A の I を法とする単位元、または A の mod I の単位元と言う。

62 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 17:13:44 ]
定義
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A のイデアル(>>60)とする。
A の I を法とする単位元（>>61）が存在するとき I を正則イデアルと言う。

63 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 20:30:25 ]
命題
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
J を A に含まれない B のイデアルとする。
I = A ∩ J とおく。
このとき A の mod I の単位元(>>62) u があり J = K(u - 1) + I となる。

証明
J は A に含まれないから α + a ∈ J となる 0 ≠ α ∈ K と a ∈ A がある。
1 + (1/α)a = (1/α)(α + a) より、1 + (1/α)a ∈ J である。
u = -(1/α)a とおけば u ∈ A で u - 1 ∈ J

y を J の任意の元とする。
y = β + x、β ∈ K、x ∈ A と書ける。
y = β + x = -β(u - 1) + (x + βu)

x + βu = y + β(u - 1) ∈ A ∩ J = I
よって、J ⊂ K(u - 1) + I
逆の包含関係は明らかであるから J = K(u - 1) + I である。

任意の x ∈ A に対して xu - x = x(u - 1) ∈ J ∩ A = I
よって、 u は A の mod I の単位元である。
証明終

64 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 21:13:23 ]
命題
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
I を A の正則イデアル(>>62)とし、u を A の mod I の単位元(>>61)とする。
J = K(u - 1) + I とおく。
このとき J は A に含まれない B のイデアルで I = A ∩ J となる。

証明
A(u - 1) ⊂ I より、AJ ⊂ A(u - 1) + AI ⊂ I
J は B の K-部分加群だから J は B のイデアル(>>60)である。
u - 1 ∈ J だから J は A に含まれない。
y = α(u - 1) + x、α ∈ K、x ∈ I を A ∩ J の元とする。
α ≠ 0 とすると u - 1 = (1/α)(y - x) ∈ A となって矛盾。
よって、α = 0 となり y ∈ I である。
よって、A ∩ J ⊂ I である。
逆の包含関係は明らかであるから I = A ∩ J である。
証明終

65 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 21:35:14 ]
命題
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A の正則イデアル(>>62)とする。
J ⊃ I を A のイデアルとする。
このとき J は正則イデアルである。

証明
u を A の mod I の単位元(>>62)とする。
u は A の mod J の単位元である。
よって J は正則イデアルである。
証明終

66 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/07(月) 21:37:08 ]
命題
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I ≠ A を A の正則イデアル(>>62)とする。
このとき A の正則な極大イデアル M で I を含むものが存在する。

証明
Zornの補題より I を含む極大イデアル M が存在する。
>>65より M は正則である。
証明終

67 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 05:26:45 ]
命題
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元を持つ K 上の可換代数とする。
A が 0 と A 以外のイデアルを持たないなら A は体である。

証明
x ≠ 0 を A の任意の非零元とする。
xA は A の K-部分加群であるから A のイデアルである。
xA は x = x1 を含むから 0 ではない。
よって、xA = A である。
よって xy = 1 となる y ∈ A がある。
よって A は体である。
証明終

68 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 05:30:12 ]
命題
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A のイデアル(>>60)とする。
このとき I が正則(>>62)な極大イデアルであるためには A/I が体であることが必要十分である。

証明
必要性：
I が正則な極大イデアルであるとする。
A/I ≠ 0 は単位元を持つ可換環であり 0 と A/I 以外のイデアルを持たない。
よって、>>67より A/I は体である。

十分性：
自明である。
証明終

69 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 06:06:01 ]
命題
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
I^*(B) を A に含まれない B のイデアル全体とする。
I^*(A) を A の正則イデアル(>>62)全体とする。
>>63より J ∈ I^*(B) のとき A ∩ J ∈ I^*(A) である。
このとき J ∈ I^*(B) に A ∩ J ∈ I^*(A) を対応させる写像
ψ：I^*(B) → I^*(A) は全単射である。

証明
>>64より ψ は全射である。
J、J’∈ I^*(B)、A ∩ J = A ∩ J’= I とする。
>>63より、A の mod I の単位元(>>62) u、v があり
J = K(u - 1) + I、J’= K(v - 1) + I となる。
A/I の単位元は一意であるから u - v ∈ I である。
よって、u = v + a となる a ∈ I がある。
u - 1 = v - 1 + a
よって、J = K(u - 1) + I = K(v - 1) + Ka + I = K(v - 1) + I = J’
よって、ψ は単射である。
証明終

70 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 06:21:16 ]
命題
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
M^*(B) を A と異なる B の極大イデアル全体とする。
M^*(A) を A の正則(>>62)な極大イデアル全体とする。
このとき J ∈ M^*(B) に A ∩ J を対応させることにより
全単射 φ：M^*(B) → M^*(A) が得られる。

証明
A の正則イデアル(>>62)全体を I^*(A) とする。
>>69より、J ∈ M^*(B) のとき A ∩ J は I^*(A) の極大元である。
>>65より A ∩ J ∈ M^*(A) である。
よって、>>69より φ：M^*(B) → M^*(A) は全単射である。
証明終



71 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 07:49:14 ]
命題
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
B のすべての極大イデアルの共通集合を B の Jacobson根基といい、
rad(B) と書いた(過去スレ001の238)。
このとき rad(B) ⊂ A であり rad(B) は
A の正則(>>62)な極大イデアル全体の共通集合と一致する。

証明
M^*(B) を A と異なる B の極大イデアル全体とする。
M^*(A) を A の正則な極大イデアル全体とする。
>>70より、∩M^*(A) = ∩{A ∩ J； J ∈ M^*(B)}
A は B の極大イデアルであるから、この右辺は rad(B) である。
証明終

72 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 07:53:44 ]
定義
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
A の正則(>>62)な極大イデアル全体の共通集合を A の根基といい rad(A) と書く。

73 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 15:57:24 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
A が 0 と A 以外のイデアルを持たないとする。
このとき A = 0 または A = {0, 1} である。

証明
A ≠ 0 とする。
a ≠ 0 を A の元とする。
a = a^2 ∈ aA
よって aA は 0 でないイデアルである。
よって aA = A である。
{x；ax = 0} は A のイデアルであるが aA = A より A では有り得ない。
よって、{x；ax = 0} = {0} である。
よって、a は零因子ではない。
よって、>>15より A = {0, 1} である。
証明終

74 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 16:05:15 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
A の任意の極大イデアル P に対して A/P は２元体 {0, 1} である。
よって、P は正則(>>62)である。

証明
>>73より明らかである。

75 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 16:19:28 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
P を A のイデアルとする。
このとき、以下の条件は同値である。

(1) P は素イデアルである。

(2) P は正則素イデアルである。

(3) P は極大イデアルである。

(4) P は正則極大イデアルである。

証明
(1) ⇒ (2)
>>11と>>15より明らかである。

(2) ⇒ (3)
>>11と>>15より明らかである。

(3) ⇒ (4)
>>74で証明済み。

(4) ⇒ (1)
>>74より明らかである。
証明終

76 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 17:12:28 ]
定義
A を一般Boole環(>>5)とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
準同型 f：A → F で f = 0 でないものを A の指標という。

77 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 17:19:20 ]
定義
A を一般Boole環(>>5)とする。
A の指標(>>76)の全体を X(A) と書く。

78 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 17:22:43 ]
定義
A を一般Boole環(>>5)とする。
A の素イデアル(>>53)全体の集合を Spec(A) と書く。
Spec はスペクトル(spectrum)を意味する。

79 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 17:35:39 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
f ∈ X(A)（>>77）に Ker(f) を対応させることにより
X(A) から Spec(A)（>>78）への全単射が得られる。

証明
F を２元体 {0, 1} とする。
f ∈ X(A) のとき f ≠ 0 であるから f(A) = F である。
よって、A/Ker(f) は F と同型である。
よって、Ker(f) ∈ Spec(A) である。
P = Ker(f) のとき {x ∈ A；f(x) = 1} = A - P であるから f は P で一意に決まる。
よって、写像 f → Ker(f) は単射である。

逆に P ∈ Spec(A) のとき>>75より A/P は F に同型である。
よって、f ∈ X(A) で Ker(f) = P となるものがある。
よって、写像 f → Ker(f) は全射である。
証明終

80 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 18:16:08 ]
補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
a を A の任意の元とする。
aA は a を含む最小のイデアルである。

証明
aA は A のイデアルである。
a = a^2 ∈ aA
I を A のイデアルで a ∈ I とすると aA ⊂ I である。
よって、aA は a を含む最小のイデアルである。
証明終



81 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 18:24:31 ]
>>80は単位元を持たない可換環では必ずしも成り立たない。

例
Z を有理整数環とし、A = 2Z とおく。
A は単位元を持たない可換環である。
2A = 4Z であるから 2 は 2A に含まれない。

82 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 18:27:07 ]
補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
S を A の積閉(>>52)な部分集合とする。
I を A のイデアルで S ∩ I = φ とする。
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
P を Ψ の極大元とする。
このとき P は素イデアルである。

証明
S ∩ P = φ で S は空でないから P ≠ A である。
a と b を P に含まれない A の元とする。
>>80より P ≠ P + aA である。
同様に P ≠ P + bA である。
よって、S ∩ (P + aA) ≠ φ、S ∩ (P + bA) ≠ φ である。
S は積閉だから S ∩ (P + aA)(P + bA) ≠ φ である。
一方、(P + aA)(P + bA) ⊂ P + abA だから S ∩ (P + abA) ≠ φ である。
よって、ab は P に含まれない。
よって、P は素イデアルである。
証明終

83 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 18:29:28 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
S を A の積閉(>>52)な部分集合とする。
I を A のイデアルで S ∩ I = φ とする。
このとき I を含む A の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。

証明
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
I ∈ Ψ だから Ψ は空でない。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係に関して全順序集合になっているものとする。
L = ∪{J； J ∈ Φ} は A のイデアルで I ⊂ L である。
S ∩ L ≠ φ とすると S ∩ J ≠ φ となる J ∈ Φ があることになって矛盾である。
よって、L ∈ Φ である。
よって、Φ は帰納的な順序集合であるからZornの補題より Φ は極大元 P を持つ。
>>82より P は素イデアルである。
証明終

84 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 18:49:41 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
I を A のイデアルで、a ∈ A - I とする。
このとき f ∈ X(A)（>>77）で f(a) = 1 となるものがある。

証明
S = {a} とおく。
a^2 = a だから S は積閉(>>52)である。
>>83より I を含む A の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。
>>79より f ∈ X(A) で Ker(f) = P となるものがある。
a は P に含まれないから f(a) = 1 である。
証明終

85 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 18:52:31 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
a ≠ 0 を A の任意の非零元とする。
このとき f ∈ X(A)（>>77）で f(a) = 1 となるものがある。

証明
>>84において I = 0 とすればよい。

86 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 18:56:28 ]
>>85はHahn-Banachの定理(過去スレ006の755)に似ていることに注意。
Hahn-Banachの定理がBanach空間の理論で重要なことと同様に
>>85はBoole代数の理論において重要である。

87 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 19:44:15 ]
補題
A をBoole環(>>6)とする。
任意の χ ∈ X(A)（>>77）に対して χ(1) = 1 である。

証明
任意の χ ∈ X(A) に対して χ(a) = 1 となる a ∈ A がある。
χ(a) = χ(a1) = χ(a)χ(1) = 1
よって、χ(1) = 1
証明終

88 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/08(火) 19:46:13 ]
命題(Stoneの表現定理)
A を一般Boole環(>>5)とする。
P(X(A)) を X(A)（>>77）の冪集合とする。
P(X(A)) はBoole代数(過去スレ021の336)であるから>>46よりBoole環と見なせる。
a を A の任意の元とする。
f(a) = {χ ∈ X(A)；χ(a) = 1} とおく。
このとき f：A → P(X(A)) は環の単射準同型である。
A がBoole環(>>6)のとき f(1) = X(A) である。

証明
a、b ∈ A のとき、
f(a + b) = {χ ∈ X(A)； χ(a + b) = 1} = {χ ∈ X(A)； χ(a) + χ(b) = 1}
= {χ ∈ X(A)； {χ(a), χ(b)} = {0, 1}} = f(a)Δf(b)
f(ab) = {χ ∈ X(A)； χ(ab) = 1} = {χ ∈ X(A)； χ(a)χ(b) = 1}
= {χ ∈ X(A)； χ(a) = 1、χ(b) = 1} = f(a)∩f(b)
よって、f は環準同型である。

f(a) = φ とする。
>>85より a = 0 である。
よって、f は単射である。

A がBoole環(>>6)であるとする。
>>87より f(1) = X(A) である。
証明終

89 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/08(火) 21:12:08 ]
うるさい

90 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 05:30:35 ]
定義
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
F は一般Boole環(>>5)であるから>>44よりBoole代数(過去スレ021の336)と見なせる。
一般Boole代数としての準同型(>>29) f：A → F で f = 0 でないものを A の指標という。
A の指標の全体を X(A) と書く。



91 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 05:56:27 ]
[Stoneの表現定理(>>88)の系１]
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(X(A)) を X(A)（>>90）の冪集合とする。
P(X(A)) を X の冪集合とする。
P(X(A)) はBoole代数(過去スレ021の336)である。
a を A の任意の元とする。
f(a) = {χ ∈ X(A)；χ(a) = 1} とおく。
このとき f：A → P(X(A)) は一般Boole代数の単射準同型(>>29)である。
A がBoole代数(過去スレ021の336)のとき f(1) = X(A) である。

証明
>>44より明らかである。

92 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 06:02:33 ]
[>>91の系]
一般Boole代数(過去スレ021の373)は、ある集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)と同型である。
Boole代数(過去スレ021の336)は、ある集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)と同型である。

93 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 06:11:54 ]
[Stoneの表現定理(>>88)の系２]
A を一般Boole環(>>5)とする。
X = Spec(A)（>>78）とおく。
P(X) を X の冪集合とする。
P(X) はBoole代数(過去スレ021の336)であるから>>46よりBoole環と見なせる。
a を A の任意の元とする。
f(a) = {P ∈ X；a ∈ X - P} とおく。
このとき f：A → P(X) は環の単射準同型である。
A がBoole環(>>6)のとき f(1) = X である。

証明
>>79より明らかである。

94 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/09(水) 08:02:10 ]
うるさい

95 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 08:29:58 ]
定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の139)とする。
I ≠ X で I を含む X のイデアルは I と X のみであるとき I を X の極大イデアルと言う。

96 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 08:32:06 ]
定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
F を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F ≠ X で F を含む X のフィルターは F と X のみであるとき F を X の極大フィルターと言う。

97 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 09:06:32 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
F を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F ≠ X で a∨b ∈ F ⇒ a ∈ F または b ∈ F となるとき F を素フィルター(prime filter)と言う。

98 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 09:41:48 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の139)とする。
I ≠ X で a∧b ∈ I ⇒ a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアル(prime ideal)と言う。

99 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 09:47:00 ]
>>95の修正

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I ≠ X で I を含む X のイデアルは I と X のみであるとき I を X の極大イデアルと言う。

100 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 09:48:38 ]
>>98の修正

定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I ≠ X で a∧b ∈ I ⇒ a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアル(prime ideal)と言う。



101 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 09:54:42 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X の部分集合とする。
I がイデアル(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) I は空でない。

(2) a ∈ I、b ≦ a ⇒ b ∈ I

(3) a、b ∈ I ⇒ a∨b ∈ I

証明
自明である。

102 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 09:56:59 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
F を X の部分集合とする。
F がフィルター(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) F は空でない。

(2) a ∈ F、a ≦ b ⇒ b ∈ F

(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F

証明
自明である。

103 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 10:04:09 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X の部分集合とする。
I がイデアル(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) I は空でない。

(2) a ∈ I、b ∈ X ⇒ a∧b ∈ I

(3) a、b ∈ I ⇒ a∨b ∈ I

証明
自明である。

104 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 10:07:10 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
F を X の部分集合とする。
F がフィルター(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) F は空でない。

(2) a ∈ F、b ∈ X ⇒ a∨b ∈ F

(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F

証明
自明である。

105 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 10:43:45 ]
例
X を集合とする。
P(X) を X の冪集合とする。
P(X) のフィルター(過去スレ021の527) F で P(X) と異なるものは、
過去スレ006の75で定義したフィルターと同じものである。

106 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 11:06:01 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
このとき、
I が素イデアル(>>100) ⇔ X - I が素フィルター(>>97)

証明
F = X - I とおく。

I が素イデアルであるとする。
最初に F が>>102の条件を満たすことを証明する。

(1) I ≠ φ であるから F ≠ X である。

(2) I は下集合(過去スレ021の516)であるから過去スレ021の518より
F は上集合(過去スレ021の517)である。

(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F は I が素イデアルであることから明らかである。

以上から F はフィルターである。

a、b ∈ F、a∨b ∈ F とする。
>>103より a、b ∈ P なら a∨b ∈ P である。
よって、a ∈ F または b ∈ F でなければならない。
よって、F は素フィルターである。

双対的に F が素フィルターなら I は素イデアルである。
証明終

107 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 11:44:37 ]
命題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より X は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。
I を X の部分集合とする。
I が順序集合としての X のイデアル(過去スレ021の527)であるためには
I が環としての X のイデアルであることが必要十分である。

証明
必要性：
I が順序集合としての X のイデアルであるとする。
>>103より、a、b ∈ I なら a∨b ∈ I である。
a + b ≦ a∨b であるから a + b ∈ I である。
よって、>>103の(2)より I は環としての X のイデアルである。

十分性：
I が環としての X のイデアルであるとする。
a、b ∈ I なら a∨b = a + b + ab ∈ I である。
a ∈ I、c ∈ X なら a∧c = ac ∈ I である。
よって、>>103より、I は順序集合としての X のイデアルである。
証明終

108 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 15:47:04 ]
定義
X、Y を束とする。
f：X → Y を束の準同型とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) = {x ∈ X； f(x) = 0} と書き、f の核(kernel)と呼ぶ。

109 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 15:58:08 ]
命題
X、Y を束とする。
f：X → Y を束の準同型とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) (>>108) は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。

証明
Ker(f) が>>103の条件を満たすことを示せばよい。

(1) 仮定より、Ker(f) は空でない。

(2) a ∈ Ker(f)、b ∈ X なら f(a∧b) = f(a)∧f(b) = 0∧f(b) = 0
よって、a∧b ∈ Ker(f)

(3) a、b ∈ Ker(f) なら f(a∨b) = f(a)∨f(b) = 0∨0 = 0
よって、a∨b ∈ Ker(f)
証明終

110 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 16:13:32 ]
命題
X を束とする。
F_2 = {0, 1} を２個の元からなるBoole代数(過去スレ021の336)とする。
f：X → F_2 を束の準同型(過去スレ021の193)とする。
f が全射であれば Ker(f) (>>108) は X の素イデアル(>>100)である。

証明
f は全射であるから Ker(f) は空でない。
よって、>>109より Ker(f) はイデアル(過去スレ021の527)である。

f は全射であるから Ker(f) ≠ X である。

a∧b ∈ Ker(f) なら f(a∧b) = f(a)∧f(b) = 0
よって f(a) = 0 または f(b) = 0 である。
よって a ∈ Ker(f) または b ∈ Ker(f) である。
よって Ker(f) は素イデアルである。
証明終



111 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 19:17:20 ]
命題
X を束とする。
P を X の素イデアル(>>100)とする。
F_2 = {0, 1} を２個の元からなるBoole代数(過去スレ021の336)とする。
このとき束の全射準同型(過去スレ021の193) f：X → F_2 があり、
P = Ker(f) (>>108) となる。

証明
写像 f：X → F_2 を x ∈ P のとき f(x) = 0、x ∈ X - P のとき f(x) = 1 と定義する。
f(x∧y) = 0 ⇔ x∧y ∈ P ⇔ x ∈ P または y ∈ P ⇔ f(x)∧f(y) = 0

F = X - P とおく。
>>106より F は素フィルタ－(>>97)だから
f(x∨y) = 1 ⇔ x∨y ∈ F ⇔ x ∈ F または y ∈ F ⇔ f(x)∨f(y) = 1

以上から f は束の全射準同型である。
証明終

112 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 19:51:53 ]
命題
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
S を X の上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
このとき↓S(過去スレ021の519)は S を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)である。

証明
S は有向部分集合であるから空ではない。
過去スレ021の520より↓S = {x ∈ X； x ≦ s となる s ∈ S がある} である。
過去スレ021の530より↓S はイデアルである。
明らかに S ⊂↓S である。
S を含むイデアルは↓S を含む。
よって、↓S は S を含む最小のイデアルである。
証明終

113 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 22:05:28 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
S = {a_1∨．．．∨a_n； a_1、．．．、a_n は A の元の任意の有限列} とおく。
このとき↓S(過去スレ021の519)は A を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)である。

証明
>>112より明らかである。

114 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 22:14:53 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I ∩ J は X のイデアルである。

証明
x ∈ I、y ∈ J のとき x∧y ∈ I ∩ J である。
よって、I ∩ J は空でない。
よって、I ∩ J は X のイデアルである。
証明終

115 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/09(水) 22:20:45 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I∨J = {x ∈ X； x ≦ a∨b となる a ∈ I、b ∈ J がある} とおく。
I∨J は I と J を含む最小のイデアルである。

証明
>>112より明らかである。

116 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 06:16:41 ]
補題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
a、b ∈ X のとき、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
ここで ↓a = {x ∈ X； x ≦ a} であり(過去スレ021の521)、
I∨↓a は I と ↓a を含む最小のイデアルである(>>115)。

証明
>>115より、
I∨↓a = {z ∈ X；z ≦ x∨a、x ∈ I}
I∨↓b = {z ∈ X；z ≦ x∨b、x ∈ I}

よって、任意の z ∈ (I∨↓a)∩(I∨↓b) に対して
z ≦ x∨a、z ≦ y∨b となる x、y ∈ I がある。
よって、z ≦ (x∨a)∧(y∨b)

一方、分配律より
(x∨a)∧(y∨b) = ((x∨a)∧y)∨((x∨a)∧b) = (x∧y)∨(a∧y)∨(x∧b)∨(a∧b) ∈ I∨↓(a∧b)

よって、z ∈ I∨↓(a∧b)
即ち、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
証明終

117 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 06:29:30 ]
命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の極大イデアル(>>99)とする。
このとき I は素イデアル(>>100)である。

証明
a と b を X の元で a ∈ X - I、b ∈ X - I とする。
>>116より、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
一方、I は極大イデアルだから
X = I∨↓a、X = I∨↓b
よって、X = I∨↓(a∧b)
よって、a∧b ∈ X - I である。
証明終

118 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 06:57:50 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
Φ を X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
∩Φ は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。

証明
∩Φ は下集合(過去スレ021の516)である。
x、y ∈ ∩Φ のとき各 I ∈ Φ に対して x∨y ∈ I である。
よって、x∨y ∈ ∩Φ である。
よって、>>103より ∩Φ はイデアルである。
証明終

119 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 07:09:30 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
このとき A を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)が存在する。

証明
Φ を A を含む X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
X ∈ Φ だから Φ は空ではない。
>>118より ∩Φ は X のイデアルである。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終

120 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 07:23:47 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>119より A を含む最小のイデアル I が存在する。
I を A で生成されるイデアルと言い、I = (A] と書く。



121 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 07:25:55 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>119の双対より A を含む最小のフィルター(過去スレ021の527) F が存在する。
F を A で生成されるフィルターと言い、F = [A) と書く。

122 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 08:22:46 ]
命題
X と Y を上半束(過去スレ021の115)とする。
ｆ:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
f が単射であれば f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
過去スレ021の147より f は順序を保存する。

x、y ∈ X、f(x) ≦ f(y) とする。
f(x∨y) = f(x)∨f(y) = f(y)
f は単射だから x∨y = y
よって、x ≦ y
よって、f は順序埋め込みである。
証明終

123 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 08:38:15 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I を X の部分集合とする。
I がイデアル(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) I は空でない。

(2) a ∈ I、b ≦ a ⇒ b ∈ I

(3) a、b ∈ I ⇒ a∨b ∈ I

証明
自明である。

124 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 08:40:44 ]
命題
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
F を X の部分集合とする。
F がフィルター(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) F は空でない。

(2) a ∈ F、a ≦ b ⇒ b ∈ F

(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F

証明
自明である。

125 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 08:47:34 ]
定義
X と Y を上半束(過去スレ021の115)とする。
f:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) = {x ∈ X； f(x) = 0} と書き、f の核(kernel)と呼ぶ。

126 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 08:52:34 ]
命題
X と Y を上半束(過去スレ021の115)とする。
f:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) (>>125) は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。

証明
Ker(f) が>>123の条件を満たすことを示せばよい。

(1) 仮定より、Ker(f) は空でない。

(2) x ∈ Ker(f)、y ≦ x なら過去スレ021の147より f(y) ≦ f(x) = 0
よって、y ∈ Ker(f)

(3) x、y ∈ Ker(f) なら f(x∨y) = f(x)∨f(y) = 0∨0 = 0
よって、x∨y ∈ Ker(f)
証明終

127 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 08:55:04 ]
命題
X と Y を下半束(過去スレ021の116)とする。
f:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
Y が最大元 1 を持つとき f^(-1) は空でなければ X のフィルター(過去スレ021の527)である。

証明
>>126の双対である。

128 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 11:59:52 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
Φ を X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
∩Φ は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。

証明
∩Φ は下集合(過去スレ021の516)である。
>>123より、x、y ∈ ∩Φ のとき各 I ∈ Φ に対して x∨y ∈ I である。
よって、x∨y ∈ ∩Φ である。
よって、>>123より ∩Φ はイデアルである。
証明終

129 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 12:05:28 ]
命題
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
Φ を X のフィルター(過去スレ021の527)からなる集合とする。
∩Φ は空でなければ X のフィルターである。

証明
>>128の双対である。

130 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 12:09:10 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
このとき A を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)が存在する。

証明
Φ を A を含む X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
X ∈ Φ だから Φ は空ではない。
A ⊂ ∩Φ だから ∩Φ は空でない。
よって、>>128より ∩Φ は X のイデアルである。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終



131 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 12:11:25 ]
命題
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
このとき A を含む最小のフィルター(過去スレ021の527)が存在する。

証明
>>130の双対である。

132 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 14:39:15 ]
定義
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>130より A を含む最小のイデアル I が存在する。
I を A で生成されるイデアルと言い、I = (A] と書く。

133 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 14:42:45 ]
定義
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>131より A を含む最小のフィルター(過去スレ021の527) F が存在する。
F を A で生成されるフィルターと言い、I = [A) と書く。

134 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 15:02:42 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
S = {a_1∨．．．∨a_n； a_1、．．．、a_n は A の元の任意の有限列} とおく。
このとき (A] (>>132) は ↓S(過去スレ021の519)である。
即ち、(A] = {x ∈ X； x ≦ a_1∨．．．∨a_n となる A の元 a_1、．．．、a_n がある}

証明
>>112より明らかである。

135 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 15:10:01 ]
命題
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
S = {a_1∧．．．∧a_n； a_1、．．．、a_n は A の元の任意の有限列} とおく。
このとき [A) (>>133) は ↑S(過去スレ021の519)である。
即ち、[A) = {x ∈ X； a_1∧．．．∧a_n ≦ x となる A の元 a_1、．．．、a_n がある}

証明
>>134の双対である。

136 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 16:35:29 ]
過去スレ021の528の修正

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
X のイデアル(過去スレ021の527)で最大元を持つものを主イデアル(principal ideal)
または単項イデアルと言う。
X のフィルター(過去スレ021の527)で最小元を持つものを主フィルター(principal filter)
または単項フィルターと言う。

137 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 16:47:47 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
X の有限個の元で生成されるイデアル(過去スレ021の527)は単項イデアルである。

証明
A = {a_1、．．．、a_n} を X の有限部分集合とし I を A で生成されるイデアル(>>132)とする。
>>134より I = {x ∈ X； x ≦ a_1∨．．．∨a_n} である。
よって、I は a_1∨．．．∨a_n で生成される単項イデアルである。
証明終

138 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 16:51:04 ]
命題
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
X の有限個の元で生成されるフィルター(>>133)は単項フィルター(>>136)である。

証明
>>137の双対である。

139 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 18:07:07 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
L = {x ∈ X； x ≦ a∨b となる a ∈ I、b ∈ J がある} とおく。
L は I と J を含む最小のイデアルである。

証明
S = {a∨b；a ∈ I、b ∈ J} とおく。
I は空でないから a_0 ∈ I となる元 a_0 がある。
同様に b_0 ∈ J となる元 b_0 がある。
(a_0)∨(b_0) ∈ S だから S は空でない。
S は上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)である。
よって、>>112より L は S を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)である。
任意の a ∈ I に対して a ≦ a∨(b_0) だから a ∈ L である。
よって、I ⊂ L である。
同様に J ⊂ L である。

I と J を含むイデアルは S を含むから L を含む。
よって、L は I と J を含む最小のイデアルである。
証明終

140 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 18:11:30 ]
定義
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I∪J で生成されるイデアル(>>132)を I∨J と書く。
>>139より I∨J = {x ∈ X； x ≦ a∨b となる a ∈ I、b ∈ J がある} である。



141 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 18:15:01 ]
命題
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
F と G を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
H = {x ∈ X； a∧b ≦ x となる a ∈ F、b ∈ G がある} とおく。
H は F と G を含む最小のフィルターである。

証明
>>139の双対である。


142 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 18:26:18 ]
定義
X を下半束(過去スレ021の116)とする。
F と G を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F∪G で生成されるフィルター(>>133)を F∨G と書く。
>>141より F∨G = {x ∈ X； a∧b ≦ x となる a ∈ F、b ∈ G がある} である。

143 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 18:43:41 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
I(X) は包含関係に関して上半束となる。

証明
>>139より明らかである。

144 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 20:08:29 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
>>143より I(X) は包含関係に関して上半束となる。
写像 ψ：X → I(X) を ψ(x) = ↓x (過去スレ021の521)で定義する。
即ち ψ(x) は x で生成される単項イデアル(>>136)である。
このとき ψ は単射準同型(過去スレ021の144)である。
従って、>>122より ψ は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
>>137より、x、y ∈ X のとき {x, y} で生成されるイデアルは ↓(x∨y) である。
よって、↓(x∨y) = ↓x∨↓y (>>140)である。
よって、ψ(x∨y) = ψ(x)∨ψ(y) である。
よって、ψ は上半束の準同型である。

ψ(x) = ψ(y) なら x ∈ ↓y より x ≦ y
同様に y ∈ ↓x より y ≦ x
よって、x = y である。
よって、ψ は単射である。
証明終

145 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 20:11:53 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
I(X) は包含関係に関して束となる。

証明
>>114と>>143より明らかである。

146 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/10(木) 20:17:41 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
>>145より I(X) は包含関係に関して束となる。
写像 ψ：X → I(X) を ψ(x) = ↓x (過去スレ021の521)で定義する。
即ち ψ(x) は x で生成される単項イデアル(>>136)である。
このとき ψ は束の単射準同型(過去スレ021の193)である。
従って、>>122より ψ は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
>>144より ψ は上半束としての単射準同型(過去スレ021の144)である。
x、y ∈ X のとき明らかに ↓(x∧y) = ↓x∧↓y である。
よって、ψ は束の準同型である。
証明終

147 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 05:27:14 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
X が最小元 0 を持つとき I_0(X) = I(X) とおく。
X が最小元 0 を持たないとき I_0(X) = I(X)∪{φ} とおく。

148 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 06:13:15 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I_0(X) (>>147)は包含関係に関して完備束(過去スレ018の914)となる。

証明
Φ を X のイデアルからなる集合とする。
過去スレ018の915より inf Φ が I_0(X) において存在することを証明すればよい。

I_0(X) は最大元 X を持つ。
よって、Φ が空集合のとき X は I_0(X) における Φ の下限である。
よって、Φ は空集合でないとする。
>>128より ∩Φ は空でなければ X のイデアルである。
この場合、∩Φ は I_0(X) における Φ の下限である。
∩Φ が空のときは X は最小元 0 を持たない。
この場合、空集合 は I_0(X) における Φ の下限である。
証明終

149 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 08:26:28 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
A を X の任意の空でない部分集合とする。
このとき A の空でない有限部分集合 F_0 があり sup A = ∨F_0 となる。

証明
過去スレ021の398より {∨F；F は A の空でない有限部分集合} は極大元 ∨F_0 を持つ。
任意の x ∈ A に対して F = (F_0)∨x とおく。
∨F_0 ≦ ∨F より ∨F_0 = ∨F である。
よって x ∈ ∨F_0 である。
よって、∨F_0 は A の最大元である。
よって、sup A = ∨F_0 である。
証明終

150 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 08:55:12 ]
>>149の修正

命題
X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
A を X の任意の空でない部分集合とする。
このとき A の空でない有限部分集合 F_0 があり sup A = ∨F_0 となる。

証明
過去スレ021の398より {∨F；F は A の空でない有限部分集合} は極大元 ∨F_0 を持つ。
任意の x ∈ A に対して F = (F_0)∨x とおく。
∨F_0 ≦ ∨F より ∨F_0 = ∨F である。
よって x ∈ ∨F_0 である。
よって、∨F_0 は A の上界である。
A の任意の上界 a は F_0 の上界であるから ∨F_0 ≦ a である。
よって、sup A = ∨F_0 である。
証明終



151 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 09:01:06 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
X が最小元を持てば X は完備束(過去スレ018の914)である。

証明
>>150と過去スレ018の915による。

152 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 09:08:33 ]
命題
X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
X の任意のイデアル(過去スレ021の527)は単項イデアル(>>136)である。

証明
I を X の任意のイデアルとする。
>>150より、I の空でない有限部分集合 F_0 があり sup I = ∨F_0 となる。
∨F_0 ∈ I だから ∨F_0 は I の最大元である。
よって I は ∨F_0 で生成される単項イデアルである。
証明終

153 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 10:16:19 ]
>>117の別証明

命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の極大イデアル(>>99)とする。
このとき I は素イデアル(>>100)である。

証明
a と b を X の元で a ∈ X - I、ab ∈ I とする。
I は極大イデアルだから X = I∨↓a
よって、b ∈ I∨↓a
一方、>>115より、I∨↓a = {x ∈ X；x ≦ c∨a となる c ∈ I がある}
よって、b ≦ c∨a となる c ∈ I がある。
b = b∧(c∨a) = (b∧c)∨(b∧a) ∈ I
よって、I は素イデアルである。
証明終

154 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 11:54:20 ]
X を束(過去スレ021の156)とする。
T を X の部分集合とする。
T-下写像(過去スレ021の297) T↓：X → P(X) を考える。
即ち x ∈ X のとき T↓(x) = T∩↓x = {t ∈ T； t ≦ x} である。
x、y ∈ X のとき T↓(x∧y) = T↓(x)∩T↓(y) である。

x、y ∈ X のとき T↓(x∨y) = T↓(x)∪T↓(y) となる条件を考えてみる。
T↓(x∨y) ⊃ T↓(x)∪T↓(y) であるから T↓(x∨y) ⊂ T↓(x)∪T↓(y) となればよい。
これは各 t ∈ T に対して t ≦ x∨y ⇒ t ≦ x または t ≦ y となることと同値である。
これは各 t ∈ T に対して単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)
であることと同値である。

155 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 12:07:21 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
は単項フィルター↑a (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であるとき
a は∨素元(join-prime element)であるという。

156 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 12:11:45 ]
>>154
>これは各 t ∈ T に対して単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)
>であることと同値である。

これは各 t ∈ T に対して t が X の最小元であるか
単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であることと同値である。

157 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 12:17:16 ]
>>155の修正

定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
単項フィルター↑a (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であるとき
a は∨素元(join-prime element)であるという。

158 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 12:20:21 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
単項イデアル↓a (過去スレ021の521)が素イデアル(>>100)であるとき
a は∧素元(meet-prime element)であるという。

159 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 13:59:55 ]
演習問題
N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
N の∨素元(>>157)とは何か？

160 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 14:37:30 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
p を X の元とする。
p が∨素元(>>157) ⇒ p が∨既約元(過去スレ021の403)

証明
p が∨素元であるとする。
↑p は素フィルター(>>97)であるから p は X の最小元ではない。
x、y ∈ X で p = x∨y とする。
x∨y ∈↑p だから p ≦ x または p ≦ y である。
x ≦ p だから p ≦ x なら p = x
同様に p ≦ y なら p = y
よって p は∨既約元である。
証明終



161 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 14:41:06 ]
命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
p を X の元とする。

p が∨素元(>>157) ⇔ p が∨既約元(過去スレ021の403)

証明
>>160より、p が∨素元なら p は∨既約元である。
p が∨既約元なら過去スレ021の413より、p は∨素元である。
証明終

162 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/11(金) 16:30:45 ]
Ｑ（ζ_１０５）／Ｑガロア群は
Ｚ／１０５Ｚ、の可逆元のなす群
Ｕ（Ｚ／１０５Ｚ）
と同型。

__________

これの証明よろしくおねがいします


163 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 19:47:00 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
以下の条件は同値である。

(1) B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → P(X) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

(2) B-下写像 B↓：X → P(X) は単射である。

(3) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。

証明
(1) ⇒ (2)
自明である。

(2) ⇒ (1)
x、y ∈ X のとき B↓(x∧y) = B↓(x)∩B↓(y) である。
よって、>>122の双対より B↓ は順序埋め込みである。

(1) ⇒ (3)
x, y ∈ X とし、y は B↓(x) の上界とする。
B↓(x) ≦ B↓(y) であるから x ≦ y である。
よって x = sup B↓(x) である。

(3) ⇒ (2)
B↓(x) = B↓(y) なら過去スレ021の915より x = sup B↓(x) = sup B↓(y) = y
よって、B↓は単射である。
証明終

164 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 20:09:45 ]
>>163の修正

命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
以下の条件は同値である。

(1) B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → P(B) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

(2) B-下写像 B↓：X → P(B) は単射である。

(3) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。

証明
(1) ⇒ (2)
自明である。

(2) ⇒ (1)
x、y ∈ X のとき B↓(x∧y) = B↓(x)∩B↓(y) である。
よって、>>122の双対より B↓ は順序埋め込みである。

(1) ⇒ (3)
x, y ∈ X とし、y は B↓(x) の上界とする。
B↓(x) ≦ B↓(y) であるから x ≦ y である。
よって x = sup B↓(x) である。

(3) ⇒ (2)
B↓(x) = B↓(y) なら過去スレ021の915より x = sup B↓(x) = sup B↓(y) = y
よって、B↓は単射である。
証明終

165 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/11(金) 20:11:05 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
B は以下の条件を満たすとする。

(1) B の各元は X の∨素元(>>157)である。

(2) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。

このとき、B-下写像 B↓：X → P(B) は束の準同型(過去スレ021の193)で単射である。

証明
>>154より、B↓は束の準同型である。
>>164より、B↓は単射である。
証明終

166 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 07:51:54 ]
定義
X と Y を空でない束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束の準同型(過去スレ021の193)とする。
f が単射のとき f を束埋め込み(lattice embedding)または単に埋め込みと言う。

167 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 07:57:36 ]
命題(極小条件を満たす分配束の表現定理)
X を極小条件(過去スレ021の397)を満たす空でない分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。

このとき B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) (過去スレ021の516)は
束埋め込み(>>166)である。

証明
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
>>161より B は X の∨素元(>>157)全体と一致する。
よって、>>165より、B↓：X → Down(B) は束埋め込みである。
証明終

168 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 09:17:16 ]
命題(有限分配束の表現定理)
X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。

このとき B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) (過去スレ021の516)は束同型である。

証明
X は有限順序集合だから極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
よって、>>167より B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、B↓が全射であることを証明すればよい。

X は最小元 0 = inf X を持つ。
B↓(0) = φ である。

D = {x_1、．．．、x_n} を Down(B) の空でない元とする。
x = x_1∨．．．∨x_n とおく。
>>161より、B の各元は∨素元(>>157)である。
よって、y ≦ x、y ∈ B なら y ≦ x_i となる i がある。
D は B の下集合(過去スレ021の516)だから y ∈ D である。
よって、
逆の包含関係は明らかであるから B↓(x) = D である。
よって、B↓は全射である。
証明終

169 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 11:26:19 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
B は以下の条件を満たすとする。

(1) B の各元は X の∨素元(>>157)である。

(2) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。

このとき、X は分配束(過去スレ021の322)である。

証明
>>165より X は P(B) の部分束(過去スレ021の190)と同型である。
よって、X は分配束である。
証明終

170 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 11:28:13 ]
例
N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
B を N の∨素元(>>157)全体の集合とする(>>159参照)。
B は N において結び密(過去スレ021の914)である。
よって、>>169より N は分配束である。



171 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 18:12:47 ]
命題(Blyth:Lattices and ordered algebraic structures)
X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
|B| = length(X) (過去スレ021の379)である。
ここで、|B| は B の元の個数である。

証明
C を length(X) = length(C) となる X の鎖(過去スレ021の377)とする。
X は最小元 0 = ∧X と最大元 1 = ∨X をもつ。
0 = 1 のときは命題は自明であるから 0 ≠ 1 と仮定する。
ψ：B → C - {0} を ψ(a) = min {x ∈ C：a ≦ x} により定義する。
任意の a ∈ B に対して 1 ∈ {x ∈ C：a ≦ x} であるから ψ(a) は一意に定まる。
x を C - {0} の任意の元とする。
ψ(a) = x となる a が存在することを証明しよう。
y_0 ∈ C を x の直前の元(過去スレ021の242)とする。
>>167より、B↓(y_0) ⊂ B↓(x) かつ B↓(y_0) ≠ B↓(x) である。
よって、a ∈ B↓(x) - B↓(y_0) がある。
y ∈ C：a ≦ y とする。
a ∈ B↓(y) である。
y ＜ x なら y ≦ y_0 より、a ∈ B↓(y) ⊂ B↓(y_0) となって a の定義に反する。
よって、x ≦ y である。
即ち ψ(a) = x である。
以上から ψ は全射である。

(続く)

172 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 18:16:21 ]
>>171の続き

次に ψ が単射であることを示そう。
ψ(a) = ψ(b) とする。
x ∈ C を ψ(a) の直前の元(過去スレ021の242)とする。
a∨x = b∨x = ψ(a)
よって、a = a∧(a∨x) = a∧(b∨x) = (a∧b)∨(a∧x)
a は∨既約だから a = a∧b または a = a∧x
よって、a ≦ b または a ≦ x
しかし、a ≦ x では有り得ないから a ≦ b である。
同様に b ≦ a である。
よって、a = b である。
よって、ψ は単射である。
よって、ψ は全単射である。
よって、|B| = |C| - 1 = length(X)
証明終

173 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/12(土) 20:16:48 ]
>>171の別証明(本質的には同じだが)

命題
X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
|B| = length(X) (過去スレ021の379)である。
ここで、|B| は B の元の個数である。

証明
n = length(X) とする。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
>>168より、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における極大鎖である。
各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 であることを証明しよう。
x = x_i、y = x_(i+1) とおく。
a、b ∈ B↓(y) - B↓(x) とする。
a∨x = b∨x = y
よって、a = a∧(a∨x) = a∧(b∨x) = (a∧b)∨(a∧x)
a は∨既約だから a = a∧b または a = a∧x
よって、a ≦ b または a ≦ x
しかし、a ≦ x では有り得ないから a ≦ b である。
同様に b ≦ a である。
よって、a = b である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終

174 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/13(日) 05:38:22 ]
うるさい

175 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 07:07:03 ]
命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
length(X) (過去スレ021の379)が有限なら X は有限集合である。

証明
X は空でないと仮定してよい。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B が有限集合であることを示せばよい。
n = length(X) とする。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから>>167より
B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における鎖(過去スレ021の377)である。
>>173の証明と同様にして各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終

176 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 07:18:03 ]
>>175の修正

命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
length(X) (過去スレ021の379)が有限なら X は有限集合である。

証明
X は空でないと仮定してよい。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B が有限集合であることを示せばよい。
n = length(X) とする。
X は昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすから>>150より最大元 1 を持つ。
X は降鎖律(過去スレ021の396)を満たすから>>150の双対より最小元 0 を持つ。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから>>167より
B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における鎖(過去スレ021の377)である。
>>173の証明と同様にして各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終

177 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 08:22:46 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
a ∈ X を∨素元(>>157)とする。
このとき (↑a)^c は X の素イデアル(>>100)である。
ここで ↑a = {x ∈ X； a ≦ x} は a で生成される単項フィルター(>>136)であり
(↑a)^c は ↑a の X における補集合である。

証明
↑a は素フィルター(>>97)であるから X ≠ ↑a である。
よって、(↑a)^c は空でない。
x ∈ (↑a)^c、y ≦ x とする。
a ≦ y なら a ≦ x となって x ∈ (↑a)^c に反する。
よって、y ∈ (↑a)^c である。

a は∨素元だから a ≦ x∨y ⇒ a ≦ x または a ≦ y
対偶をとって x、y ∈ (↑a)^c ⇒ x∨y ∈ (↑a)^c
以上から (↑a)^c はイデアルである。

a ≦ x かつ a ≦ y ⇒ a ≦ x∧y
対偶をとって x∧y ∈ (↑a)^c ⇒ x ∈ (↑a)^c または y ∈ (↑a)^c
よって、(↑a)^c は素イデアルである。
証明終

178 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 09:34:02 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
X の素イデアル(>>100)全体の集合を Spec(X) と書く。
Spec はスペクトル(spectrum)を意味する。

179 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 09:52:02 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
X の∨素元(>>157)全体を JP(X) とする。
>>177より x ∈ JP(X) のとき (↑x)^c ∈ Spec(X) (>>178) である。
写像 f：JP(X) → Spec(X) を f(x) = (↑x)^c により定義する。
このとき f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
x、y ∈ X、x ≦ y とする。
↑y ⊂ ↑x であるから、(↑x)^c ⊂ (↑y)^c である。

逆に、x、y ∈ X、(↑x)^c ⊂ (↑y)^c とする。
↑y ⊂ ↑x であるから y ∈ ↑x である。
よって、x ≦ y である。
証明終

180 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 10:00:39 ]
>>177は>>106より明らかであった。



181 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 10:55:44 ]
命題
X を極小条件(過去スレ021の397)を満たす束(過去スレ021の156)とする。
このとき>>179の写像 f：JP(X) → Spec(X) は順序同型である。

証明
>>179より f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
よって、f が全射であることを証明すればよい。
過去スレ021の398より X は降鎖律(過去スレ021の396)を満たす。
よって、>>152の双対より X の任意のフィルター(過去スレ021の527)は単項フィルター(>>136)である。
一方、>>106より X の任意の素イデアルは素フィルターの補集合である。
よって、f は全射である。
証明終

182 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 11:03:39 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
X の∧素元(>>158)全体を MP(X) (MP は meet-prime の頭文字)とする。
x ∈ MP(X) のとき ↓x ∈ Spec(X) (>>178) である。
写像 g：MP(X) → Spec(X) を g(x) = ↓x により定義する。
このとき g は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
x、y ∈ X、x ≦ y とする。
a ≦ x なら a ≦ y であるから ↓x ⊂ ↓y である。

逆に、x、y ∈ X、↓x ⊂ ↓y とする。
x ∈ ↓x であるから x ∈ ↓y である。
よって、x ≦ y である。
証明終

183 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 11:10:19 ]
命題
X を極大条件(過去スレ021の397)を満たす束(過去スレ021の156)とする。
このとき>>182の写像 g：MP(X) → Spec(X) は順序同型である。

証明
>>182より f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
よって、f が全射であることを証明すればよい。
過去スレ021の398より X は昇鎖律(過去スレ021の395)を満たす。
よって、>>152より X の任意のイデアル(過去スレ021の527)は単項イデアル(>>136)である。
よって、g は全射である。
証明終

184 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 11:20:35 ]
命題
X を長さ(過去スレ021の379)有限な束(過去スレ021の156)とする。
X の∨素元(>>157)全体を JP(X) とする。
X の∧素元(>>158)全体を MP(X) とする。
このとき JP(X) と MP(X) は順序同型である。

証明
X は長さ有限だから昇鎖律(過去スレ021の395)および降鎖律(過去スレ021の396)を満たす。
よって、過去スレ021の398より X は極大条件(過去スレ021の397)および
極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
よって、>>182と>>183より本命題が得られる。
証明終

185 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 12:10:08 ]
演習問題
N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
Spec(N) (>>178) を決定せよ。

186 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 15:14:17 ]
命題
X を原子的(過去スレ021の342)な区分的相補束(過去スレ021の368)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき x = sup A↓(x) である。

証明
X は原子的だから A↓(x) = φ なら x = 0 である。
よって、この場合 x = sup A↓(x) である。
よって、A↓(x) ≠ φ と仮定する。
x は A↓(x) の上限である。
u を A↓(x) の任意の上限とする。
m = x∧u とおく。
m = x であることを証明しよう。
0 ＜ m ≦ x である。
0 ＜ m ＜ x と仮定する。
m の区間 [0, x] における相対補元(過去スレ021の363)を m’とする。
0 ＜ m’＜ x である。
X は原子的だから a ≦ m’となる原子 a がある。
m’＜ x だから a ＜ x である。
よって、a ∈ A↓(x) である。
よって、a ≦ u である。
よって、a ≦ m である。
よって、a ≦ m∧m’= 0 となって矛盾。
よって、m = x である。
よって、x ≦ u であるから x = sup A↓(x) である。
証明終

187 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 15:59:16 ]
命題(原子的な一般Boole代数の表現定理)
X を原子的(過去スレ021の342)な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) は
一般Boole代数の準同型(>>29)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
過去スレ021の409より A は X の∨既約元(過去スレ021の403)全体と一致する。
よって、>>161より A は X の∨素元(>>157)全体と一致する。
>>186より、A は X において結び密(過去スレ021の914)である。
よって、>>165より A↓：X → P(A) は束埋め込み(>>166)である。
A↓(0) = φ であるから A↓ は一般Boole代数の準同型で順序埋め込みである。
証明終

188 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 16:06:18 ]
命題(原子的なBoole代数の表現定理)
X を原子的(過去スレ021の342)なBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) は
Boole代数の準同型(>>30)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
>>187より、A↓ は一般Boole代数の準同型で順序埋め込みである。
A↓(1) = A であるから A↓ はBoole代数の準同型である。
証明終

189 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 17:07:00 ]
命題
有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)はBoole代数(過去スレ021の336)である。

証明
X を有限な一般Boole代数とする。
X は束であるから sup X が存在する。
sup X は X の最大元であるから X はBoole代数である。
証明終

190 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/13(日) 17:26:34 ]
命題(有限なBoole代数の表現定理)
X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>189より X はBoole代数(過去スレ021の336)である。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) はBoole代数の同型である。

証明
X は有限順序集合であるから原子的(過去スレ021の342)である。
よって、>>188より A↓：X → P(A) はBoole代数の準同型で順序埋め込みである。
S = {a_1、．．．、a_n} を P(A) の任意の空でない部分集合とする。
x = a_1∨．．．∨a_n とおく。
a ∈ A、a ≦ x とする。
a = a∧x = (a∧a_1)∨．．．∨(a∧a_n)
各 i に対して a∧a_i = 0 または a∧a_i = a である。
よって、a∧a_i = a となる i がある。
このとき a = a_i である。
よって、a ≦ x である。
よって、A↓(x) = S である。
一方、A↓(0) = φ であるから A↓：X → P(A) は全射である。
証明終



191 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 05:47:03 ]
補題
X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
x、y、z ∈ X のとき
(1) x∧y ≦ z ⇔ y ≦ x’∨z
(2) x∨y ≧ z ⇔ y ≧ x’∧z

証明
(1) x∧y ≦ z なら x’∨(x∧y) ≦ x’∨z
x’∨(x∧y) = x’∨y だから x’∨y ≦ x’∨z
よって、y ≦ x’∨z

逆に y ≦ x’∨z なら x∧y ≦ x∧(x’∨z) = x∧z ≦ z

(2) は (1) の双対である。
証明終

192 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 06:03:50 ]
命題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
(y_i)、i ∈ I を X の元の族とし、∨y_i が存在するとする。
このとき任意の x ∈ X に対して x∧(∨y_i) = ∨(x∧y_i)

証明
y = ∨y_i とおく。
各 i に対して y_i ≦ y
よって、x∧y_i ≦ x∧y
よって、∨(x∧y_i) ≦ x∧y

逆向きの不等式を証明しよう。
z = ∨(x∧y_i) とおく。
x、y、z は区間 [0, x∨y] に含まれる。
x’を x の [0, x∨y] における補元とする。
各 i に対して x∧y_i ≦ z
>>191より、y_i ≦ x’∨z
よって、y ≦ x’∨z
再び>>191より、x∧y ≦ z
証明終

193 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 06:25:44 ]
命題(Tarski 1935)
X を完備(過去スレ018の914)かつ原子的(過去スレ021の342)なBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) はBoole代数の同型である。

証明
>>188より A↓：X → P(A) はBoole代数の準同型(>>30)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
Y = {y_i；i ∈ I} を P(A) の空でない部分集合とする。
y = ∨y_i とおく。
x ∈ A、x ≦ y のとき>>192より x = x∧y = ∨(x∧y_i)
x は原子だから x = x∧y_i となる i がある。
y_i は原子だから x = y_i である。
よって、x ∈ Y である。
よって、A↓(y) ⊂ Y である。
逆の包含関係は明らかであるから Y = A↓(y) である。
よって、A↓：X → P(A) は全射である。
証明終

194 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 08:17:55 ]
補題(>>82の拡張)
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
Ψ = {J；J は X のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
P を Ψ の極大元とする。
このとき P は素イデアルである。

証明
S ∩ P = φ で S は空でないから P ≠ X である。
a と b を P に含まれない X の元とする。
a∧b ∈ P と仮定して矛盾を導けばよい。
P ＜ P∨↓a、P ＜ P∨↓b である。
よって、S ∩ (P∨↓a) ≠ φ、S ∩ (P∨↓b) ≠ φ である。
よって s ≦ x∨a、t ≦ y∨b となる s、t ∈ S、x、y ∈ P がある。
S は下向きの有向部分集合だから u ≦ x∨a、u ≦ y∨b となる u ∈ S がある。
u ≦ (x∨a)∧(y∨b) = (x∧y)∨(x∧b)∨(a∧y)∨(a∧b) ∈ P
よって、u ∈ P となって矛盾。
証明終

195 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 08:22:24 ]
命題(>>83の拡張)
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
このとき I を含む X の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。

証明
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
I ∈ Ψ だから Ψ は空でない。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係に関して全順序集合になっているものとする。
L = ∪{J； J ∈ Φ} は X のイデアルで I ⊂ L である。
S ∩ L ≠ φ とすると S ∩ J ≠ φ となる J ∈ Φ があることになって矛盾である。
よって、L ∈ Φ である。
よって、Φ は帰納的な順序集合であるからZornの補題より Φ は極大元 P を持つ。
>>194より P は素イデアルである。
証明終

196 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 08:28:37 ]
命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X のイデアルで a ∈ X - I とする。
このとき I を含む X の素イデアル P で a ∈ X - P となるものがある。

証明
a∧a = a であるから S = {a} は X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)である。
よって本命題は>>195から得られる。
証明終

197 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 08:47:52 ]
定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
任意の a ∈ X に対して
V(a) = {P ∈ Spec(X) (>>178)； a ∈ P}
D(a) = Spec(X) - V(a)
とおく。

198 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 08:59:28 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
a、b ∈ X のとき、
V(a∧b) = V(a)∪V(b)
V(a∨b) = V(a)∩V(b)

a が補元(過去スレ021の369) a’を持てば
V(a’) = V(a)’

証明
V(a∧b) = V(a)∪V(b) と V(a∨b) = V(a)∩V(b) は明らかである。

V(a)∪V(a’) = V(a∧a’) = V(0) = Spec(X)
V(a)∩V(a’) = V(a∨a’) = V(1) = φ
よって、V(a’) = V(a)’
証明終

199 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 09:02:13 ]
命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
a、b ∈ X のとき、
D(a∧b) = D(a)∩D(b)
D(a∨b) = D(a)∪D(b)

a が補元(過去スレ021の369) a’を持てば
D(a’) = D(a)’

証明
>>198より明らかである。

200 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 12:01:58 ]
命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の任意のイデアルとする。
このとき、I = ∩{P ∈ Spec(X)；I ⊂ P}

証明
J = ∩{P ∈ Spec(X)；I ⊂ P} とおく。
a ∈ X - I なら>>196より I を含む X の素イデアル P で a ∈ X - P となるものがある。
よって、a ∈ X - J
即ち X - I ⊂ X - J である。
よって、J ⊂ I である。
逆の包含関係は明らかであるから I = J である。
証明終



201 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 12:14:18 ]
命題(Stone 1936)
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束埋め込み(>>166)である。

証明
>>199より ρ は束の準同型(過去スレ021の193)である。
x、y ∈ X、D(x) = D(y) とする。
V(x) = V(y) (>>197)である。
単項イデアル(>>136) ↓x (過去スレ021の521)を含む素イデアル全体は V(x) であるから
>>200より ↓x = ∩{P ∈ V(x)}
よって、↓x = ↓y である。
よって、x = y である。
よって、ρ は単射である。
証明終

202 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/14(月) 15:25:18 ]
命題
X を有限な分配束(過去スレ021の322)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束の同型である。

証明
>>201より ρ は束埋め込み(>>166)であるから ρ が全射であることを証明すればよい。
S = {P_1、．．．、P_n} を Down(Spec(X)) の空でない部分集合とする。
>>106より各 (P_i)^c は素フィルター(>>97)である。
>>138より各 (P_i)^c は単項フィルター(>>136) ↑a_i である。
a = ∨a_i とおく。
D(a) = S を証明しよう。
任意の P ∈ D(a) は P = (↑d)^c と書ける。

P ∈ D(a) ⇔ a ∈ P^c ⇔ a ∈ ↑d ⇔ d ≦ a ⇔ d ≦ a_i となる i がある
⇔ ↑a_i ⊂ ↑d ⇔ (↑d)^c ⊂ (↑a_i)^c ⇔ P ⊂ P_i ⇔ P ∈ S

よって、D(a) = S

一方、D(0) = φ であるから ρ は全射である。
証明終

203 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 07:50:04 ]
命題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
P を X の部分集合とする。
このとき、次の条件は同値である。

(1) P は束としての X の素イデアル(>>100)である。
(2) P は環としての X の素イデアルである。

証明
>>107より明らかである。

204 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 08:02:37 ]
命題(Stoneの表現定理(>>93参照))
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は一般Boole代数の単射準同型(>>29)である。
X がBoole代数(過去スレ021の336)のとき ρ はBoole代数の単射準同型(>>30)である。

証明
>>201より明らかである。

205 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 08:17:57 ]
命題(有限Boole代数の表現定理)
X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の冪集合とする。
写像 ρ：X → P(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束としての（従ってBoole代数としての）同型である。

証明
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
>>203と>>75より Spec(X) は X の極大イデアル(>>99)全体の集合である。
よって、本命題は>>202より明らかである。
証明終

206 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 08:20:39 ]
>>203と>>75よりBoole代数の素イデアルは極大イデアルであるが
これは相補束(過去スレ021の330)でも成り立つ。

207 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 08:21:48 ]
命題
X を相補束(過去スレ021の330)とする。
X の任意の素イデアルは極大イデアルである。

証明
P を X の素イデアルとする。
x ∈ X - P とする。
x の補元(過去スレ021の328)を y とする。
x∧y = 0 であるから y ∈ P である。
x∨y = 1 であるから (↓x)∨P= X
よって、P は極大イデアルである。
証明終

208 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 08:26:47 ]
>>205の修正

命題(有限Boole代数の表現定理)
X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の冪集合とする。
写像 ρ：X → P(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束としての（従ってBoole代数としての）同型である。

証明
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
>>153と>>203と>>75より Spec(X) は X の極大イデアル(>>99)全体の集合である。
よって、本命題は>>202より明らかである。
証明終

209 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 09:14:35 ]
定義
X と Y を束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束としての準同型(過去スレ021の193)とする。
f(0) = 0、f(1) = 1 となるとき f を {0, 1}-準同型と言う。

210 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 09:36:25 ]
命題
P を順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
このとき、任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} は
Down(P) の素イデアル(>>100)である。

証明
φ ∈ κ(a) であるから κ(a) は空でない。
D ∈ κ(a)、D’⊂ D、D’∈ Down(P) なら a ∈ P - D’であるから D’∈ κ(a) である。
D、D’∈ κ(a) なら a ∈ D^c ∩ (D’)^c = (D∪D’)^c
よって、D∪D’∈ κ(a)
ここで D^c などは D の補集合を表す。
よって、κ(a) はDown(P)のイデアルである。

D、D’∈ Down(P)、D∩D’∈ κ(a) なら a ∈ (D∩D’)^c = D^c ∪ (D’)^c
よって、D ∈ κ(a) または D’∈ κ(a)
よって、κ(a) はDown(P)の素イデアルである。
証明終



211 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 10:40:54 ]
命題
P を有限順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
D を P の下集合(過去スレ021の516)とする。
このとき、以下の条件は同値である。

(1) D は Down(P) の∨既約元(過去スレ021の403)である。

(2) D は P の単項イデアル(>>136)である。

証明
(1) ⇒ (2)
D は有限な下集合だから D = ↓a_1∪．．．∪↓a_n となる。
D は∨既約であるから D = ↓a_i となる i がある。

(2) ⇒ (1)
D = ↓a とする。
D = D_1∪D_2、D_1、D_2 ∈ Down(P) とする。
a ∈ D_1∪D_2 より a ∈ D_1 または a ∈ D_2
よって、D_1 = ↓a または D_2 = ↓a
よって、D は∨既約である。
証明終

212 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 10:57:10 ]
命題
P を順序集合とする。
Down(P) を P の下集合(過去スレ021の516)の全体とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} とおく。
>>210より、κ(a) ∈ Spec(Down(P)) (>>178)である。
このとき κ：P → Spec(Down(P)) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
任意の a ∈ P に対して ν(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ D} とおく。
κ(a) = ν(a)^c である(^c は補集合を表す)。
a、b ∈ P、a ≦ b とする。
ν(b) ⊂ ν(a) より κ(a) ⊂ κ(b)

逆に a、b ∈ P、κ(a) ⊂ κ(b) とする。
↓b ∈ ν(b)、ν(b) ⊂ ν(a) より ↓b ∈ ν(a)
よって、a ∈ ↓b
よって、a ≦ b
証明終

213 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 11:14:08 ]
命題
P を有限順序集合とする。
Down(P) を P の下集合(過去スレ021の516)の全体とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} とおく。
>>210より、κ(a) ∈ Spec(Down(P)) (>>178)である。
このとき κ：P → Spec(Down(P)) は順序同型である。

証明
>>212より、κ が全射であることを証明すればよい。
π を Down(P) の素イデアルとする。
>>106より、π^c = Down(P) - π は素フィルターである。
Down(P) は有限集合であるから>>138より π^c は単項フィルターである。
π^c = ↑D とする。
π^c は素フィルターであるから D は Down(P) の∨素元(>>157)である。
>>161より D は Down(P) の∨既約元(過去スレ021の403)である。
よって、>>211より D = ↓a となる a ∈ P がある。
このとき π = κ(a) である。
証明終

214 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 13:53:29 ]
>>209の修正

定義
X と Y を有界な束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束としての準同型(過去スレ021の193)とする。
f(0) = 0、f(1) = 1 となるとき f を {0, 1}-準同型と言う。

215 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 14:34:47 ]
>>210への補足

任意の a ∈ P に対して a ∈ ↓a ∈ Down(P)
よって、κ(a) ≠ Down(P) である。

216 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 14:39:40 ]
命題
X と Y を有界な束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を{0, 1}-準同型(>>214)とする。
P を Y の任意の素イデアル(>>100)とする。
このとき f^(-1)(P) は X の素イデアルである。

証明
f(0) ∈ P より、0 ∈ f^(-1)(P) であるから f^(-1)(P) は空でない。
過去スレ021の589より f^(-1)(P) は X の下集合(過去スレ021の516)である。
x、y ∈ f^(-1)(P) とする。
f(x∨y) = f(x)∨f(y) ∈ P
よって、x∨y ∈ f^(-1)(P)
よって、f^(-1)(P) は X のイデアル(過去スレ021の527)である。

P ≠ Y だから f(1) = 1 は P に含まれない。
よって、1 は f^(-1)(P) に含まれない。
よって f^(-1)(P) ≠ X である。

x∧y ∈ f^(-1)(P) とする。
f(x∧y) = f(x)∧f(y) ∈ P
よって、f(x) ∈ P または f(y) ∈ P
よって、x ∈ f^(-1)(P) または y ∈ f^(-1)(P)

以上から f^(-1)(P) は X の素イデアルである。
証明終

217 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 15:05:43 ]
FinDLat を有限分配束(過去スレ021の322)とその間の{0, 1}-準同型(>>214)全体のなす圏とする。
FinPoset を有限順序集合とその間の単調増加写像全体のなす圏とする。

f：X → Y を FinDLat における射とする。
>>216より、写像 f^(-1)：Spec(Y) → Spec(X) が得られる。
f^(-1) は明らかに FinPoset における射である。
よって、関手 Spec：FinDLat → (FinPoset)^o が得られる。
ここで、(FinPoset)^o はFinPosetの双対圏(過去スレ017の352)である。

逆に g：S → T を FinPoset における射とする。
過去スレ021の589より 写像 g^(-1)：Down(T) → Down(S) (過去スレ021の516)が得られる。
g^(-1) は明らかに FinDLat における射である。
よって、関手 Down：(FinPoset)^o → FinDLat が得られる。

>>202より合成関手 Down・Spec は単位関手 1_FinDLat に自然同型(過去スレ018の144)である。
>>213より合成関手 Spec・Down は単位関手 1_(FinPoset)^o に自然同型である。
よって、FinDLat と (FinPoset)^o は圏同値(過去スレ017の404)である。

218 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/15(火) 16:01:05 ]
>>217は有限分配束と有限順序集合の間の双対定理であるが
この種の双対定理で最初に発見されたものはStoneによるBoole代数と完全不連結なコンパクト空間の間の
双対定理である。

219 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/15(火) 16:24:31 ]
うるさい

220 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 00:57:14 ]
wtga



221 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 07:36:33 ]
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
Stoneの表現定理(>>204)よりBoole代数の単射準同型 ρ：A → Down(Spec(A)) が得られる。
>>44より A はBoole環(>>6)と見なせる。
よって Spec(A) にはZariski位相(>>48)が入る。
この位相について調べてみよう。

222 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 07:47:02 ]
定義
A を単位元を持つ可換環とする。
A の素イデアル全体の集合をSpec(A)と書く(過去スレ001の81)。
S を A の部分集合とする。
V(S) = {P ∈ Spec(A)； S ⊂ P} と書く。
D(S) = Spec(A) - V(S) と書く。

223 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 07:52:08 ]
定義
A を単位元を持つ可換環とする。
a ∈ A のとき
V({a}) (>>222) を V(a) と書く。
D({a}) (>>222) を D(a) と書く。

a_1、．．．、a_n ∈ A のとき
V({a_1、．．．、a_n}) (>>222)を V(a_1、．．．、a_n) と書く。
D({a_1、．．．、a_n}) (>>222)を D(a_1、．．．、a_n) と書く。

224 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 08:04:57 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
>>222の記法の下で以下が成り立つ。

(1) V(0) = Spec(A)、V(1) = φ

(2) S ⊂ T ⊂ A のとき V(T) ⊂ V(S)

(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき V(S) = V((S)) である。

(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき V(∪S_i) = ∩V(S_i) である。

(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき V(ΣJ_i) = ∩V(J_i) である。

証明
自明である。

225 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 08:07:57 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
>>222の記法の下で以下が成り立つ。

(1) D(0) = φ、D(1) = Spec(A)

(2) S ⊂ T ⊂ A のとき D(S) ⊂ D(T)

(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき D(S) = D((S)) である。

(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき D(∪S_i) = ∪D(S_i) である。

(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき D(ΣJ_i) = ∪D(J_i) である。

証明
>>224から明らかである。

226 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 08:18:33 ]
補題
A を単位元を持つ可換環とする。
I と J を A のイデアルとし、P を A の素イデアルとする。
このとき、IJ ⊂ P ⇒ I ⊂ P または J ⊂ P

証明
I ⊂ P でないとする。
I - P の元 a がある。
aJ ⊂ P より J ⊂ P である。
証明終

227 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 08:25:35 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
I と J を A のイデアルとする。
このとき>>222の記法の下で以下が成り立つ。

(1) V(IJ) = V(I)∪V(J)

(2) D(IJ) = D(I)∩D(J)

証明
(2) は (1)から明らかであるから (1) のみを証明すればよい。

IJ ⊂ I、IJ ⊂ J と>>224の(2)より V(I)∪V(J) ⊂ V(IJ)
他方、>>226より、V(IJ) ⊂ V(I)∪V(J)
証明終

228 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 08:31:58 ]
うるさい

229 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 10:21:28 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
rad(I) を I の根基(過去スレ001の164)とする。
即ち rad(I) は mod I で冪零となる A の元全体である。

このとき V(I) = V(rad(I)) である。

証明
I ⊂ rad(I) と>>224の(2)より V(rad(I)) ⊂ V(I)
P ∈ V(I) のとき任意の x ∈ rad(I) に対して x^n ∈ I ⊂ P となる n がある。
よって、x ∈ P である。
よって、rad(I) ⊂ P である。
よって、V(I) ⊂ V(rad(I)) である。
証明終

230 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 10:25:40 ]
記法
A を単位元を持つ可換環とする。
Y を Spec(A) (>>222) の任意の部分集合とする。
I(Y) = ∩{P；P ∈ Y} と書く。



231 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 10:43:50 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
P(A) を A の冪集合とする。
P(A) を包含関係により順序集合と見なす。
P(Spec(A)) を Spec(A) (>>222) の冪集合とする。
P(Spec(A)) を包含関係により順序集合と見なす。
(P(Spec(A)))^o を P(Spec(A)) の双対順序集合(過去スレ021の168)とする。

写像 V：P(A) → (P(Spec(A)))^o を S ∈ P(A) に V(S) (>>222) を対応させる写像とする。
写像 I：(P(Spec(A)))^o → P(A) を Y ∈ (P(Spec(A)))^o に I(Y) (>>230) を対応させる写像とする。

このとき、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。

証明
S ∈ P(A)、Y ∈ P(Spec(A) のとき
V(S) ⊃ Y ⇔ S ⊂ I(Y)
を確かめればよいが、これは V(S) と I(Y) の定義から明らかである。
証明終

232 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 11:58:29 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Y を Spec(A) (>>222) の任意の部分集合とする。
このとき、>>222と>>230の記法で V(I(Y)) は Y の閉包である。

証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、VI：P(Spec(A)) → P(Spec(A)) は閉包作用子であり、
V(P(A)) は VI に関する閉元全体である。
Zariski位相の定義より V(P(A)) は Spec(A) の閉集合全体であるから
V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明終

233 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 11:59:43 ]
定義
A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I = rad(I) (>>229) となるとき I を根基イデアルと言う。

234 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 12:09:02 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
写像 V：P(A) → P(Spec(A)) を S ∈ P(A) に V(S) (>>222) を対応させる写像とする。
写像 I：P(Spec(A)) → P(A) を Y ∈ P(Spec(A)) に I(Y) (>>230) を対応させる写像とする。
A の根基イデアル全体(>>233)を R(A) とする。
Spec(A) (>>222) の閉集合全体を C(A) とする。
写像 V の R(A) への制限を V^* とする。
写像 I の C(A) への制限を I^* とする。
このとき V^* は全単射であり I^* はその逆写像である。

証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
よって、過去スレ021の696より本命題が得られる。
証明終

235 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 12:19:48 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
A がNoether環であれば Spec(A) はNoether空間(過去スレ001の214)である。
即ち Spec(A) の閉集合全体は包含関係に関して極小条件(過去スレ021の397)を満たす。

証明
>>234の写像 V^* は単調減少であることから明らかである。

236 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 12:50:46 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
P を A の素イデアルとする。
{P} の Spec(A) における閉包は V(P) (>>222) である。
よって、 P が極大イデアル ⇔ {P} が閉集合

証明
>>232より明らかである。

237 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 13:19:47 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は T_0 空間(過去スレ018の223)である。

証明
Spec(A) の部分集合 T の閉包を cl(T) と書く。
P、Q ∈ Spec(A)、cl({P}) = cl({Q}) とする。
>>236より V(P) = V(Q) である。
よって、P ⊂ Q かつ Q ⊂ P となり P = Q である。
よって、過去スレ021の738より Spec(A) は T_0 空間である。
証明終

238 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 13:59:01 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>223) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。

証明
>>225の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(過去スレ001の160)の
開集合の基底である。

(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>225より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>230)
よって、rad(aA) ⊂ rad(I) (>>72)
よって、a^n ∈ I となる n がある。
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a^n ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a^n) = V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終

239 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 15:29:23 ]
命題
A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。

証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して A/f^(-1)(P) は B/P に同型である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。

次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終

240 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 15:40:14 ]
>>239の修正

命題
A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。
よって、ψ は連続である。

証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して π：B → B/P を標準射とする。
g = πf：A → B/P とおく。
Ker(g) = f^(-1)(P) である。
よって、A/f^(-1)(P) は g(A) に同型である。
一方、g(1) = 1 で B/P ≠ 0 であるから g(A) ≠ 0 である。
よって、f^(-1)(P) ≠ A である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。

次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終



241 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 15:43:09 ]
>>240の証明からわかるように ψ：Spec(B) → Spec(A) が定義されるためには
f(1) = 1 となることが必要である。

242 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 15:54:42 ]
単位元を持つ可換環と単位元を単位元に写す準同型からなる圏を CommRng とする。
(CommRng)^o をCommRngの双対圏(過去スレ017の352)とする。
Top_0 を T_0 位相空間(過去スレ018の223)と連続写像の圏とする。
f：A → B をCommRngにおける射とする。
>>237より、A ∈ CommRng に対して Spec(A) ∈ Top_0 である。
A ∈ CommRng に Spec(A) ∈ Top_0 を対応させ、
f：A → B に>>240の射 ψ：Spec(B) → Spec(A) を対応させることにより
関手 Spec：(CommRng)^o → Top_0 が得られる。

243 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 17:29:19 ]
今後、創造力やリーダーシップを持った日本人を輩出するために何をすべきなのか？　
また、そのための問題点はどこにあるのか？　大前研一氏が解説する。

「英語力」における中国人の向上ぶりは顕著だ。最近、中国を訪れた外国人が驚くのが、
英語に堪能な中国人が急増していることだ。私自身も、中国を訪れる度にそれを実感している。

以前、CCTV（中国中央電視台）に出演した時、流暢な英語を話すスタッフに
「何年留学したの？」と訊いたら、「一度も国外に出たことはありません」という答えが返ってきた。

彼らの多くはアメリカのテレビ番組を見たり、無料インターネット通話のスカイプ（Skype）による
1か月100ドルで英語が喋り放題のフィリピンの英会話トレーニングサービスを利用したりして、
ひたすら国内で英語力を磨いているのだ。

5年以内に中国で英語を喋る人の数がアメリカを抜く、というジョークのような話も耳にするが、
あながち的外れではないかもしれない。

かたや日本では、英語教員のTOEICの平均スコアが中学560 点、高校620点という統計がある。
文部科学省はすべての英語教員に730点以上を求めているが、たとえば韓国でトップ5の大学に
合格するには800点以上が必要だ。

つまり、日本の中学・高校の英語教員は、海外では“教わるレベル”であり、
そういう人が教えているのだから、日本人の英語力が上がらないのもむべなるかな、である。
www.news-postseven.com/archives/20110216_12823.html

244 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 19:58:26 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
f：A → A/I を標準写像とする。
写像 ψ：Spec(A/I) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する(>>240参照)。
このとき ψ は Spec(A/I) と V(I) (>>222) の位相同型を引き起こす。

証明
ψ が Spec(A/I) から V(I) への全単射 φ を引き起こすことは明らかである。
>>240より φ は連続である。
Spec(A/I) の任意の閉集合は V(J/I) の形である。
ここで J は A のイデアルで I ⊂ J である。
このとき φ(V(J/I)) = V(J) ⊂ V(I) である。
よって、φ は閉写像である。
よって、φ は位相同型である。
証明終

245 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 20:29:53 ]
定義
X を位相空間とする。
X の各連結成分が１点のみからなるとき X を完全不連結(totally disconnected)と言う。

246 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 20:30:57 ]
命題
A をBoole環(>>6)とする。
任意の a ∈ A に対して b = 1 + a とおく。
このとき、D(a) ∩ D(b) = φ かつ Spec(A) = D(a) ∪ D(b) である。

証明
ab = 0 である。
よって、>>227より、D(a) ∩ D(b) = D(ab) = D(0) = φ

他方、a + b = 1 と>>225より、D(a) ∪ D(b) = D(a, b) = D(1) = Spec(A)
証明終

247 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 20:55:11 ]
命題
A をBoole環(>>6)とする。
Spec(A) (>>222) は完全不連結(>>245)なコンパクト空間である。

証明
>>238より Spec(A) は準コンパクトである。

P, Q ∈ Spec(A)、P ≠ Q とする。
>>75より P と Q は極大イデアルである
よって、Q ⊂ P では有り得ない。
よって、a ∈ Q、a ∈ Spec(A) - P となる a ∈ A がある。
即ち P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a)
一方、>>246より Spec(A) - D(a) は開集合である。
よって、Spec(A) はHausdorff空間である。

任意の P ∈ Spec(A) に対して P を含む Spec(A) の連結成分を S とする。
S が P 以外の点 Q を含むとする。
上記より P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a) となる a ∈ A がある。
V = Spec(A) - D(a) とおく。
V は開集合である。
S = (S ∩ D(a))∪(S ∩ V) であるが、D(a) と V は交わらないから S が連結であることに矛盾する。
よって、Spec(A) は完全不連結である。
証明終

248 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/16(水) 20:58:50 ]
定義
完全不連結(>>245)なコンパクト空間をStone空間と言う。

249 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 05:59:34 ]
命題
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。

証明
自明である。

250 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 06:44:15 ]
定義
X を位相空間とする。
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U があるとき
X を完全分離(totally separated)と言う。



251 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 06:56:40 ]
定義
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる開集合 U に対して x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が
存在するとき X を０次元と言う。

252 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 07:07:27 ]
>>251の修正

定義
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき X を０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が存在するとき X を０次元と言う。

253 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/17(木) 09:30:07 ]
うるさい

254 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/17(木) 10:20:03 ]
米ＴＶ女性記者への集団性的暴行に国際団体が「殺人に等しい」と非難声明

・報道権利擁護を訴える国際団体「プレス・エンブレム・キャンペーン」（ＰＥＣ、
　本部ジュネーブ）は１６日、エジプトで反政府デモを取材していた米ＣＢＳニュースの
　女性記者が、カイロ市内で集団性的暴行を受けた暴行事件に関して「殺人に等しい」と
　厳しく非難する声明を発表した。

　英字紙などによると、ＰＥＣは、エジプトでの混乱をめぐり、外国人報道関係者の
　人権が完全に侵害されたのは今回が初めてとして非難。報道関係者を狙ったすべての
　暴行事件の調査を即座に始めるよう訴えている。

　暴行されたのは、ＣＢＳ番組「６０ミニッツ」を担当していたララ・ローガン記者（３９）。
　ＣＢＳによると、同記者ら取材班がムバラク前大統領の辞任直後の１１日、タハリール広場で
　デモを取材中、２００人以上の群衆に包囲され、同記者は取材班らと引き離された上で
　殴られたり性的暴行を受けた後、現場にいた女性たちやエジプト軍兵士に救助された。
　sankei.jp.msn.com/world/news/110217/mds11021708080000-n1.htm

※画像：CBSのララ・ローガン記者（ロイター）
　sankei.jp.msn.com/images/news/110217/mds11021708080000-p1.jpg

255 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/17(木) 10:21:13 ]
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256 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 11:12:18 ]
定義
X を位相空間とする。
x、y ∈ X、y ∈ cl({x}) とする。
ここで、cl({x}) は {x} の閉包である。
このとき y は x の特殊化(specialization)と言い、
x は y の一般化(generalization)と言う。
y が x の特殊化であることを x → y と書く場合がある。

257 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 11:21:05 ]
定義
X を位相空間とする。
E を X の閉集合とする。
x を E の点とし、cl({x}) を {x} の X における閉包とする。
E = cl({x}) となるとき x を E の生成点(generic point)と言う。

258 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 11:26:32 ]
定義(過去スレ001の205の再記)
位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合
F_1, F_2 で X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間は可約でないとき既約という。

位相空間 X の部分集合 A が既約とは、A に部分空間としての位相を
いれたときに、既約なことをいう。

259 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 11:30:06 ]
定義
X を位相空間とする。
X の任意の既約閉集合(>>258)が生成点(>>257)を一意に持つとき X は穏和(sober)であると言う。

260 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 12:02:00 ]
記法
A を単位元を持つ可換環とする。
A の冪零元の全体を冪零元根基(nilradical)と言い nil(A) と書く。



261 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 12:05:21 ]
定義(過去スレ001の206の再記)
A を単位元を持つ可換環とする。
nil(A) (>>260) が 0 のとき A を被約(reduced)と言う。

262 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 12:41:21 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
nil(A) (>>260) は A のイデアルである。

証明
a, b ∈ nil(A)、a^n = 0、a^m = 0 とする。
２項定理より、(a + b)^(n + m - 1) は (a^i)(b^j)、i + j = n + m - 1 の形の項の
整数係数の和である。
i ＜ n、j ＜ m なら i + j ＜ n + m - 1
よって、i + j = n + m - 1 なら i ≧ n または j ≧ m
よって、(a + b)^(n + m - 1) = 0
よって、a + b ∈ nil(A)

a ∈ nil(A)、a^n = 0 のとき任意の c ∈ A に対して (ca)^n = (c^n)(a^n) = 0
よって、ca ∈ nil(A)

以上から nil(A) は A のイデアルである。
証明終

263 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 12:59:03 ]
注意
A を単位元を持つ可換環とする。
過去スレ001の163より nil(A) (>>260) は A のすべての素イデアルの共通集合と一致する。
これからも>>262は得られる。
しかし、過去スレ001の163はZornの補題を本質的に使っている。

I を A のイデアルとする。
上記から rad(I) (>>229) は I を含むすべての素イデアルの共通集合である。
>>234はこの事実を暗黙に使っている。

264 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 13:15:43 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
このとき、Spec(A) が既約(>>258) ⇔ nil(A) (>>260)が素イデアル

証明
過去スレ001の208で証明済みである。

265 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 14:07:20 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は穏和空間(>>259)である。

証明
I を A のイデアルとし E = V(I) が既約(>>258)であるとする。
>>244より Spec(A/I) は既約である。
>>264より P = rad(I) (>>229)は素イデアルである。
>>229より、E = V(P) である。
>>232より、V(P) は {P} の閉包である。
よって、P は E の生成点(>>257)である。
>>237より E の生成点は E により一意に決まる。
証明終

266 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/17(木) 16:20:25 ]
うるさい

じゃかあしいんじゃ

267 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 16:38:30 ]
定義
X を位相空間とする。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が以下の性質を満たすとき X を連接空間(coherent space)と呼ぶ。

(1) KΩ は X の位相の基底である。

(2) X ∈ KΩ

(3) U、V ∈ KΩ のとき U ∩ V ∈ KΩ

268 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 16:48:55 ]
命題
完全不連結(>>245)な位相空間は T_1 空間(過去スレ018の233)である。

証明
任意の位相空間の連結成分は閉集合であることから明らかである。

269 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 16:56:06 ]
命題
完全分離(>>250)な位相空間はHausdorffかつ完全不連結(>>245)である。

証明
X を完全分離な位相空間とする。
X がHausdorffであることは明らかである。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
X の部分空間 {x, y} は連結でない。
よって、X は完全不連結である。
証明終

270 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/17(木) 17:11:39 ]
命題
０次元(>>252)の T_0 空間は正則(過去スレ006の210)（従ってHausdorff）である。

証明
X を０次元の T_0 空間とする。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X は T_0 空間だから、
x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U となる開集合 U がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は０次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
y ∈ X - V であり、X - V は開集合だから X はHausdorffである。

E を X の閉集合で x ∈ X - E とする。
X - E は開集合だから x ∈ W ⊂ X - E となる開かつ閉な W がある。
E ⊂ X - W で X - W は開集合であるから X は正則である。
証明終



271 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 07:23:13 ]
補題
X を位相空間とする。
x、y ∈ X とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在しないとき
x ≡ y と書く。
このとき、≡ は X における同値関係である。

証明
推移律のみ証明すればよい。
x ≡ y かつ y ≡ z とする。
x ∈ U、z ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在するとする。
y が U に含まれないなら y ∈ V となって x ≡ y に反する。
よって、y ∈ U である。
同様に y ∈ V である。
これは U ∩ V = φ に反する。
よって、x ≡ z である。
証明終

272 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 07:49:40 ]
定義
X を位相空間とする。
X における>>271の同値関係 ≡ による同値類を X の準連結成分(quasi-component)と呼ぶ。

273 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 08:06:20 ]
命題
X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の準連結成分(>>272)は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
x を含む X の準連結成分を Q とする。
S を x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合とする。
U を x を含む開かつ閉な部分集合とする。
Q ⊂ U でないとすると y ∈ Q - U となる y がある。
V = X - U とおけば V は開集合であり、
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となり x ≡ y に矛盾である。
よって、Q ⊂ U である。
よって、Q ⊂ S である。

逆に、y ∈ S のとき x を含む任意の開かつ閉な部分集合 U に対して y ∈ U であるから
x ≡ y である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終

274 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 08:17:02 ]
命題
X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の連結成分 S は x を含む X の準連結成分(>>272) Q に含まれる。

証明
y ∈ S とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる X の開集合 U、V が存在するとする。
x ∈ S∩U、y ∈ S∩V、S = (S∩U)∪(S∩V)、(S∩U)∩(S∩V) = φ となる。
これは S が連結であることに反する。
よって、y ∈ Q である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終

275 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 09:21:00 ]
うるさい

276 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 09:51:33 ]
補題
X を準コンパクト(過去スレ006の104)な位相空間とする。
U を X の開集合とする。
(F_i)、i ∈ I を X の閉集合の族で ∩F_i ⊂ U とする。
このとき I の有限部分集合 J があり ∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。

証明
X の部分集合 E に対して E^c = X - E と書く。
U^c ⊂ ∪(F_i)^c である。
U^c は閉集合であるから準コンパクトである。
よって、I の有限部分集合 J があり U^c ⊂ ∪{(F_i)^c ； i ∈ J} ⊂ U となる。
よって、∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。
証明終

277 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 10:21:52 ]
命題(Sura-Bura 1941)
X をコンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
X の任意の連結成分は X の準連結成分(>>272)である。

証明
x を X の任意の点とし、S を x を含む X の連結成分とする。
>>274より S は X の準連結成分 Q に含まれる。
Q が連結であることを証明すればよい。
>>273より、Q は閉集合である。
Q = A ∪ B、A ∩ B = φ となる閉集合 A、B があるとする。
x ∈ A とする。
X はコンパクトだから過去スレ007の664より X は正規空間(過去スレ007の663)である。
よって、A ⊂ U, B ⊂ V となる開集合 U, V で U ∩ V = φ となるものがある。
>>273より Q は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
Q ⊂ U ∪ V であるから、>>276より x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり、
F = F_1 ∩．．．∩ F_n は U ∪ V に含まれる。
よって、F = (F ∩ U)∪(F ∩ V)、(F ∩ U)∩(F ∩ V) = φ
F は開かつ閉だから F ∩ V は開集合である。
よって、F ∩ U = F - (F ∩ V) は開かつ閉である。
x ∈ F ∩ U だから Q ⊂ F ∩ U ⊂ U である。
よって、B ⊂ U ∩ V = φ
よって、B = φ
よって、Q は連結である。
証明終

278 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 11:34:12 ]
うるさい
潰すよ？

279 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 11:51:16 ]
補題
既約(>>258)なHausdorff空間は一点のみからなる。

証明
X を既約なHausdorff空間とする。
X は空でないから少なくとも一点 x を含む。
X が x と異なる点 y を含むとする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在する。
しかし、X は既約だから U ∩ V ≠ φ である。
よって、X = {x} である。
証明終

280 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 11:53:24 ]
うるさい



281 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 11:59:51 ]
命題
X を位相空間とする。
以下の条件は同値である。

(1) X はStone空間(>>248)である。

(2) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で完全分離(>>250)である。

(3) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で０次元(>>252)の T_0 空間(過去スレ018の223)である。

(4) X はHausdorffで穏和(>>259)な連接空間(>>267)である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>277より明らかである。

(2) ⇒ (1)
>>269より明らかである。

(1) ⇒ (3)
X が準コンパクトでT_0 空間であることは自明である。
>>277より X の任意の点 x に対して {x} は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
よって、>>276より x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり ∩F_i ⊂ U となる。
∩F_i は開かつ閉であるから X は０次元である。

(続く)

282 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 12:00:45 ]
>>281の続き

(3) ⇒ (2)
X は T_0 だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U
となる開集合がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は０次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
このとき y ∈ X - V だから X は完全分離である。

(3) ⇒ (4)
上記から X はコンパクトであるから X の準コンパクト集合全体と X の閉集合全体は一致する。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、X は連接空間である。
X はHausdorff空間だから>>279より X の既約部分集合は一点からなる。
よって、X は穏和である。

(4) ⇒ (3)
X はHausdorff連接空間だからコンパクトである。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、０次元である。
証明終

283 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 12:12:25 ]
うっさいねん
いい加減にせえや

284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/18(金) 12:26:27 ]
くんまーさん、今日も精が出ますね。
ﾏﾀｰﾘ読ませてもらっとります。

285 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 12:32:15 ]
補題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) の開集合 U が準コンパクトであるためには A の有限生成イデアル I により
U = D(I) となることが必要十分である。

証明
必要性：
A の部分集合 S があり U = D(S) (>>222)となる。
>>225の(4)より、U = ∪{D(a)； a ∈ S} となる。
U は準コンパクトであるから S の有限部分集合 T があり U = ∪{D(a)； a ∈ T} となる。
>>225の(4)より、U = D(T) となる。
T で生成されるイデアルを I とすれば >>225の(3)より、U = D(I) となる。

十分性：
I = (a_1、．．．、a_n) を A の有限生成イデアルとする。
>>225の(4)より、D(I) = D(a_1)∪．．．D(a_n) である。
>>238より各 D(a_i) は準コンパクトである。
よって、D(I) は準コンパクトである。
証明終

286 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 12:47:01 ]
補題
A を単位元を持つ可換環とする。
U と V を Spec(A) の準コンパクトな開集合とする。
このとき U∩V は準コンパクトである。

証明
>>285より A の有限生成イデアル I、J により U = D(I)、V = D(J) と書ける。
>>227より、D(IJ) = D(I)∩D(J) である。
I = (a_1、．．．、a_n)、J = (b_1、．．．、b_m) とすると、
IJ = ({a_ib_j； i = 1、．．．、n、j = 1、．．．、m}) である。
よって、IJ は有限生成である。
よって、>>285より U∩V = D(I)∩D(J) は準コンパクトである。
証明終

287 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 13:04:29 ]
命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は穏和(>>259)な連接空間(>>267)である。

証明
X = Spec(A) とおく。
>>265より X は穏和(>>259)である。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が>>267の条件を満たすことを証明すればよい。

(1) a ∈ A、D(a) (>>223) の形の集合全体は X の位相の基底である。
>>238より各 D(a) は準コンパクトであるから D(a) ∈ KΩ である。
よって、KΩ は X の位相の基底である。

(2) D(1) = X は準コンパクトであるから X ∈ KΩ である。

(3) U、V ∈ KΩ のとき>>286より U ∩ V ∈ KΩ である。
証明終

288 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 14:34:06 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
A の有限生成イデアルは単項イデアルである。

証明
I を A の有限生成イデアルとする。
>>44より A は一般Boole代数(過去スレ021の373)と見なせる。
>>107より I は順序集合としての A のイデアル(過去スレ021の527)である。
よって、>>137より I は単項イデアルである。
証明終

289 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 15:11:57 ]
命題(Stoneの表現定理)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
>>44より A はBoole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) とおく。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
>>247より、X はStone空間(>>248)、特にHausdorff空間である。
>>238より任意の a ∈ A に対して D(a) は準コンパクトであるから D(a) ∈ S(X) である。
写像 ρ：A → S(X) を ρ(a) = D(a) で定義する。
このとき ρ はBoole代数の同型である。

証明
>>204よりρ：A → S(X) はBoole代数の単射準同型である。
他方、任意の U ∈ S(X) は準コンパクトであるから
>>285より、A の有限生成イデアル I により U = D(I) となる。
>>288より I は単項イデアルであるから ρ：A → S(X) は全射である。
証明終

290 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 16:13:42 ]
ほもっぽいな



291 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 16:30:35 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
f：A → Z_2 を任意の指標(>>90)とする。
このとき f はBoole代数としての準同型(>>30)である。

証明
f(1) = 1 を証明すればよい。
f(1) = 0 と仮定する。
任意の a ∈ A に対して f(a) = f(a∧1) = f(a)∧f(1) = f(a)∧0 = 0
これは f ≠ 0 に反する。
証明終

292 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/18(金) 17:18:29 ]
補題
X を任意の空でない集合とする。
Φ を X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
Φ は包含関係により一般Boole代数(過去スレ021の373)と見なせる。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して写像 x＾：Φ → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
このとき、x＾は Φ の指標(>>90)である。

証明
>>44より Φ は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。

E、F ∈ Φ のとき
χ_(E∩F)(x) = (χ_E)(x)(χ_F)(x)
χ_(EΔF)(x) = (χ_E)(x) + (χ_F)(x)
である。
よって、
x＾(E∩F) = x＾(E)x＾(F)
x＾(EΔF) = x＾(E) + x＾(F)
よって、x＾：Φ → Z_2 は一般Boole環としての準同型である。

x ∈ ∪Φ であるから x ∈ E となる E ∈ Φ がある。
x＾(E) = χ_E(x) = 1 であるから x＾ ≠ 0 である。
よって、x＾は一般Boole環としての Φ の指標(>>76)である。
よって、>>44より x＾ は一般Boole代数としての Φ の指標である。
証明終

293 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 18:49:10 ]
猫来るな！

294 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 18:59:26 ]
猫うるさいぞ！

295 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 07:21:21 ]
補題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
F を A の部分集合とする。
F’= {a’；a ∈ F} とおく。
このとき、以下が成り立つ。

(1) F はフィルター(過去スレ021の527) ⇔ F’はイデアル(過去スレ021の527)

(2) F は素フィルター(>>97) ⇔ F’は素イデアル(>>100)

(3) F は極大フィルター(>>96) ⇔ F’は極大イデアル(>>99)

証明
a ∈ A に a の補元 a’を対応させる写像は A の対合(過去スレ021の424)であることから明らか。

296 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 07:30:00 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
F ≠ A を A のフィルター(過去スレ021の527)とする。
以下の条件は同値である。

(1) 任意の a ∈ A に対して a ∈ F または a’∈ F

(2) F は素フィルターである。

(3) F は極大フィルターである。

証明
(1) ⇒ (2)
a ∈ A - F、b ∈ A、a∨b ∈ F とする。
a’∈ F だから a’∧(a∨b) ∈ F
a’∧(a∨b) = (a’∧a)∨(a’∧b) = 0∨(a’∧b) = a’∧b
よって、a’∧b ∈ F
a’∧b ≦ b だから b ∈ F
よって、F は素フィルターである。

(2) ⇒ (1)
任意の a ∈ A に対して a∨a’= 1 ∈ F
よって、a ∈ F または a’∈ F

(2) ⇔ (3)
>>75と>>203と>>295による。
証明終

297 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 08:11:05 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
f を A の任意の指標(>>90)とする。
このとき F = {x ∈ A；f(x) = 1} は A の極大フィルター(>>96)である。

証明
F’= {x’；x ∈ F} とおく。
任意の a ∈ A に対して f(a) = 1 ⇔ (f(a))’ = 0 ⇔ f(a’) = 0
よって、F’= {a ∈ A；f(a) = 0} である。
よって、F’は A の極大イデアルである(>>79)。
よって、>>296より F は A の極大フィルターである。
証明終

298 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 08:20:23 ]
補題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
任意の x ∈ X に対して写像 x＾：S(X) → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
X ∈ S(X) であるから、>>292より x＾∈ S(X)＾である。
このとき、写像 x → x＾は X から S(X)＾への全単射である。

証明
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
>>281より、X は完全分離(>>250)であるから、
x ∈ U、y ∈ X - U となる U ∈ S(X) がある。
x＾(U) = 1、y＾(U) = 0 だから x＾≠ y＾である。
よって、写像 x → x＾は単射である。

f ∈ S(X)＾を任意の指標とする。
Ψ = {E ∈ S(X)；f(E) = 1} とおく。
>>297より、Ψ は S(X) の極大フィルター(>>96)である。
Ψ は空集合を含まないから Ψ に属す有限個の集合は必ず交わる。
Ψ の各元は閉集合であり X はコンパクトだから ∩Ψ ≠ 0 である。
x ∈ ∩Ψ とする。
Ψ ⊂ {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
Ψ は極大フィルターだから Ψ = {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
よって、f = x＾ である。
よって、写像 x → x＾は全射である。
証明終

299 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 10:16:02 ]
命題
I を集合とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
I から ε への写像の全体を ε^I とする。
F に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。
このとき ε^I はStone空間(>>248)である。

証明
X = ε^I とおく。
X はTychonoffの定理(過去スレ009の432)より準コンパクトである。
X はHausdorff空間 ε の直積であるからHausdorff空間である。

S を I の任意の有限部分集合とし α：S → ε を任意の写像とする。
U(α, S) = {f ∈ X； 各 i ∈ S に対して f(i) = α(i)} とおく。
U(α, S) の形の集合全体は X の位相の基底である。
各 i ∈ I に対して
D(i) = {f ∈ X； f(i) = 1}
V(i) = {f ∈ X； f(i) = 0}
とおく。
D(i) および V(i) は X の開集合であり V(i) = X - D(i) である。
よって D(i) および V(i) は X の開かつ閉な部分集合である。
上記の U(α, S) は D(i) または V(i) の有限個の共通集合であるから
X の開かつ閉な部分集合である。
よって、X は０次元(>>252)である。

以上から X は>>281の条件(3)を満たす。
よって、X はStone空間(>>248)である。
証明終

300 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 11:24:07 ]
>>299
>F に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。

ε に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。



301 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 11:44:11 ]
命題
A をBoole環(>>6)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A の指標(>>90)の全体 X(A) は ε^A の部分集合であるから ε^A の部分空間としての位相が入る。
一方、>>79より f ∈ X(A) に Ker(f) を対応させることにより
X(A) から Spec(A)（>>78）への全単射 ψ が得られる。
このとき ψ は位相同型である。

証明
任意の a ∈ A に対して a＾= {f ∈ X(A)； f(a) = 1} とおく。
>>88より、a、b ∈ A のとき (ab)＾= (a＾)∩(b＾)
一方、(a’)＾ = {f ∈ X(A)； f(a’) = 1} = {f ∈ X(A)； f(a) = 0} である。
よって、>>299の証明より {a＾； a ∈ A} は X(A) の位相の基底である。

他方、>>225の(4)より、{D(a)； a ∈ A} は Spec(A) の位相の基底である。
任意の a ∈ A に対して
ψ^(-1)(D(a)) = {f ∈ X(A)； f(a) = 1} = a＾
よって、ψ は位相同型である。
証明終

302 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 11:52:10 ]
命題
A をBoole環(>>6)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A の指標(>>90)の全体 X(A) は ε^A の閉集合である。

証明
>>301よりε^A の部分空間としての X(A) の位相は Spec(A) と位相同型である。
他方、>>247より Spec(A) はコンパクトである。
ε^A はHausdorff空間であるから Spec(A) は閉集合である。
証明終

303 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 12:17:18 ]
命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
>>298より x ∈ X に x＾∈ S(X)＾を対応させる写像 γ：X → S(X)＾は全単射である。
一方、ε = {0, 1} を２元体としたとき S(X)＾は ε^S(X) (>>299)の部分空間としての位相が入る。
このとき、γ：X → S(X)＾は位相同型である。

証明
任意の E ∈ S(X) に対して E＾= {f ∈ S(X)＾； f(E) = 1} とおく。
x ∈ X のとき γ(x) ∈ E＾ ⇔ x＾(E) = 1 ⇔ x ∈ E
よって、γ^(-1)(E＾) = E
>>299の証明より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。
他方、X はStone空間であるから>>281の条件(3)より S(X) は X の位相の基底である。
よって、γ：X → S(X)＾は位相同型である。
証明終

304 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 13:09:32 ]
定義
A をBoole代数とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A＾を A の指標(>>90)の全体とする。
A＾ は ε^A の部分空間としての位相を入れることにより位相空間となる。
このとき、位相空間 A＾ を A の指標空間と言う。

305 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 13:58:41 ]
命題
BoolをBoole代数(過去スレ021の336)の圏とする。
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
>>46より、Bool はCommRng(>>242)の充満(過去スレ017の362)な部分圏と見なせる。
よって、>>240より P ∈ Spec(B) に f^(-1)(P) ∈ Spec(A) を対応させることにより
写像 Spec(f)：Spec(B) → Spec(A) が得られる。
よって、A ∈ Bool に Spec(A) ∈ Set を対応させることにより
関手 Spec：(Bool)^o → Set が得られる。
ε = {0, 1} を２元体とする。
このとき、関手 Spec は (ε, 0) により表現可能(過去スレ017の653)である。

証明
A ∈ Bool のとき Hom(A, ε) は A の指標全体 X(A) である。
>>79より χ ∈ X(A) に Ker(χ) を対応させることにより
X(A) から Spec(A) への全単射が得られる。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
χ ∈ X(B) のとき x ∈ Ker(χf) ⇔ χf(x) = 0 ⇔ f(x) ∈ Ker(χ) ⇔ x ∈ f^(-1)( Ker(χ))
よって、Ker(χf) = f^(-1)( Ker(χ))
よって、次の図式が可換である。

　X(B)　→　X(A)
　↓　　　　　↓
Spec(B)　→　Spec(A)

よって、関手 A → Hom(A, ε) と関手 A → Spec(A) は自然同型(過去スレ018の144)である。
このとき、1_ε ∈ Hom(ε, ε) には 0 イデアル ∈ Spec(ε) が対応する。
証明終

306 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 14:35:48 ]
命題
BoolをBoole代数(過去スレ021の336)の圏とする。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
A と B の指標空間(>>304)をそれぞれ A＾、B＾とする。
χ ∈ B＾に χf ∈ A＾を対応させることにより写像 f＾：B＾ → A＾が得られる。
このとき f＾は連続である。

証明
直接証明するのも簡単だが次のようにも証明出来る。
>>301より A＾ は Spec(A) と位相同型である。
よって、本命題は>>240と>>305より明らかである。
証明終

307 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/19(土) 17:08:36 ]
指標空間の双対空間はどのように定義されるんですか？

308 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/19(土) 17:21:17 ]
>>307
指標空間の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数です。
これについて詳しいことはこれからやります。

309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 01:34:11.30 ]
日本語でおk

310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 01:50:20.16 ]
rde




311 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 04:05:10.11 ]
>>309
（指標空間の双対空間は）指標空間の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数です。

312 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 05:45:06.53 ]
命題
X と Y を位相空間とし、f：X → Y を連続写像とする。
S(X) と S(Y) をそれぞれ X と Y の開かつ閉な部分集合全体とする。
>>249より S(X) と S(Y) はそれぞれ包含関係に関してBoole代数(過去スレ021の336)となる。
E ∈ S(Y) のとき f^(-1)(E) ∈ S(Y) である。
よって、E ∈ S(Y) に f^(-1)(E) ∈ S(Y) を対応させる写像 f^(-1)：S(Y) → S(X) が得られる。
このとき f^(-1)：S(Y) → S(X) はBoole代数の準同型(>>30)である。

証明
自明である。

313 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 06:27:17.91 ]
命題(Stoneの表現定理)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の指標空間(>>304)を A＾とする。
A＾の開かつ閉な部分集合全体を S(A＾) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
任意の a ∈ A に対して a＾ = {χ ∈ A＾；χ(a) = 1} とおく。
このとき、a＾ ∈ S(A＾) であり、
写像 ρ：A → S(A＾) を ρ(a) = a＾ で定義すると、
ρ はBoole代数の同型である。

証明
>>289と>>301より明らかである。

314 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 06:31:54.50 ]
命題(Stoneの双対定理)
Boole代数(過去スレ021の336)の圏をBoolとする。
(Bool)^o をBoolの双対圏(過去スレ017の352)とする。
Stone空間(>>248)とその間の連続関数のなす圏をStoneとする。
>>306より A ∈ Bool に A の指標空間(>>304) A＾を対応させることにより
関手 Γ：(Bool)^o → Stone が得られる。
他方、>>312より、X ∈ Stone に X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数 S(X) を
対応させることにより関手 Σ：Stone → (Bool)^o が得られる。

このとき Σ は Γ の準逆関手(過去スレ017の394)である。
即ち、ΣΓ ～ 1_(Bool)^o、ΓΣ ～ 1_Stone である。
ここで、1_(Bool)^o と 1_Stone はそれぞれ (Bool)^o と Stone の恒等関手であり、
～ は自然同型(過去スレ018の144)を表す。
よって、(Bool)^o と Stone は圏同値(過去スレ017の404)である。

証明
>>313と>>303より明らかである。

315 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 09:12:37.14 ]
Stoneの双対定理(>>314)より
Boole代数の代数的性質はその指標空間の位相的性質に対応し、
Stone空間の位相的性質はその開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数の代数的性質に対応する。
その例をいくつか述べる。

316 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 09:35:35.12 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とし、A＾をその指標空間(>>304)とする。
このとき以下は同値である。

(1) A は有限である。

(2) A＾は有限である。

(3) A＾の位相は離散である。

証明
(1) ⇒ (2)
自明である。

(2) ⇒ (1)
Stoneの双対定理(>>314)より A は A＾の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数と同型である。
よって、A＾が有限なら A も有限である。

(2) ⇒ (3)
A＾はStone空間(>>248)、従ってHausdorff空間であるから A＾の各点は閉集合である。
よって、A＾が有限なら A＾の各点は開集合である。
よって、A＾の位相は離散である。

(3) ⇒ (2)
A＾が離散なら A＾の各点は開集合である。
A＾はコンパクトであるから A＾は有限である。
証明終

317 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 10:30:43.71 ]
うるさい

318 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 11:13:41.66 ]
たとえ馬鹿でも「こういう立派な数学の議論」がウルサイのかァ。アホ
は憐れやナ。

猫


319 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 11:25:35.77 ]
元院生に謝罪しろ


320 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 11:46:03.44 ]
>>319
そやからオマエの名前と理由を出せっちゅうてるのや。オマエには脳は
付いとんのかァ！　ちゃんと読めや、この糞馬鹿め。

猫




321 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 11:58:11.91 ]
>>319
コラァ、サッサと返事をシロ。

猫


322 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 14:04:48.18 ]
元院生に謝罪しろ

323 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 14:08:05.65 ]
>>322
そやからオマエの名前と謝罪の理由を書けっちゅうてるのや。この陰湿
な卑怯者め。

猫


324 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 14:44:19.40 ]
脅迫罪だな　これは

325 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 15:06:11.61 ]
>>324
そやから言うてるのや。裁判所へ訴えろや。ワシかて出頭したるがな。
ほしたらワシが脅迫とか恐喝みたいなカキコを掘り起こして騒ぎを大き
くしたるさかいナ、今後は２ちゃんではそういうカキコが出来なくナル
っちゅう事やろうナ。そやからワシはソレは大歓迎やがな。

サッサと手続きをせえやナ。

猫


326 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 15:08:43.90 ]
謝罪せよ

327 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 15:14:26.05 ]
>>326
誰が誰に対してどういう理由で謝罪をスルのかを論理的に申し述べて下さい。
返事の記述が書き込まれるまで私が貴方を徹底追尾します。

猫


328 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 15:31:06.55 ]
謝罪するのだ

わかったな

329 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 15:35:30.52 ]
>>328
なるほど。では：
１．貴方の所属とお名前。
２．誰が誰に対して謝罪スルのか。
３．その理由を論理的に明確に記述。
を条件として満たして戴きます。事と次第によっては私が貴方を逆告訴
スル可能性がアリマスが、ソレは貴方からの返答を受けてから分析スル
事になります。

お返事をお待ちします。

猫


330 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 15:38:24.74 ]
>>328
コラァ、返事をシロ。

猫




331 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 15:38:51.19 ]
ん？　脅迫するの？

332 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 15:40:09.35 ]
おれはますだだ

おまえなぞに用はない

333 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 15:42:10.93 ]
哲也はどこにおる？
おったら返事をしてくれ



334 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 15:43:33.62 ]
おい、猫は来るな

335 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 15:44:52.97 ]

75 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY ：2011/02/20(日) 15:40:19.50
ではそんな程度の人達が大学院に行って、そのアトはどうなるんでしょうか？
やっぱり大量に崩れるとかですかね？

猫


＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

おまえがつぶしたんだろ、因縁つけて
謝罪しろ　

336 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 16:54:26.26 ]
>>335
大学院生というのは「教官が潰す」のではなくて『自滅スル』というだ
けですね。何故ならば大学院という場所は「誰かに教えて貰う場所」で
はなくてですね、あくまでも：
★★★『自分の意思で自発的に勉強なり研究なりをスル所』★★★
だからですね。なので自分の無能を棚に上げて自滅しただけなのを因縁
を付けて文句を言う様な馬鹿院生は潰れても当然であり、従ってネット
で騒ぐ程度しか能が無い馬鹿だから今後はワシが意図して撲滅します。
即ち大学院という所は：
★★★『自分から勉強を自主的にスルという事が出来ない
　　　　　　　　　　　　無能な馬鹿者が行く所ではアリマセン』★★★
私はこのポリシーの下に今後を取り締まりと攻撃を強化します。だから
貴方は私の追跡の標的になります。

猫


337 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 17:25:06.11 ]
元院生に謝罪しろ

338 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 17:27:48.90 ]
鳩山氏「真理に導く手段の意」　方便発言で

　民主党の鳩山由紀夫前首相は２０日、米軍普天間飛行場（沖縄県宜野湾市）の県外移
設断念の理由に米海兵隊の抑止力を挙げたのは「方便だった」と発言したことについて
「方便とは真理に導くための手段のことだ。真理とは、すなわち（名護市）辺野古への
移設で、そこに導くための手段として『抑止力』と言った」と釈明した。北海道伊達市
内での後援会会合で語った。

　県外移設断念の経緯をめぐっては「普天間の海兵隊ヘリ部隊の役割は決して敵を襲う
ものでなく、（当初は）それを抑止力と言い切るのは無理があると思った。しかし地上
部隊とヘリ部隊は密接で離せないとの米側の理屈、さらに空軍、海軍、海兵隊パッケー
ジ全体が抑止力だとの言われ方をすると、なるほどと（考えた）」とした。

　さらに「私の考え方は正しいと思っているが、正しくないなら、いろいろお聞かせ願
いたい」とも述べた。

■ソース（共同通信）02/20 16:28
www.47news.jp/CN/201102/CN2011022001000220.html

339 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 17:28:42.17 ]

猫と鳩山はおつむが似ているね



340 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 17:29:32.95 ]
542 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY ：2011/02/20(日) 17:22:27.91
>>541
だったらちゃんと代数幾何関係の数学の書き込みをしなさいよ。そうで
はない馬鹿な書き込みがアルから焼け野が原にナルんですよ。しかもソ
レは私からではなくてですね、貴方達が糞みたいな書き込みをスルから、
ソレに対する報復とか逆襲をした結果として致し方無くも焼け野が原に
なってしまうだけでなんすね。だから焼け野が原にしない為には貴方達
が馬鹿な書き込みを一切やめて代数幾何に関する数学の書き込みだけを
スレば誰もココを焼け野が原にしようとは思わないと思いますね。

結果は貴方達次第ですね。私はずっと監視して見張ってますので。

猫




341 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 17:30:05.29 ]
>>335
コラァ、サッサと返事をシロ。この糞馬鹿め。

猫


342 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 17:30:20.74 ]
命題
全有界(過去スレ006の302)な距離空間は可分(過去スレ006の110)である。

証明
(X, d) を全有界な距離空間とする。
X の部分集合 E は、ある実数ε＞ 0 があり、X の各点 x に対して E の点 a で
d(x, a) ＜ ε となるものがあるときε網という。
X は全有界だから、任意のε＞ 0 に対して有限なε網 A_ε がある。
A = ∪{A_(1/n)；n = 1、2、．．．} とおく。
A は可算で X において稠密である。
証明終

343 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 17:30:36.11 ]
脅迫発言をやめるように進言する

聞き入れない場合には、管理者に通報する


344 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 17:34:49.20 ]
>>343
では一刻も早く管理者サンに通報して下さいませ。それで管理者サンか
らの返答がありましたら迅速にココにコピペして下さいまし。

楽しみにして待って居りますワ。

猫


345 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 18:02:23.88 ]
命題
距離付け可能(過去スレ007の96)で可分(過去スレ006の110)な位相空間は
第二可算公理(過去スレ006の112)を満たす。

証明
X を距離付け可能で可分な位相空間とし、d をその位相と両立する距離とする。
任意の a ∈ X と任意の ε ＞ 0 に対して B(a, ε) = {x ∈ X； d(a, x) ＜ ε} とおく。
N = {n；n = 1, 2, . . . } を自然数全体の集合とする。
A を X の稠密な可算部分集合とする。
{B(a, 1/n)；(a, n) ∈ A×N} が X の開集合の基底であることを証明しよう。
U を X の任意の空でない開集合とする。
任意の x ∈ U に対して B(x, ε) ⊂ U となる ε ＞ 0 がある。
1/n ＜ ε/2 となる n ∈ N をとる。
A は稠密だから a ∈ B(x, 1/n) となる a ∈ A がある。
任意の y ∈ B(a, 1/n) に対して、
d(y, x) ≦ d(y, a) + d(a, x) ＜ 1/n + 1/n ＜ ε
よって、y ∈ B(x, ε)
よって、B(a, 1/n) ⊂ B(x, ε) ⊂ U
よって、U は B(a, 1/n) の形の開集合の合併である。
証明終

346 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 19:55:16.63 ]
命題
X をコンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
次の条件は同値である。

(1) X は距離付け可能(過去スレ007の96)である。

(2) X は第２可算公理を満たす。

証明
(1) ⇒ (2)
X の位相と両立する距離を d とする。
距離空間 (X, d) はコンパクトだから過去スレ006の313より全有界(過去スレ006の302)である。
よって、>>342より X は可分(過去スレ006の110)である。
よって、>>345より X は第２可算公理を満たす。

(2) ⇒ (1)
X の開集合の可算基底を Φ とする。
Γ_0 = {U×U；U ∈ Φ} とおく。
Γ を Γ_0 の有限個の元の合併となるような X×X の開集合の全体とする。

過去スレ006の322より X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造であり、
この一様構造で定まる位相は X の位相と一致する。

W を Δ ⊂ W となる X×X の開集合とする。
Δ の各点 (x, x) に対して (x, x) ∈ U×U ⊂ W となる U ∈ Φ がある。
X はHausdorff空間だから Δ は閉集合である。
X×X はコンパクトだから Δ はコンパクトである。
よって、Δ ⊂ V ⊂ W となる V ∈ Γ がある。
よって、Γ は X の可算基本近縁系(過去スレ006の195)である。
よって、過去スレ007の99より、X は距離付け可能である。
証明終

347 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 20:10:46.95 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とし、A＾をその指標空間(>>304)とする。
このとき以下は同値である。

(1) A は可算である。

(2) A＾は第２可算公理(過去スレ006の112)を満たす。

(3) A＾は距離付け可能(過去スレ007の96)である。

証明
(1) ⇒ (2)
Stoneの双対定理(>>314)より A は A＾の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数と同型である。
よって、A が可算なら A＾の開かつ閉な部分集合全体も可算である。
A＾はStone空間(>>248)であるから>>281より０次元(>>252)である。
よって、A＾は第２可算公理を満たす。

(2) ⇒ (1)
A＾の開集合の可算基底を Φ とする。
A＾の開かつ閉な部分集合全体を S(A＾) とする。
任意の U ∈ S(A＾) は Φ の元の合併となる。
A＾はStone空間であるから U はコンパクトである。
よって、U は Φ の元の有限個の合併となる。
よって、S(A＾) は可算である。
Stoneの双対定理(>>314)より A は S(A＾) とBoole代数として同型であるから A は可算である。

(2) ⇔ (3)
A＾はStone空間であるからコンパクトである。
よって、>>346より出る。
証明終

348 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 20:18:51.70 ]
定義
X を位相空間とする。
X の点 x は {x} が X の開集合であるとき X の孤立点(isolated point)であるという。

349 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 20:38:31.42 ]
猫は二度とあらわれるな
命令だ

350 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 20:40:20.15 ]
脅迫は許さない





351 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 20:42:00.39 ]
提訴まだああ？

352 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 20:46:07.35 ]
命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数を S(X) とする。
E ∈ S(X) が原子(過去スレ021の339)であるためには
X の孤立点(>>348) x により E = {x} となることが必要十分である。

証明
必要性：
U ∈ S(X) が原子であるとする。
x、y ∈ U、x ≠ y とする。
>>281より、X は完全分離(>>250)であるから、
x ∈ V、y ∈ X - V となる開かつ閉な V がある。
x ∈ U∩V で U∩V は開かつ閉である。
y ∈ U - (U∩V) だから U∩V ≠ U である。
これは U が原子であることに反する。
よって、U = {x} となる。
U は開集合だから x は X の孤立点である。

十分性：
自明である。
証明終

353 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 21:00:10.52 ]
>>349
『その命令』はアッサリと無視されるのや。

猫


354 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 21:08:03.08 ]
>>350
ではどの書き込みの何処がどの様に脅迫なんですかね？　ちゃんと説明
して貰えませんかね？

お返事をお待ちしています。

猫


355 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 21:11:42.06 ]
脅迫はゆるさんといっただろ

356 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 21:12:03.70 ]
命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数(過去スレ021の336)を S(X) とする。
このとき以下は同値である。

(1) S(X) は原子的(過去スレ021の342)である。

(2) X の孤立点(>>348)全体は稠密である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>352より S(X) の任意の空でない元 E は A＾ の孤立点を含む。
>>281より X は０次元(>>252)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、X の孤立点全体は稠密である。

(2) ⇒ (1)
S(X) の任意の空でない元 E は開集合であるから X の孤立点を含む。
よって、>>352より S(X) は原子的である。
証明終

357 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 21:12:28.86 ]
ますだあ

358 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/20(日) 21:15:12.54 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とし、A＾をその指標空間(>>304)とする。
このとき以下は同値である。

(1) A は原子的(過去スレ021の342)である。

(2) A＾の孤立点(>>348)全体は稠密である。

証明
Stoneの双対定理(>>314)より A は A＾の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数と同型である。
よって、本命題は>>356から明らかである。
証明終

359 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 21:19:19.92 ]
>>355
では『脅迫である』という事を事実として論理的に確定して、ソレを基に
して実力行使でもしてみたらどうでしょうかね。ご健闘をお祈りしますワ。

頭が悪くて大変やろうけんどナ、まあ頑張ってや！

猫


360 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 21:24:31.21 ]
頭悪い？　名誉毀損罪だな
そんなことを書いたら



361 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 21:26:33.83 ]
猫の書き込み禁止

362 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 21:43:41.56 ]
>>360
ではどうぞ訴えてくださいな、頭悪いサン。

猫


363 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 21:47:32.60 ]
>>361
その主張が全くの無意味である事はもうお判りですよね。

猫


364 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 23:23:12.40 ]
そうかね？
さっき管理人と話したら、おまえのことを注意していると言っていたよ

365 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/20(日) 23:27:35.69 ]
名誉毀損罪
脅迫罪
痴漢

この先どんだけの罪状がつみあがるのだろうか？

366 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/20(日) 23:47:12.88 ]
なるほど。では結果を楽しみに待っています。

猫


367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 00:12:26.64 ]
クソ野郎のせいでまたこの板が
つまらなくなるわ。
クソ野郎が。おれはおまえを本気で憎んでいる。
冗談抜きでな。絶対に許さない。
何度でも書き込めないようにしてやる。
クソ野郎。
クソ野郎。
クソ野郎。
クソ野郎！！！
クソ野郎！！！


368 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 01:19:17.59 ]
>>367
ワシかてオマエに報復してるだけや。そやけど考えてミロや。最初に戦い
を仕掛けて来たんはオマエ等の方や。そやからワシが馬鹿なオマエ等に対
して超シンプルに逆襲をしてるだけやがな。そやしちゃんと耐え忍べや。
ワシがオマエ等の苦しむ姿を眺めて酒の肴にしてるだけや。

精々苦しめやナ。

猫


369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 01:31:11.06 ]
>>368
テメーのことを言ってるんではないわ。
テメーなんぞどーでもいい。
自意識過剰の馬鹿が。

それとも俺に戦いをしかけてるんか？このクソが。

370 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 01:49:21.89 ]
こっちサボるなよ馬鹿無職。
ああ、めくらだから見えないのか



371 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 01:51:09.28 ]
>>369
そや。ワシは最高の馬鹿であるオマエに戦いを仕掛けてるのや。そやし
その糞頭でちゃんと戦えやナ。

猫


372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 01:54:55.07 ]
おれを「馬鹿」よばわりしたのは>>367のお前の発言が最初だな。
よし、裁判では俺の勝ちだ。
じゃ、馬鹿無職くん、法廷で会おうな。

373 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 01:58:50.85 ]
ほんならサッサと送付せえやナ。馬鹿からの書面ヲ待ってるがな。

猫


374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 02:01:01.20 ]
じゃあウサギ小屋でぶるぶる震えて待ってろよ
うんこ袋の存在価値のない馬鹿なおっさんｗ

375 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 02:03:19.25 ]
待ってるさかい、早くオクれや、知恵オクれサンや。

猫


376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 02:04:56.98 ]
じゃあ住所はやく言えや、論文かけない馬鹿なおっちゃんｗｗｗ

377 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 02:08:47.61 ]
>>376
ワシは論文が全く書けへんから住所は言いませんのや。そやけどアンタは
カシコい御坊ちゃまやさかいワシの住所は調べたら判るやろ！　頭がエエ
んやそうやさかいナ。そやしそのエエ頭っちゅう奴で考えてミロや。

猫ォーーー


378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 02:11:40.96 ]
「論文が全く書けへんから住所は言いませんのや。」って
どういう論理だ？おまえ頭大丈夫か？
数学しかやってこなかったから、ただの廃人になってしまってるぞ？
ちゃんと薬のんでるか？早く治さないと死んでしまうぞ？
住所教えたら救ってあげられるんだけどｗｗｗｗｗ

379 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 02:14:07.97 ]
>>378
そうや、ワシはオマエとは違って頭が機能してへんのや。そやからド秀才
のオマエにどないしたらエエのかを教えて貰うのや。そやし早よカキコを
してミロや。ワシが読んだるがな。

猫


380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 02:18:58.91 ]
いいからさっさと住所いえよ、ボケ老人ｗ



381 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 02:21:51.89 ]
ワシはもうボケ老人やさかい、住所なんて言えへんのや。お気の毒様やネ。

猫


382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 02:36:14.21 ]
しょせん口だけの馬鹿爺ｗ
口臭きつすぎだろｗちゃんと歯みがけやｗｗｗ

383 名前：猫は無力 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 02:38:55.87 ]
ワシは口だけの馬鹿爺や。良く知ってるがな。

猫


384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/21(月) 02:45:36.89 ]
口だけのカス、はやく住所いえや。
てめえ、許さんどこら。

385 名前：猫は無力 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 02:51:48.72 ]
ワシは「口だけのカス」やさかい住所不定無職なのや。

猫


386 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 06:11:55.38 ]
猫

出入り禁止

387 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 07:23:24.87 ]
>>386
ソレには従えませんのや。そやし耐えて下さいな。

猫


388 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 08:13:20.86 ]
謝罪せよ

389 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 08:23:36.46 ]
>>388
では次の二点：
１．貴方のお名前
２．謝罪の理由
を明確にして下さいまし。

お返事をお待ちしています。

猫


390 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 08:32:19.43 ]
>>388
オマエ、どうせ見てるんやろ！　そろそろカキコしてミロや

猫




391 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 08:32:30.63 ]
>>238
>よって、rad(aA) ⊂ rad(I) (>>72)

よって、rad(aA) ⊂ rad(I)
ここで、rad(I) は I の根基(過去スレ001の164)である。
即ち rad(I) は mod I で冪零となる A の元全体である。
過去スレ001の163より、rad(I) は I を含む素イデアル全体の共通部分である。

392 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 08:57:46.73 ]
菅内閣にとって正念場となる通常国会が始まった。問題が山積みの管内閣だが、
与野党、国民の反発さえも、当の菅首相は“サプライズ人事にみんな驚いているぞ”と、ご満悦なのだ。

菅首相の奇妙な自信には理由がある。実は、今回の内閣改造には大メディアが大きく関与している。
与謝野氏が読売新聞の渡辺恒雄・グループ本社会長と極めて近いことはよく知られている。

だが、菅首相に直接、与謝野起用を進言したのは、読売のライバルの朝日新聞の編集幹部だという。

菅側近が打ち明ける。「改造前に総理が最も憂慮していたのはメディアの風当たりが強くなっていることだった。

そこで昨年末に各紙の幹部とお忍びで会談を重ねた。中でも総理が信頼する朝日の編集幹部は、
消費税引き上げと環太平洋戦略的経済連携協定（TPP）への参加、小沢切りの3 点セットを断行すれば
菅内閣を社をあげて支援すると約束して、与謝野氏起用を強く進言した。

読売がこの人事を歓迎するのは想定内だったが、“天下の朝日”の後押しが迷っていた総理を動かした」
この編集幹部は紙面でも、民主・自民の大連立など、菅長期政権の可能性に言及している。
実際、与野党から総スカン状態の与謝野氏の入閣だが、大メディアは揃って歓迎した。

内閣改造翌日の各紙の社説を見ると、読売新聞は、〈与謝野氏が言うように、国の命運を左右するような課題には
各党が「政争の場を離れて」取り組むべきだ〉と書き、朝日新聞は与謝野氏起用を〈目指す目標を明確にし、
人事を通じ実行する態勢を整えようとした意図は理解できる〉と評価したうえで、

小沢一郎・元代表の政治倫理審査会出席問題について、〈この問題を早急に処理しない限り、
「最強の態勢」もつかの間の掛け声に終わるほかない〉と「小沢切り」を促す書き方をしている。

前出の菅側近の証言と一致するが、朝日新聞は編集幹部が菅首相に与謝野氏の起用を進言したことを否定した。
www.news-postseven.com/archives/20110124_10793.html

393 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 08:57:59.04 ]
命題
一般Boole代数の圏の圏において
２元体 ε = {0, 1} は余分離対象(過去スレ018の219)である。

証明
>>44より、一般Boole環(>>5)の圏 GBoolRng において
ε が余分離対象であることを証明すればよい。
f：A → B、g：A → B を GBoolRng における射で f ≠ g とすると、
f(a) ≠ g(a) となる a ∈ A がある。
>>85より、GBoolRng における射 h：B → ε で h(f(a) - g(a)) = 1 となるものがある。
よって、h(f(a)) ≠ h(g(a)) であるから hf ≠ hg である。
よって、過去スレ018の220より ε は GBoolRng の余分離対象である。
証明終

394 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 09:00:27.95 ]
3^100 を１０進数であらわすとき、最初の数字は何なりますか？
代数学の期末試験に出たのですが、解き方がわかりません。＞猫先生

395 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 09:03:31.30 ]
>>393の修正

命題
一般Boole代数の圏において
２元体 ε = {0, 1} は余分離対象(過去スレ018の219)である。

証明
>>44より、一般Boole環(>>5)の圏 GBoolRng において
ε が余分離対象であることを証明すればよい。
f：A → B、g：A → B を GBoolRng における射で f ≠ g とすると、
f(a) ≠ g(a) となる a ∈ A がある。
>>85より、GBoolRng における射 h：B → ε で h(f(a) - g(a)) = 1 となるものがある。
よって、h(f(a)) ≠ h(g(a)) であるから hf ≠ hg である。
よって、過去スレ018の220より ε は GBoolRng の余分離対象である。
証明終

396 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 09:10:13.73 ]
>>394
誠に申し訳アリマセンが、私にはそういう難しい事は判りません。お役
に立てません事をこの場にて深くお詫び申し上げます。

敬具

猫拝


397 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 09:48:06.92 ]
命題
Boole代数の圏 Bool において
２元体 ε = {0, 1} は余分離対象(過去スレ018の219)である。

証明
f：A → B、g：A → B を Bool における射(>>30)で f ≠ g とすると、
f と g は一般Boole代数(過去スレ021の373)の圏 GBool における射でもあるから
>>395より、GBool における射 h：B → ε で hf ≠ hg となるものがある。
h ≠ 0 であるから h(1) = 1 である。
よって、h は Bool における射(>>30)である。
よって、過去スレ018の220より ε は Bool の余分離対象である。
証明終

398 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 11:24:46.85 ]
>>397と過去スレ019の4より、任意のBoole代数 A に対して A は ε＾Hom(A, ε) の
部分対象(過去スレ018の646)になる。
Hom(A, ε) は A の指標空間 A＾(>>304)である。
ε＾Hom(A, ε) は A＾の冪集合 P(A＾) のなすBoole代数と同一視される。
よって、A は P(A＾) の部分代数に同型である。
これはStoneの表現定理(>>88)に他ならない。

399 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 11:34:34.27 ]
>>398
> >>397と過去スレ019の4より、任意のBoole代数 A に対して A は ε＾Hom(A, ε) の
> 部分対象(過去スレ018の646)になる。

>>397と過去スレ019の4と5より、任意のBoole代数 A に対して A は ε＾Hom(A, ε) の
部分対象(過去スレ018の646)になる。

400 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 14:40:33.11 ]
Stoneの双対定理(>>314)を一般Boole代数(過去スレ021の373)に拡張しよう。



401 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 14:51:28.70 ]
定義
A を一般Boole環(>>5)とする。
>>7より、A は２元体 ε = {0, 1} 上の可換代数と見なせる。
B を単位元の添加により A から得られる ε 上の可換代数（>>57）とする。
B はBoole環である。
B を 単位元の添加により A から得られるBoole環と言い、A~ と書く。

>>44より A は一般Boole代数と見なせ、A~ はBoole代数と見なせる。
このとき、A~ を 単位元の添加により A から得られるBoole代数と言う。

402 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 15:10:34.98 ]
規約
A を一般Boole環(>>5)とする。
A~ を 単位元の添加により A から得られるBoole環とする(>>401)。
このとき、A は A~ の部分環 {(0, a)； a ∈ A}と同一視する。
A~ の単位元 (1, 0) は 1 と書く。
よって、A~ = A ∪ (1 + A)、A ∩ (1 + A) = φ である。
ここで、1 + A = {1 + a；a ∈ A} である。

403 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 15:57:51.07 ]
うるさい
黙れ

404 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 16:06:50.52 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
A は A~ (>>401)の素イデアルである。

証明
A~ - A の元は 1 + a、a ∈ A と一意に書ける(>>402)。
a, b ∈ A のとき (1 + a)b = b + ab ∈ A
よって、(A~)A ⊂ A
よって、A は A~ のイデアルである。

a, b ∈ A のとき (1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab ∈ A~ - A
よって、 A は A~ の素イデアルである。
証明終

405 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 17:30:30.06 ]
>>403
ココはオマエが来る場所やナイけどや、もしワシが他所のすれに行って
『うるさい、黙れ』と連呼してもエエのやったら許したるワ。そやしど
っちがエエのかを返事せえや

猫


406 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 17:32:33.37 ]
訂正：

他所のすれ　→　他所のスレ

猫


407 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 18:29:34.60 ]
うるさい

408 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/21(月) 19:02:01.73 ]
>>407
ほんならワシも師と仰ぐウルサイ氏を見習ってですナ、『うるさい、黙れ』
っちゅう書き込みをアチコチにさせて貰いまっさー

どうもおーきに。

猫


409 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 20:37:46.82 ]
定義
A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) を A の素イデアル(>>53)全体の集合とする(>>78)。
S を A の部分集合とする。
V(S) = {P ∈ Spec(A)； S ⊂ P} と書く。
D(S) = Spec(A) - V(S) と書く。

a ∈ A のとき
V({a}) を V(a) と書く。
D({a}) を D(a) と書く。

a_1、．．．、a_n ∈ A のとき
V({a_1、．．．、a_n}) を V(a_1、．．．、a_n) と書く。
D({a_1、．．．、a_n}) を D(a_1、．．．、a_n) と書く。

410 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 20:41:24.55 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
>>409の記法の下で以下が成り立つ。

(1) V(0) = Spec(A)、V(A) = φ

(2) S ⊂ T ⊂ A のとき V(T) ⊂ V(S)

(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき V(S) = V((S)) である。

(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき V(∪S_i) = ∩V(S_i) である。

(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき V(ΣJ_i) = ∩V(J_i) である。

証明
自明である。



411 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 20:42:58.42 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
>>409の記法の下で以下が成り立つ。

(1) D(0) = φ、D(A) = Spec(A)

(2) S ⊂ T ⊂ A のとき D(S) ⊂ D(T)

(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき D(S) = D((S)) である。

(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき D(∪S_i) = ∪D(S_i) である。

(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき D(ΣJ_i) = ∪D(J_i) である。

証明
>>410から明らかである。

412 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 20:47:25.02 ]
補題
A を単位元を持つとは限らない環とする。
I と J を A のイデアルとし、P を A の素イデアル(>>53)とする。
このとき、IJ ⊂ P ⇒ I ⊂ P または J ⊂ P

証明
I ⊂ P でないとする。
I - P の元 a がある。
aJ ⊂ P より J ⊂ P である。
証明終

413 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 20:49:34.24 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
I と J を A のイデアルとする。
このとき>>409の記法の下で以下が成り立つ。

(1) V(IJ) = V(I)∪V(J)

(2) D(IJ) = D(I)∩D(J)

証明
(2) は (1)から明らかであるから (1) のみを証明すればよい。

IJ ⊂ I、IJ ⊂ J と>>410の(2)より V(I)∪V(J) ⊂ V(IJ)
他方、>>412より、V(IJ) ⊂ V(I)∪V(J)
証明終

414 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 20:59:02.57 ]
定義
A を一般Boole環(>>5)とする。
S を A の部分集合とする。
>>410と>>413より、V(S) (>>409) の形の Spec(A) の部分集合を閉集合と定義することにより、
Spec(A) に位相が入る。
この位相を Spec(A) のZariski位相という。

415 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 21:14:36.92 ]
記法
A を一般Boole環(>>5)とする。
Y を Spec(A) (>>78) の任意の部分集合とする。
I(Y) = ∩{P；P ∈ Y} と書く。

416 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/21(月) 21:16:37.61 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
I を A のイデアルで、a ∈ A - I とする。
このとき I ⊂ P、a ∈ A - P となる A の素イデアル(>>53) P がある。

証明
S = {a} とおく。
a^2 = a だから S は積閉(>>52)である。
よって、本命題は>>83から得られる。
証明終

417 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 21:33:55.66 ]
元院生に土下座しろ



418 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/21(月) 21:35:12.39 ]
おまえのあの論文はまるうつしやな
w

419 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 06:24:57.15 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
I を A のイデアルとする。
>>409と>>415の記法の下で以下が成り立つ。
I(V(I)) = I である。

証明
任意の P ∈ V(I) に対して I ⊂ P であるから I ⊂ I(V(I)) である。
他方、>>416より I(V(I)) ⊂ I である。
証明終

420 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 06:30:29.35 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
P(A) を A の冪集合とする。
P(A) を包含関係により順序集合と見なす。
P(Spec(A)) を Spec(A) (>>78) の冪集合とする。
P(Spec(A)) を包含関係により順序集合と見なす。
(P(Spec(A)))^o を P(Spec(A)) の双対順序集合(過去スレ021の168)とする。

写像 V：P(A) → (P(Spec(A)))^o を S ∈ P(A) に V(S) (>>409) を対応させる写像とする。
写像 I：(P(Spec(A)))^o → P(A) を Y ∈ (P(Spec(A)))^o に I(Y) (>>415) を対応させる写像とする。

このとき、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。

証明
S ∈ P(A)、Y ∈ P(Spec(A) のとき
V(S) ⊃ Y ⇔ S ⊂ I(Y)
を確かめればよいが、これは V(S) と I(Y) の定義から明らかである。
証明終



421 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 06:35:37.26 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
Y を Spec(A) (>>78) の任意の部分集合とする。
このとき、>>409と>>415の記法で V(I(Y)) は Spec(A) のZariski位相(>>414)で Y の閉包である。

証明
>>420より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、VI：P(Spec(A)) → P(Spec(A)) は閉包作用子であり、
V(P(A)) は VI に関する閉元全体である。
Zariski位相の定義(>>414)より V(P(A)) は Spec(A) の閉集合全体であるから
V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明終

422 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 07:00:02.85 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
写像 V：P(A) → P(Spec(A)) を S ∈ P(A) に V(S) (>>409) を対応させる写像とする。
写像 I：P(Spec(A)) → P(A) を Y ∈ P(Spec(A)) に I(Y) (>>415) を対応させる写像とする。
A のイデアル全体を id(A) とする。
Spec(A) (>>78) の閉集合(>>414)全体を C(A) とする。
写像 V の id(A) への制限を V^* とする。
写像 I の C(A) への制限を I^* とする。
このとき V^* は全単射であり I^* はその逆写像である。

証明
>>420より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、C(A) = V(P(A)) = {Y ∈ P(Spec(A))；VI(Y) = Y} である。
>>419より、id(A) = {S ∈ P(A)；IV(S) = S} である。
よって、過去スレ021の696より本命題が得られる。
証明終

423 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 07:10:53.55 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。

証明
>>411の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(>>414)の
開集合の基底である。

(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>411より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>415)
よって、>>419より、aA ⊂ I
a = a^2 ∈ aA ⊂ I
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終

424 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 07:27:29.36 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78) はHausdorff空間である。

証明
P, Q ∈ Spec(A)、P ≠ Q とする。
>>75より P と Q は極大イデアルである
よって、Q ⊂ P では有り得ない。
よって、a ∈ Q、a ∈ Spec(A) - P となる a ∈ A がある。
P ∈ D(a) である。

b ∈ Spec(A) - Q をとる。
ab ∈ Q だから b + ab ∈ Spec(A) - Q である。
よって、Q ∈ D(b + ab)

a(b + ab) = ab + (a^2)b = ab + ab = 0
よって、>>413より D(a)∩D(b + ab) = D(0) = φ

以上から Spec(A) はHausdorff空間である。
証明終

425 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 08:08:12.37 ]
命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78) は０次元(>>252)の局所コンパクト空間(過去スレ006の128)である。

証明
>>424より、Spec(A) はHausdorff空間である。
>>411の(4)より、D(a)、a ∈ A の形の集合全体は Spec(A) の開集合の基底である。
>>423より任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409) は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
よって、Spec(A) は局所コンパクト空間である。
任意の a ∈ A に対して D(a) はHausdorff空間の準コンパクト部分集合であるから閉集合である。
よって、Spec(A) は０次元である。
証明終

426 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 08:12:38.01 ]
補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
a ∈ A、aA = A とする。
このとき a は A の単位元である。

証明
仮定より、任意の x ∈ A は x = ay、y ∈ A と書ける。
ax = a(ay) = (a^2)y = ay = x
よって、a は A の単位元である。
証明終

427 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 09:42:05.86 ]
補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
a、b ∈ A、aA = bA とする。
このとき a = b である。

証明
>>44より A は一般Boole代数と見なせる。
このとき、aA = ↓a (過去スレ021の521)である。
同様に bA = ↓b である。
よって、↓a = ↓b
よって、a = b
証明終

428 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 09:44:48.54 ]
補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
a、b ∈ A、D(a) = D(b) とする。
このとき a = b である。

証明
V(a) = V(b) である。
よって、I(V(a)) = I(V(b)) である。
>>419より、aA = bA である。
>>427より、a = b である。
証明終

429 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 09:47:24.97 ]
注意
>>428の証明は>>201の証明と本質的に同じである。

430 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 16:10:55.22 ]
補題
X をHausdorff空間とする。
X のコンパクト開集合全体 Φ は X 上の集合環(過去スレ007の189)である。

証明
(1) φ ∈ Φ である。

(2) U, V ∈ Φ なら U ∪ V はコンパクトであるから U ∪ V ∈ Φ

(3) U, V ∈ Φ とする。
U はコンパクトであるから閉集合である。
V は開集合であるから X - V は閉集合である。
よって、U - V = U ∩ (X - V) は閉集合である。
U - V ⊂ U で U はコンパクトだから U - V はコンパクトである。
他方、V は閉集合だから U - V = U ∩ (X - V) は開集合である。
よって、U - V ∈ Φ
証明終



431 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 16:18:44.19 ]
補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78)の開集合 U が準コンパクトであるためには A の有限生成イデアル I により
U = D(I) となることが必要十分である。

証明
必要性：
A の部分集合 S があり U = D(S) (>>409)となる。
>>411の(4)より、U = ∪{D(a)； a ∈ S} となる。
U は準コンパクトであるから S の有限部分集合 T があり U = ∪{D(a)； a ∈ T} となる。
>>411の(4)より、U = D(T) となる。
T で生成されるイデアルを I とすれば >>411の(3)より、U = D(I) となる。

十分性：
I = (a_1、．．．、a_n) を A の有限生成イデアルとする。
>>411の(4)より、D(I) = D(a_1)∪．．．D(a_n) である。
>>423より各 D(a_i) は準コンパクトである。
よって、D(I) は準コンパクトである。
証明終

432 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 16:22:16.75 ]
補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78)の開集合 U が準コンパクトであるためには
A のある元 a により U = D(a) となることが必要十分である。

証明
>>431と>>288より明らかである。

433 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 16:26:06.46 ]
命題(Stoneの表現定理)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) とおく。
>>425より、X は０次元(>>252)の局所コンパクト空間(過去スレ006の128)である。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数である。
>>423より任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409)は準コンパクトであるから D(a) ∈ S(X) である。
写像 ρ：A → S(X) を ρ(a) = D(a) で定義する。
このとき ρ は一般Boole代数の同型である。

証明
>>204よりρ：A → S(X) は一般Boole代数の単射準同型である。
他方、>>431より ρ：A → S(X) は全射である。
証明終

434 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/22(火) 16:46:01.47 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) (>>78)とおく。
>>425より、X は０次元(>>252)の局所コンパクト空間(過去スレ006の128)である。
このとき X がコンパクトであるためには A がBoole代数(過去スレ021の336)
であることが必要十分である。

証明
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
X がコンパクトであるためには X ∈ S(X) が必要十分である。
>>433より、A は S(X) と一般Boole代数として同型である。
これから本命題が直ちに従う。
証明終

435 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/22(火) 17:01:50.64 ]
謝罪せよ



436 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/22(火) 17:22:21.57 ]
>>435
では早速に：
１．貴方様のお名前
２．謝罪しなければならない理由
を迅速に書き込んで下さいませ。加えて貴方様のご住所を書き込んで戴
けましたら、その住所宛に内容証明郵便をお送りさせて戴きます。

敬具

猫拝


437 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/22(火) 18:11:31.36 ]
>>435
コラァ、早う返事のカキコをせえや。カキコせえへんかったらワシがオマエ
を追跡スルさかい覚悟をせえやナ。

猫


438 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/22(火) 19:15:35.99 ]
>>435
コラ、返事シロ。

猫


439 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/23(水) 06:22:52.09 ]
命題
X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>245)である。

(2) X は０次元(>>252)である。

(3) X は完全分離(>>250)である。

証明
(1) ⇒ (2)
x を X の任意の点とし V を x の任意の近傍とする。
X は局所コンパクトであるから
x ∈ W、W~ ⊂ V となる x の開近傍 W で W~ がコンパクトとなるものがある。
ここで、W~ は W の閉包である。
{x} は V の連結成分であるから>>277と>>273より {x} は x を含む W~ の開かつ閉な部分集合全体の
共通集合である。
よって、>>276より W~ の開かつ閉な部分集合 U_1、．．．、U_n があり、
x ∈ U = U_1∩．．．∩U_n ⊂ W ⊂ V となる。
U は W~ の閉集合であるから X の閉集合である。
U は W の開集合であるから X の開集合である。

(2) ⇒ (3)
X はHausdorff空間だから
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ V、U ∩ V となる開集合 U、V がある。
X は０次元であるから x ∈ W ⊂ U となる開かつ閉な W がある。
このとき y ∈ X - W であるから X は完全分離(>>250)である。

(3) ⇒ (1)
>>269で証明されている。
証明終

440 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/23(水) 07:12:53.08 ]
定義
完全不連結(>>245)な局所コンパクト空間(過去スレ006の128)を一般Stone空間と言う。



441 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/23(水) 08:24:14.75 ]
命題
L を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を L の上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
F を L のフィルター(過去スレ021の527)で S ∩ F = φ とする。
このとき F を含む L の素フィルター(>>97) P で S ∩ P = φ となるものがある。

証明
>>195の双対である。

442 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/23(水) 08:28:46.40 ]
命題
L を分配束(過去スレ021の322)とする。
F を L のフィルター(過去スレ021の527)で a ∈ L - F とする。
このとき F を含む L の素フィルター(>>97) P で a ∈ L - P となるものがある。

証明
>>196の双対である。

443 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/23(水) 09:09:11.56 ]
命題
L を分配束(過去スレ021の322)とする。
L の任意の極大フィルター(>>96)は素フィルター(>>97)である。

証明
F を L の任意の極大フィルターとする。
a、b ∈ F、a∨b ∈ F、a ∈ L - F とする。
G = {x ∈ L；a∨x ∈ F} とおく。
b ∈ G だから G ≠ φ
x、y ∈ G なら a∨(x∧y) = (a∨x)∧(a∨y) ∈ F
よって、x∧y ∈ G
x ∈ G、x ≦ y なら a∨x ∈ F、a∨x ≦ a∨y
よって、a∨y ∈ F
よって、y ∈ G
以上から G はフィルターである。

x ∈ F なら x ≦ a∨x より、a∨x ∈ F
よって、x ∈ G
よって、F ⊂ G
F は極大フィルターだから F = G または G = L である。
a ∈ L - F だから a は G に含まれない。
よって、F = G である。
よって、b ∈ F である。
証明終

444 名前：β [2011/02/23(水) 11:14:23.13 ]
俺の論文読んだ？　Springer Link参照

またアクセプトされたよw
今度はサイエンスダイレクト

445 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/23(水) 13:31:23.98 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
F を A のフィルター(過去スレ021の527)とする。
このとき、以下の条件は同値である。

(1) F は素フィルター(>>97)である。

(2) F は極大フィルター(>>96)である。

(3) A - F は素イデアル(>>100)である。

(4) A - F は極大イデアル(>>99)である。

証明
(1) ⇒ (2)
F ⊂ G、F ≠ G となる任意のフィルター G をとる。
a ∈ G - F とする。
任意の b ∈ F に対して a∨b ∈ F である。
a’を a の区間 [0, a∨b] における相対補元(過去スレ021の363)とする。
a∨a’= a∨b ∈ F より a’∈ F である。
0 = a∧a’∈ G より G = A である。
よって、F は極大フィルターである。

(2) ⇒ (1)
>>443で証明済み。

(1) ⇔ (3)
>>106で証明済み。

(3) ⇔ (4)
>>75と>>44、>>107、>>203から明らかである。
証明終

446 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/23(水) 13:42:55.35 ]
>>438
(前略)





















(中略)







(後略)

447 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/23(水) 14:13:12.28 ]
>>446
猫


448 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/23(水) 14:40:47.66 ]
定義
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A＾を A の指標(>>90)の全体とする。
A＾ は ε^A の部分空間としての位相を入れることにより位相空間となる。
このとき、位相空間 A＾ を A の指標空間と言う。

449 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/24(木) 02:19:30.06 ]
くだらん

450 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/24(木) 12:05:05.37 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A＾を A の指標空間(>>448)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
>>79より f ∈ A＾に Ker(f) を対応させることにより
A＾から Spec(A)（>>78）への全単射 ψ が得られる。
このとき ψ は位相同型である。

証明
任意の a ∈ A に対して
U(a) = {f ∈ A＾； f(a) = 1}
W(a) = {f ∈ A＾； f(a) = 0}
とおく。
>>299より U(a) と W(a) は A＾の開かつ閉な部分集合であり、
D(a) または W(a) の有限個の共通集合全体は A＾の開集合の基底である。

a ∈ A、f ∈ A＾ のとき、ψ(f) ∈ D(a) (>>409) ⇔ f(a) = 1 ⇔ f ∈ U(a)
よって、ψ^(-1)(D(a)) = U(a)
>>411の(4)より、D(a)、a ∈ A の形の集合全体は Spec(A) の開集合の基底である。
よって、ψ は連続である。

上記より、ψ(U(a)) = D(a) である。
a ∈ A、f ∈ A＾ のとき、ψ(f) ∈ V(a) (>>409) ⇔ f(a) = 0 ⇔ f ∈ W(a)
よって、ψ(W(a)) = V(a)
V(a) は開かつ閉な D(a) の補集合であるから開かつ閉である。
よって、ψ^(-1) は連続である。

以上から ψ は位相同型である。
証明終



451 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/24(木) 16:06:48.84 ]
ねこはでていけ！

452 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/24(木) 17:37:51.40 ]
>>451
ああ、運が悪い人達やなァ～～～

猫


453 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 03:12:42.60 ]
ねこはでてくるな！

454 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 03:20:27.70 ]
猫はくまーを憎んでいる　なぜならば　大学にもつとめていないし
そもそも定職がないし　ほもだし　病院でてあつく保護されている

おれだって　さわぎになったとき　精神科に通っていたのだが空
そのように扱って　病院にはいりたかったなんだ

あほみたいに束のことを書き散らしても
それが治療のためだからと
医者はすすめてくれす

医者には内容がわからないのだし

ねこにもわからないのだし

なのに猫はここにでてくる　　くまーのことが嫌いだからだ

嫉妬してるからだ

くまーはあほな東大教授程度の低脳さ　と　猫は　ぶた顔をかがみに映して
うっとりする

455 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 05:47:52.56 ]
おお
猫は悪魔の人か
久しぶりやん

456 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/25(金) 06:20:30.60 ]
>>453
そういうカキコが出れば出る程にワシは『効果を確認スル』だけやナ。
まあアンタ等はホンマにお気の毒様やがな。そやし頑張って耐えろや。

猫


457 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 10:40:28.78 ]
ねこ　しっ　しっ！

458 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/25(金) 11:59:59.66 ]
まあ辛いやろうけんど我慢して貰うしかナイでしょうナ。ワシは何も考え
へんで唯単に喰い下がって居座るだけやし。まあ「アンタ等を見習ってる」
っちゅうだけですワ。

猫


459 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/25(金) 14:15:36.16 ]
命題
A を一般Boole環(>>6)とする。
Spec(A) (>>78) は一般Stone空間(>>440)である。

証明
>>425より、Spec(A) は０次元の局所コンパクト空間である。
よって、>>439より、Spec(A) は一般Stone空間である。
証明終

460 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/25(金) 14:17:22.85 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を A＾とする。
A＾は一般Stone空間(>>440)である。

証明
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
>>459より、Spec(A) (>>78)は一般Stone空間である。
よって、>>450より、A＾は一般Stone空間である。
証明終



461 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/25(金) 14:29:20.30 ]
>>433の修正

命題(Stoneの表現定理)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) (>>78)とおく。
>>459より、X は一般Stone空間である。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数である。
>>423より任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409)は準コンパクトであるから D(a) ∈ S(X) である。
写像 ρ：A → S(X) を ρ(a) = D(a) で定義する。
このとき ρ は一般Boole代数の同型である。

証明
>>203と>>204よりρ：A → S(X) は一般Boole代数の単射準同型である。
他方、>>431と>>432より ρ：A → S(X) は全射である。
証明終

462 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 17:24:44.79 ]
くだら～～～～～～～～～～～～～～～～～ん

463 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 17:26:19.10 ]
猫でてこんかい！
さっさっとでてこんかい！


464 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/25(金) 18:27:34.49 ]
そやからどないしたんやっちゅうてるのや。何か質問でもアルんかいな？

猫


465 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 18:57:55.93 ]
>>464
ｸﾙｧ　返信はまだか？

466 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/25(金) 19:09:10.93 ]
>>465
そやから何に関して返信をしたらエエのや？　ちゃんと言えやナ。

猫


467 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 19:17:55.82 ]
ちょっとアンタ！うるさいって！

468 名前：猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/25(金) 19:37:38.46 ]
>>467
そやから『ワシが何を返信したらエエのか』をちゃんと言えや。そもそ
もはアンタ等からの要求やさかいナ、話だけは聞いたるがな。

そやしちゃんと返信だけはせえや。エエな。

猫


469 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 23:42:06.62 ]
許さん

おまえのやったことは許さん

470 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/25(金) 23:44:16.10 ]
>>469
そやから名前と理由を言えや。検討したるがな。

猫




471 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 23:44:17.40 ]
くまーはかんがえた

おれっててんさい？

ばかのひとつおぼえで、かきうつしているだけでも

おれっててんさい？

どうやらおれはねこよるも

にんきものらしい

とひとりわらうのであった

472 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/25(金) 23:46:35.78 ]
無職のくまーは

精神病の病棟の鉄格子をながめた

おや？　かわいそうなやつだなあ

檻にいれられているなんて

不細工で禿げた基地外が見えたのだ










鏡に映る自分だと気がついていない

473 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 00:37:30.78 ]
あほでばかなクマーは考えた

おっと考えるだけの頭はなのだがw

おれはなにもしないでも食って行けるのはなぜだ？

き　貴族？　おれって貴族なの？

病棟の給食を食べながら、措置入院させられていることを忘れていたのだ

おめでたいおとこだ



474 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 00:42:52.70 ]
こらあ～～～～～～～～
猫～～～～～～～～～～～～～～～～
さっさとへんじせんかい！
ぼけ！

475 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 00:51:26.83 ]
くま＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
なにさぼっとるんじゃーーーーーーーーーーー

どうせ猫にはわからんのになにこびうってるんじゃ

476 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 01:24:18.77 ]
ワシは馬鹿猫。

猫ォーーーン


477 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 02:33:40.27 ]
こら猫！
でてこんかい！

478 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 02:35:24.45 ]
猫！
なにさぼっとんじゃ～～～～～～
数学版つぶすんちゃうんか
大口たたくなぼけが

479 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 02:38:05.76 ]
こら！
くま～～
サボるなぼけ！

480 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 07:53:38.19 ]
>>496
クルァ
まだ返事せんの？



481 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 08:28:39.37 ]
くまはうれしかった

猫が戻って来て、また応援してくれることを

482 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 08:33:29.51 ]
いつになったら整数論のなるのだろうか？
予定を教えてもらいたい

少なくとも目次を提示するべきだろう

483 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 08:34:24.37 ]
猫、おまえは邪魔だ
このスレに来るな

484 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 09:35:25.58 ]
謝罪せよ

土下座しても許さん

485 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 09:51:32.43 ]
>>483
ソレが無理っちゅうんはアンタも良く知っての通りや。そやし耐えてや。

猫


486 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 10:03:24.35 ]
>>482

今後の予定（変更の可能性あり）

測度論の続き
位相群上の調和解析
代数関数論、楕円関数論
モジュラー関数
代数体の整数論
虚数乗法論
多元環の整数論
ホモロジー代数
有限群のコホモロジー
類体論

この他に２次形式論をやるかもしれません。

487 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 10:12:38.37 ]
>>486
そうですか。私はとても楽しみにしています。今後も頑張って下さい。

猫


488 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 10:15:37.57 ]
予定はいいのですが、遅過ぎるというのが実感です。

どうてもよい一般化というか形式化に時間をかけ過ぎています

489 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 10:20:33.78 ]
猫は来るな

謝罪せい

490 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 10:21:18.84 ]
柏原せんせいにもあやまれ



491 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 10:22:37.87 ]
>>489
そういうカキコが全くの無意味やっちゅうんは馬鹿なアンタにでも判ってる筈や。

猫


492 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 11:01:13.76 ]
>>488
一般化、形式的というのは意識的にしています。
こうすることにより巧妙なトリックにより個別な問題を解決するという
「名人芸」を減らせるのではないかと思ってます。

時間をかけているのは私自身の勉強を兼ねているからです。
今は準備段階なので、このスレは必要になった時点で参照すればいいです。
リアルタイムでこのスレを読む必要はないです。
過去スレに対する質問や誤りの指摘はいつでも受けつけます。
ただし、このスレが終了すると読めなくなる恐れがあるのでたまにチェックするといいでしょう。

493 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 11:33:17.68 ]
では、まとめサイトみたいなものに
過去ログをアップしておいていただけませんか？

ドス子の事件簿みたいなものを作っていただけると有り難いです

494 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 11:36:38.64 ]
まとめサイトを作ってくれ
おれも４９３に賛成

495 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 11:40:30.02 ]
性犯罪の前科のある人には、　GPSの　足輪をつけることが

国で決まりそうですが、猫もGPSをつけられることになるね？

496 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 12:05:32.03 ]
>>493
２ｃｈとの著作権の問題はないんですかね？
良くわからないので私はアップすることは遠慮します。
アップしたい人は個人の責任で行ってください。

497 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 12:20:39.57 ]
命題(Stoneの表現定理)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を A＾とする。
>>460より、A＾は一般Stone空間(>>440)である。
A＾のコンパクト開集合全体を S(A＾) とする。
>>430より、S(A＾) は X の集合環である。
任意の a ∈ A に対して a＾ = {f ∈ A＾；f(a) = 1} とおく。
このとき、a＾∈ S(A＾) であり、
写像 ρ：A → S(A＾) を ρ(a) = a＾ で定義すると、
ρ は一般Boole代数の同型である。

証明
>>461と>>450より明らかである。

498 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 12:25:56.50 ]
>>495
ほんなら該当スル法律を提示せえやナ。

猫


499 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 13:15:03.14 ]
定義
X を位相空間とする。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が以下の性質を満たすとき X を準連接空間(quasi-coherent space)と呼ぶ。

(1) KΩ は X の位相の基底である。

(2) U、V ∈ KΩ のとき U ∩ V ∈ KΩ

500 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 13:26:06.44 ]
既に宮城県では、猫のような性犯罪の前歴のある人に

GPSの輪っかをつけることを条例として検討してます。

知らないの？



501 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 13:30:30.78 ]
>>499

(2)を満たさない例をあげてください

502 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 13:31:42.56 ]
>>500
知りません。

猫


503 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 13:33:30.78 ]
嘘つきめ

504 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 13:34:33.35 ]
>>503
では『嘘吐き』という表現が正当でアル理由を申し述べて下さい。

猫


505 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 13:34:57.85 ]
謝罪しろ

わかったな

506 名前：猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 13:37:38.34 ]
>>505
判りませんのや。でも判る為には：
１．貴方の名前
２．謝罪の理由
を知る必要がアリますのや。そやし早う晒せやナ。

猫


507 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 13:38:25.29 ]
命題
X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>245)である。

(2) X は０次元(>>252)である。

(3) X は完全分離(>>250)である。

(4) X は準連接空間(>>499)である。

証明
(1) ⇔ (2) ⇔ (3)
>>439で証明済み。

(2) ⇒ (3)
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
W を X の任意の空でない開集合とする。
x を W の任意の点とする。
X は局所コンパクトであるから x の開近傍 U でその閉包 U~ がコンパクトであり、
U~ ⊂ W となるものがある。
X は０次元であるから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
V は U~ の閉集合であるからコンパクトである。
よって、V ∈ KΩ である。
よって、KΩ は X の位相の基底である。
U、V ∈ KΩ のとき、U ∩ V ∈ KΩ は明らかである。
よって、X は準連接空間である。

(3) ⇒ (2)
Hausdorff空間の準コンパクト部分集合は閉集合であることから明らかである。
証明終

508 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/02/26(土) 14:28:07.09 ]
>>496
本人のお墨付きｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!
近日中にatwikiに作るかも，
この前の人どうした？やっちゃうよ

509 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 16:41:40.79 ]
やってよ

510 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 18:49:37.93 ]
>>501
実数区間 I = [0, 1] を考える。
Φ_1 = {U ⊂ I； I - U は有限で 0 ∈ U または 1 ∈ U} とおく。
Φ_2 を開区間 (0, 1) の部分集合全体とする。
Φ = Φ_1 ∪ Φ_2 とおく。
Φ の各元を開集合とすることにより I の位相を定義する。

[0, 1) と (0, 1] はこの位相で準コンパクトな開集合であるが （0, 1) = [0, 1)∩(0, 1] は
準コンパクトでない。



511 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 19:44:41.61 ]
>>510
黙ってろ。

512 名前：いそしむ猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/26(土) 19:48:59.19 ]
>>511
黙るのはオマエや。

猫


513 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/02/26(土) 19:51:36.10 ]
クンマーさん今作ってるけど続きどんどん書いちゃっても大丈夫ですよー
あとよろしかったら全責任を私の元で作った後に
管理者権限を移行したいのでメールアドレス書いて頂くか，
私のメール欄のメールアドレスにメールお送り頂けるとありがたいです．

あとから一般ユーザー権限でいじることも可能だと思われますし，
共同管理者設定もたぶんできたような，では後ほど発表しますー

514 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/26(土) 20:06:08.05 ]
>>513
何か誤解してるようですが勝手にアップされたものに私が手を加えることはありません。
以下は過去スレ017から引用：

95 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 投稿日：2010/02/06(土) 08:49:13
>>94
2chの規約がどうなってるかわからないのでなんとも言えないです。

以下は２ｃｈの規約上問題ないと仮定した場合の私の個人的な意見です。

申し訳ないですがpdfには反対です。
pdfにした場合、それが正確に内容を反映してない可能性かあります。
というか絶対に正確というのはまずあり得ないでしょう。
勿論、私の書いたものにも誤りがありますがそれは私が気付けば直します。
pdfの場合はそうはいかない、というか私は直す気はないです。

textとしてそのままアップするのはいいです。
ただし、以下の条件があります。

(1) 改変しないこと。
たとえ内容に間違いがあっても、誤字、脱字があっても直さないこと。
「あらし」も削除しないこと。
要するに各スレッドをそのままコピーすること。

(2) ソースをはっきりさせること。
つまり、2chの過去スレッドのコピーであることがはっきり分かるようにすること。
次のような各スレのリンクアドレスを載せること。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/


繰り返しますが、以上は２ｃｈの規約上問題ないと仮定した場合です。
問題ある場合はアップしないでください。

515 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/02/26(土) 20:27:27.24 ]
２ｃｈの規約にそんなにビクビクする必要ないと思うけどなぁー

しばらく私が運用してみますんで，

他にやりたい方，別な案の方の登場を待ちますか．

>>514
レス見つけてきてくれてアリガ㌧

516 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/02/26(土) 20:37:14.88 ]
まぁついでですので，言いますけど，
mimizun.com/log/2ch/math/1126510231/
とか他にもいろいろ過去ログ変換のサービスがあるんですが，
textとしてそのままアップされてるわけでなく，
(1) 適所広告が挿入されている，
(2) 元スレへのリンクがはっきり書いてない場合がある（みみずん然り）
という感じなのですが，クンマーさんや２ちゃんねるが
これらを訴えて回ることはありえるのか？という話です．

いや私個人はクンマーさんのご意志を最大限
尊重するつもりなので至らるところがあったら
言って下さい．それでは後は発表だけ書いて消えますので．見てるだけ～

517 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 21:42:16.58 ]
バカなくんまーは、おれってすごい　とわくわくしているだろうなw

518 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/02/26(土) 22:39:01.43 ]
整いました！

Kummerスレまとめ@Wiki
www43.atwiki.jp/kummer/

めんどかったけん，とりあえず過去URIを
みみずんにリンク貼っといただけだけど，
過去21スレほとんど（最後の方のレスはタイミング的に
取得できてないのかもしれないがモリタポとか持ってないし
ホントの整合性はわからん）見れたわ．いろいろあったねー

管理者したい人やご意見ご感想なんでもメールか
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1293805704/
のスレまでどうぞ．さて，みみずんのままが十分使いやすいけども，
ソースをはっきりさせて改変しないtextとしてそのままページに
していく作業をこれからぼちぼち粛々とやることにするか．

519 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 23:01:43.05 ]
>>518
名無しさん
ご苦労さまです
これからも何卒
ご愛顧くださいませ

520 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 00:38:26.55 ]
基地外が基地外の本からうつしたものを基地外がネットにアップしたw



521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 00:41:48.58 ]
２つ目の基地外は誰なんだ？おい>>520
さっさと答えろや

522 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 00:50:20.32 ]
基地外　その１　くまー
基地外　その２　くまーのまとめをつくったアホ

523 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 00:52:59.54 ]
アホの巣w


524 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 00:53:46.17 ]
＞５２１

馬鹿！

525 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 00:57:14.68 ]
腐ったすれは腐らせておけよいものを


526 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 00:58:16.09 ]
猫はでてくるな
熊はよろこぶな
よだれたれてるぞ

527 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 01:00:45.68 ]
>518の努力によってくまーのアホさ加減に照明があたり
アホが証明される

すばらしいね

528 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 01:22:13.27 ]
>>526
そういう事をカキコされても困りますね。私は貴方みたいな馬鹿を潰す
のが趣味なので。

猫


529 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/02/27(日) 03:24:07.18 ]
急にのび太な，ウケるｗ というのはさておき

こんなんなりましたけど，クンマーさん的にどうすか？
www43.atwiki.jp/kummer/pages/14.html
www43.atwiki.jp/kummer/pages/15.html
www43.atwiki.jp/kummer/pages/16.html

@wikiの制限的に長いログを分割するのはしょうがないとしても，
過去ログ変換サービスでは最後の方のログが取得できてないことがあるし
広告が入るということがありまして，もしよかったら過去ログをZIP
とかでお送り頂けるとありがたいです．あと，ホントにもしよかったら，
改めて参考文献などをお教え頂けると大変ありがたいです．

それでは，ホントにスレ汚しすみませんでした，今後とも末永いご活躍を願っております．

530 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/27(日) 09:06:07.64 ]
>>529
>こんなんなりましたけど，クンマーさん的にどうすか？

分かってるとは思いますが念のために誤解がないようにはっきりさせましょう。
私はこのシリーズの過去スレをアップしてくださいとかアップしてかまいませんとか言ってないです。
２ｃｈに無断でアップするのはまずいのではないかと思ってます。
DAT落ちの過去スレを見たい人は正規の方法（有料）で見ることを推奨します。
従って、今回のアップに関して建設的な意見を述べることは控えさせてください。
ただし、何か問題があるときは遠慮なく言わせてもらいます。



531 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/02/27(日) 09:56:06.46 ]
納得しました，理にかなってる！正規の方法でログを手に入れることにしよう．
参考文献についてもどこかに書いて頂いてあったことはウッスラ記憶にありますし，

なお，今回のまとめサイトの件，全ては俺の責任であることをここに明言しておきます，

また，改めて読んでみましたが，私個人としても大変面白い内容が
散見されました．今後にも大変期待しておりますし，何かあったらお声掛けください．ではでは

532 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 10:00:35.27 ]
くま　よだれたらしているぞw



533 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 10:02:55.02 ]
猫　来るなよ　邪魔だ

534 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 10:05:48.82 ]
>>533
では貴方達の邪魔を思いっきりさせて貰いますので今後共どうぞ宜しく。

猫


535 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/27(日) 11:24:31.45 ]
補題(>>298の拡張)
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とする。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
ε = {0, 1} を２元体とする。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
任意の x ∈ X に対して写像 x＾：S(X) → ε を x＾(E) = (χ_E)(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
>>292より x＾∈ S(X)＾である。
このとき、写像 x → x＾は X から S(X)＾への全単射である。

証明
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X はHausdorff空間であるから、x ∈ U、y ∈ X - U となる開集合 U がある。
>>507より、X は準連接空間(>>499)であるから、x ∈ V ⊂ U となる V ∈ S(X) がある。
x＾(V) = 1、y＾(V) = 0 だから x＾≠ y＾である。
よって、写像 x → x＾は単射である。

f ∈ S(X)＾を任意の指標とする。
Ψ = {E ∈ S(X)；f(E) = 1} とおく。
P = {E ∈ S(X)；f(E) = 0} は S(X) の素イデアルであり、Ψ = S(X) - P であるから
>>445より、Ψ は S(X) の極大フィルターである。
Ψ は空集合を含まないから Ψ に属す有限個の集合は必ず交わる。
Ψ の各元はコンパクトだから ∩Ψ ≠ 0 である。
x ∈ ∩Ψ とする。
Ψ ⊂ {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
Ψ は極大フィルターだから Ψ = {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
よって、f = x＾ である。
よって、写像 x → x＾は全射である。
証明終

536 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 12:15:11.92 ]
>>535
黙ってろ

537 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 12:19:46.90 ]
>>536
黙るのはオマエや。サッサとすっ込めやナ。そやないと潰すゾ。

猫


538 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/27(日) 13:52:04.74 ]
命題
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
>>535より x ∈ X に x＾∈ S(X)＾を対応させる写像 γ：X → S(X)＾は全単射である。
一方、ε = {0, 1} を２元体としたとき S(X)＾は ε^S(X) (>>299)の部分空間としての位相が入る。
このとき、γ：X → S(X)＾は位相同型である。

証明
任意の E ∈ S(X) に対して E＾= {f ∈ S(X)＾； f(E) = 1} とおく。
x ∈ X のとき γ(x) ∈ E＾ ⇔ x＾(E) = 1 ⇔ x ∈ E
よって、γ^(-1)(E＾) = E
>>411の(4)より、D(E)、E ∈ S(X) の形の集合全体は Spec(S(X)) の開集合の基底である。
よって、>>450より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。
他方、X は一般Stone空間であるから>>507より X は準連接空間(>>499)である。
よって、S(X) は X の位相の基底である。
よって、γ：X → S(X)＾は位相同型である。
証明終

539 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/27(日) 14:01:32.59 ]
>>303の修正
> >>299の証明より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。

>>225の(4)より、D(E)、E ∈ S(X) の形の集合全体は Spec(S(X)) の開集合の基底である。
よって、>>301より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。

540 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/27(日) 14:11:23.51 ]
>>400
Stoneの双対定理(>>314)を一般Boole代数(過去スレ021の373)に拡張しようとしたが
>>314の形では成り立たない。
何故なら一般Boole代数 A にその指標空間(>>448) A＾を対応させることは関手ではないから。
同様に一般Stone空間(>>440)に S(X) (>>535)を対応させることも関手とはならない。



541 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 14:47:29.95 ]
猫はだまっとれ

さっき、くまーから手紙をもらった

猫が邪魔だと書いてあった

542 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 14:53:47.30 ]
>>541
ああ、そうですか。ワシはそんなんは全く気にしませんのや。馬鹿な事
を言うたらオマエも潰すゾ。エエな。

猫


543 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 14:56:16.09 ]
いや、

『くまーが、猫は邪魔であり、消えて欲しい』

と言っているのだが？　

544 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 14:58:21.40 ]
『くまーが、猫はだまっとれ』と書いて来ている

文句があるならくまーにいえ

545 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 15:00:52.80 ]
526 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 00:58:16.09
猫はでてくるな
熊はよろこぶな
よだれたれてるぞ

546 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 15:02:50.53 ]
>>544
ワシの文句はあくまでもアンタに向けられてるのや。エエな。

猫


547 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 15:04:37.51 ]
くまがおまえに黙れと言っているのだ
バカはそれもわからないの？

548 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 15:05:36.78 ]
>>547
そうや。ワシは馬鹿やからソレも判らないのや。

猫


549 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 16:03:59.36 ]
猫は公開しているでしょ？　サボっていても、年に９００万円とか
大学からもらっていて、出張もし放題だったからなあ？

いまじゃあ、年収９０万円くらいか？

550 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 16:05:54.06 ]
今は年収０（万）円ですワ。

猫




551 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 16:07:22.27 ]
生活保護はもらっている？

ノニは生活保護をもらっていると、言っていたけど？

552 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 16:08:40.27 ]
ノニ＝京大卒

猫＝浪速大卒　京大数理研で学歴ロンダ

∴　ノニの方が猫よりも圧倒的に偉い

553 名前：お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 16:09:27.09 ]
ソレはノーコメントですワ。

猫


554 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 16:10:57.07 ]
もらっていないなら堂々ともらっていないと言えるだろ？

555 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 16:12:48.67 ]
おまえ２単位の講義、授業３回くらいで終わりにしていただろw？
税金ドロボーめ

556 名前：猫は貧乏人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 16:13:20.29 ]
何も言えません。ヒミツです。

猫


557 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/27(日) 16:47:58.19 ]
猫は生活保護を受けています

558 名前：猫は貧乏人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/27(日) 17:02:00.26 ]
貴方がどう考えるかは貴方の勝手。

猫


559 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/28(月) 01:35:15.25 ]
猫でていこいや
どこでもいったるぞ
ためしに数理研に12時でどうや
数理研の下駄箱でまつ

卑怯者の猫はしっぽまいて退散やな

560 名前：猫はオツムが弱い ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/28(月) 01:36:23.71 ]
ワシはココや。条件を出せや。

猫




561 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/28(月) 01:57:20.78 ]
2ちゃんねる脳(2ch脳):

* いかなる時でも叩く対象を求め、何に対してもまず否定から入る。
* ものを肯定する人間は社員か関係者・信者しかいないと思っている。
* 都合の良いソースしか信じない。
* “味方でなければ敵”・“俺を批判する奴ぁ日本人じゃなくチョン”と思考は二元的で両極端（1bit脳とも呼ばれる）。
* 嫌いな物にはすぐ隔離や排除、規制、非合法化などの過激な対応を求める。
* 集団を一括りにしての批判を嫌うが、他の物は一括りにして決めつける。
* 他人の不幸は娯楽対象としか思っていない。
* 他の世代・異性・イケメン・在日外国人（特に中国・韓国・北朝鮮関連の）をとにかく見下している。
* あらゆる事に対して絶対に責任を持とうとしない。
* 自分には自由と権利を、他人には義務と責任を求める。
* 些細なレベルでも自分の気に入らない言葉や状況を無視(スルー)出来ない。
* 2chを真の常識と思ってしまう。
* 自分達が世間を動かしていると勘違いしている。
* 自分に都合の悪い世論や国民の声はみんな捏造や陰謀だと思い込む。
* それでも自分だけは2ch脳ではないと思いこんでいる。

562 名前：猫はオツムが弱い ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/28(月) 02:02:53.04 ]
ソレは現状の日本を忠実に記述しているので、私は心底から感服致しましたデス。
なので某友人の求めに従って、その全てを詳細な実例を以て英文で記述し、私の
古くからの友人の便宜に供したいと思いました。

どうも有り難う御座いました。

猫


563 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 10:37:40.80 ]
Boole代数における無限個の元の sup と inf について考えて見る。

564 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 11:05:07.26 ]
命題(De Morganの公式)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a、b を A の元とする。

(1) (a∨b)’= a’∨b’

(2) (a∧b)’= a’∧b’

証明
(1)
(a∨b)∧(a’∧b’) = (a∧a’∧b’)∨(b∧a’∧b’) = 0∨0 = 0
(a∨b)∨(a’∧b’) = ((a∨b)∨a’)∧((a∨b)∨b’) = 1∧1 = 1

過去スレ021の324より a∨b の補元(過去スレ021の369) (a∨b)’は一意に定まる。
よって、(a∨b)’= a’∧b’

(2)
(1) の双対である。
証明終

565 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 11:10:55.73 ]
>>564の修正

命題(De Morganの公式)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a、b を A の元とする。

(1) (a∨b)’= a’∧b’

(2) (a∧b)’= a’∨b’

証明
(1)
(a∨b)∧(a’∧b’) = (a∧a’∧b’)∨(b∧a’∧b’) = 0∨0 = 0
(a∨b)∨(a’∧b’) = ((a∨b)∨a’)∧((a∨b)∨b’) = 1∧1 = 1

過去スレ021の324より a∨b の補元(過去スレ021の369) (a∨b)’は一意に定まる。
よって、(a∨b)’= a’∧b’

(2)
(1) の双対である。
証明終

566 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 11:14:31.88 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a、b を A の元とする。

a ≦ b ⇔ b’≦ a’

証明
De Morganの公式(>>565)より
a ≦ b ⇔ a = a∧b ⇔ a’= a’∨b’⇔ b’≦ a’
証明終

567 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 11:25:27.21 ]
命題(無限個の元に関するDe Morganの公式)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(a_i)、i ∈ I を A の元の族とする。

(1) ∨a_i が存在すれば (∨a_i)’= ∧(a_i)’

(2) ∧a_i が存在すれば (∧a_i)’= ∨(a_i)’

証明
(1) a = ∨a_i とおく。
各 i ∈ I に対して a_i ≦ a
>>566より、a’≦ (a_i)’
即ち a’は (a_i)、i ∈ I の下界である。

b ∈ A と各 i ∈ I に対して b ≦ (a_i)’とする。
>>566より、a_i ≦ b’
よって a ≦ b’
>>566より、b ≦ a’
よって、a’= ∧(a_i)’

(2)
(1) の双対である。
証明終

568 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 11:27:32.52 ]
>>567
>即ち a’は (a_i)、i ∈ I の下界である。

即ち a’は (a_i)’、i ∈ I の下界である。

569 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 12:18:35.82 ]
命題(∨に関する無限結合律)
A を順序集合とする。
I を集合とする。
(I_j)、j ∈ J を I の部分集合の族とし、I = ∪I_j とする。
(a_i)、i ∈ I を A の元の族とする。

各 j ∈ J に対して b_j = ∨{a_i；i ∈ I_j} が存在し、
∨{b_j；j ∈ J} が存在するとする。

このとき ∨{b_j；j ∈ J} = ∨{a_i；i ∈ I} である。

証明
b = ∨{b_j；j ∈ J} とおく。
I = ∪I_j だから各 i ∈ I に対して i ∈ I_j となる j ∈ J がある。
よって、a_i ≦ b_j ≦ b である。

c ∈ A とし、各 i ∈ I に対して a_i ≦ c とする。
各 j ∈ J に対して b_j ≦ c である。
よって、b ≦ c である。
よって、b = ∨{a_i；i ∈ I} である。
証明終

570 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 12:20:25.10 ]
命題(∧に関する無限結合律)
A を順序集合とする。
I を集合とする。
(I_j)、j ∈ J を I の部分集合の族とし、I = ∪I_j とする。
(a_i)、i ∈ I を A の元の族とする。

各 j ∈ J に対して b_j = ∧{a_i；i ∈ I_j} が存在し、
∧{b_j；j ∈ J} が存在するとする。

このとき ∧{b_j；j ∈ J} = ∧{a_i；i ∈ I} である。

証明
>>569の双対である。



571 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 12:40:28.03 ]
命題(Boole代数における無限分配律)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
∨b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して

a∧(∨b_i) = ∨(a∧b_i)

証明
各 i ∈ I に対して b_i ≦ ∨b_i
よって、a∧b_i ≦ a∧(∨b_i)
よって、∨(a∧b_i) ≦ a∧(∨b_i)

a∧(∨b_i) ≦ ∨(a∧b_i) を証明しよう。
各 i ∈ I に対して a∧b_i ≦ c とする。
a∧(∨b_i) ≦ c を示せばよい。
b_i = 1∧b_i = (a∨a’)∧b_i = (a∧b_i)∨(a’∧b_i) ≦ c∨a’
よって、∨b_i ≦ c∨a’
よって、a∧(∨b_i) ≦ a∧(c∨a’) = (a∧c)∨(a∧a’) = (a∧c)∨0 = a∧c ≦ c
証明終

572 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 12:50:24.39 ]
命題(Boole代数における無限分配律)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
∧b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して

a∨(∧b_i) = ∧(a∨b_i)

証明
Boole代数の双対はBoole代数であることと>>571による。

573 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 13:16:21.37 ]
命題(一般Boole代数における無限分配律)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
∨b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して

(1) a∧(∨b_i) = ∨(a∧b_i)

(2) a∨(∧b_i) = ∧(a∨b_i)

証明
b = ∨b_i とおく。
c = a∨b とおく。
区間 [0, c] はBoole代数である。
a と各 b_i は [0, c] に含まれる。
よって、>>571と>>572から本命題が従う。
証明終

574 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 13:26:53.69 ]
>>573の修正

命題(一般Boole代数における無限分配律)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とし、∨b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して
a∧(∨b_i) = ∨(a∧b_i)

証明
b = ∨b_i とおく。
c = a∨b とおく。
区間 [0, c] はBoole代数である。
a と各 b_i は [0, c] に含まれる。
よって、>>571から本命題が従う。
証明終

575 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/02/28(月) 14:01:44.45 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(a_i)、i ∈ I と (b_j)、j ∈ J を A の元の族とする。

(1) ∨a_i と ∨b_j が存在すれば (∨a_i)∧(∨b_j) = ∨(a_i∧b_j)

(2) ∧a_i と ∧b_j が存在すれば (∧a_i)∨(∧b_j) = ∧(a_i∨b_j)

証明
(1)
a = ∨a_i とおく。
>>571と>>569より、
a∧(∨b_j) = ∨(a∧b_j) = ∨(a_i∧b_j)

(2)
(1)の双対である。
証明終

576 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/28(月) 18:13:22.28 ]
ねこは下駄箱にこなかったなあ　怖じ気づいたかな

577 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/28(月) 19:17:37.84 ]
>>576
そうや、ワシは怖じ気づいたんや。ほんで次は何時ドコなんや？

猫


578 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/28(月) 19:31:29.05 ]
>>Kummer
頭わるそーｗｗｗｗ
ログ見たが間違いありすぎｗ

579 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/02/28(月) 20:10:31.02 ]
>>578
どんなテキストでも間違いがアルのは当たり前。だからオマエの書き込
みは『馬鹿の証明』ですナ。そやし馬鹿はサッサとすっ込めや。

猫


580 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/28(月) 20:44:45.66 ]
>>579
間違いが「ありすぎる」のが問題だと言っているんだよ
馬鹿はすっこめ



581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 21:52:47.27 ]
いちいち過去ログ見てまで>>578の発言の裏をとるやつなんていないから言いたい放題だな
うん、>>578は頭いいよ

582 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/28(月) 22:08:19.06 ]
>>581

くまー

おまえ自演バレバレだよ　名無しで書いてもおまはくま＝無職にしてアホ

583 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 01:09:21.28 ]
猫は数学者失格やし
こんなアホが数学に関してなにいうても
意味ない

そんなことはあたりまえとしても

猫はぼけなすくまーをおうえんするほどアホであるな

584 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 01:11:40.59 ]
>>577
怖じ気づいた猫はげたばこに来いや！
ああそうか
数理研に行くのが怖いのやなあ

585 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 02:01:12.62 ]
>>580
「問題があり過ぎる」とオマエが言うのならば、オマエが自分の実力で
ソレ等を指摘してみたらどうや？　ワシかてオマエの数学的な指摘っち
ゅうんを見てみたいがな。

猫


586 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/03/01(火) 12:58:24.13 ]
猫先生＆Kummerさんへ

この度，私もモリタポというものを購入しまして，
50モリタポずつ猫先生のメールアドレス・
猫先生のトリップ・Kummerさんのトリップ
に寄贈致しました．

もしモリタポシステムをお使いであれば，
ご確認いただけるとありがたいです．
ではでは，今後とも何卒よろしくお願い致します．

neetubot

587 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 13:14:47.89 ]
またもう一人のアホが、はしゃいでやがる>>586

すっこんどれ

588 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 13:24:20.45 ]
俺も過去ログを少しだけ見たが、間違いだらけだった。
スレ主って、なんでこんなにバーカなの？
四六時中書き込みしているのに、なんでこんなにバーカなの？

589 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 13:26:29.76 ]
数理研に下駄箱は見たことがないけど
高校のイメージで書いている奴がいるなあw　高校生なのか？

590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/01(火) 13:27:07.08 ]
自演するなら文体変えるぐらいせいやｗｗ



591 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 15:02:29.30 ]
だれがジエンしているの？

592 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 15:03:31.40 ]
定義
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の空でない部分集合 B が次の条件を満たすとき、
B を A の部分環と言う。

(1) a, b ∈ B のとき a∨b ∈ B

(2) a, b ∈ B のとき a＼b (>>21) ∈ B

593 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 15:04:37.85 ]
猫は二度と来るな

594 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 15:05:31.12 ]
くまは易しいことを、難しく書く才能があるようだねw

595 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 15:44:30.32 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
B を A の部分集合とする。

以下の条件は同値である。

(1) B は A の部分環(>>592)である。

(2) >>44より A を一般Boole環(>>6)とみたとき B は A の部分環である。

証明
(1) ⇒ (2)
a, b ∈ B のとき>>22より a△b = (a＼b)∨(b＼a) ∈ B
また、a∧b = (a∨b)＼(a△b) ∈ B

(2) ⇒ (1)
a, b ∈ B のとき a∨b = (a△b)△(a∧b) ∈ B
また、a＼b = a△(a∧b) ∈ B
証明終

596 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 15:54:35.33 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
B を A の任意の部分環(>>592)とする。
このとき、以下が成り立つ。

(1) 0 ∈ B

(2) a, b ∈ B のとき a∧b ∈ B

証明
>>595より明らかである。

597 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 15:57:18.93 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
Φ を A の部分環(>>592)からなる集合とする。
このとき ∩Φ は A の部分環である。

証明
>>596より、0 ∈ ∩Φ だから ∩Φ は空でないことに注意すればよい。

598 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 16:00:27.61 ]
>>597の修正

命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
Φ を A の部分環(>>592)からなる空でない集合とする。
このとき ∩Φ は A の部分環である。

証明
>>596より、0 ∈ ∩Φ だから ∩Φ は空でないことに注意すればよい。

599 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 16:03:13.88 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
S を含む A の部分環(>>592)で最小のものが存在する。

証明
Φ を S を含む A の部分環全体とする。
A ∈ Φ だから Φ は空でない。
>>598より ∩Φ は A の部分環である。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終

600 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 16:06:06.37 ]
定義
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
>>599より、S を含む A の部分環(>>592) B で最小のものが存在する。
B を S で生成される部分環と言う。



601 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 16:17:21.04 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分環(>>600)とする。

S が空集合のとき B = {0} である。
S が空集合でないとき S は次の形の元全体である。

(p_1)△．．．△(p_n)

ここで、各 p_k は a_(k, 1)∧．．．∧a_(k, k_m)、a_(k, i) ∈ S の形の元である。

証明
>>595より明らかである。

602 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 16:35:24.37 ]
>>593
貴方のその書き込みは私に拠って即刻無視されます。

猫


603 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 17:33:28.29 ]
>>Kummer
間違い、日本語の稚拙さが目立ちます。
義務教育からやり直してくださいませ。

604 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 17:35:52.82 ]
>>603
貴方は義務教育ではなくて保育園からやり直さなければ「その深刻な馬鹿」
は治らないと思います。先は長いとは思いますがメゲずに頑張って下さい。

猫


605 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 17:41:57.70 ]
定義
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の空でない部分集合 B が次の条件を満たすとき、
B を A の部分代数と言う。

(1) a, b ∈ B のとき a∨b ∈ B

(2) a ∈ B のとき a’∈ B

606 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 17:47:17.40 ]
くまのバカぷりはひどいもんがあるねえ
どだい、形式的なことを延々として意味があると思っているのかねw

607 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 17:48:40.82 ]
バカネコはどこへいったんじゃ

でてこいや

608 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 17:51:46.88 ]
数理研の下駄箱にこんかい

609 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 18:02:54.43 ]
数理研の下駄箱が恐かったら数学教室でもええぞ
それでも恐かったら情報学にしとけ

610 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 18:05:01.08 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分集合とする。

以下の条件は同値である。

(1) B は A の部分代数(>>605)である。

(2) B は A の部分環(>>592)で A の最大元 1 を含む。

(3) >>46より A をBoole環(>>6)とみたとき B は A の単位元 1 を共有する部分環である。

(4) B は A の空でない部分集合で次の条件を満たす。

(ⅰ) a, b ∈ B のとき a∧b ∈ B

(ⅱ) a ∈ B のとき a’∈ B

証明
(1) ⇒ (2)
a, b ∈ B のとき De Morganの公式(>>565)より
(a∧b)’= a’∨b’∈ B
よって、a∧b ∈ B
よって、a＼b = a∧b’∈ B
よって、B は A の部分環(>>592)である。
>>596より、0 ∈ B だから 1 = 0’∈ B

(2) ⇒ (3)
>>595より明らかである。

(続く)



611 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 18:05:47.42 ]
>>610の続き

(3) ⇒ (4)
(ⅰ) は明らかである。
(ⅱ) a ∈ B のとき a’= 1 + a ∈ B

(4) ⇒ (1)
a, b ∈ B のとき De Morganの公式(>>565)より
(a∨b)’= a’∧b’∈ B
よって、a∨b ∈ B
証明終

612 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 18:06:53.99 ]
>>607
ココに居てるがな。ほんでどないしたんや？

猫


613 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 18:09:05.38 ]
>>609
情報学ってドコにアルのや？　ワシは行った事が無いさかい、場所を示せや。

猫


614 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 18:13:56.01 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
Φ を A の部分代数(>>605)からなる空でない集合とする。
このとき ∩Φ は A の部分代数である。

証明
>>610より、0 ∈ ∩Φ だから ∩Φ は空でないことに注意すればよい。

615 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 18:17:11.25 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
S を含む A の部分代数(>>605)で最小のものが存在する。

証明
Φ を S を含む A の部分代数とする。
A ∈ Φ だから Φ は空でない。
>>614より ∩Φ は A の部分代数である。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終

616 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 18:19:10.55 ]
定義
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
>>615より、S を含む A の部分代数(>>605) B で最小のものが存在する。
B を S で生成される部分代数と言う。

617 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 18:27:36.84 ]
>>601の修正

命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分環(>>600)とする。

S が空集合のとき B = {0} である。
S が空集合でないとき B は次の形の元全体である。

(p_1)△．．．△(p_n)

ここで、各 p_k は a_(k, 1)∧．．．∧a_(k, k_m)、a_(k, i) ∈ S の形の元である。

証明
>>595より明らかである。

618 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 18:28:43.67 ]
猫でてこんかいボケ

619 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 18:29:21.64 ]
そやからココに居てるがな。どないしたんや？

猫


620 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 18:33:25.08 ]
さっさと出てこんかいボケ
おそいんじゃアホ



621 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 18:34:45.05 ]
あのなあ
出てこい言われんでもでてこんかったら
あかんやろ
気のきかんやつやは

622 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 18:35:50.48 ]
情報学にでも行ってこいや

623 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 18:39:28.25 ]
猫は臆病者やな

624 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 19:00:32.98 ]
>>Kummer
間違いを訂正する気はないのでしょうか。
いい加減にしてください。

625 名前：猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 19:06:10.64 ]
マイナーな間違いは訂正の必要がアリマセン。誤植があってもマトモな
読者ならばきちんと理解が出来ます。困るのはココでイチャモンを付け
ている様な馬鹿だけですから、そういう馬鹿を切り捨てるのに躊躇は必
要アリマセン。

猫


626 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 19:27:07.84 ]
ばかがなにをほざいておる＞猫

627 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 19:35:42.88 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分代数(>>616)とする。

S が空集合のとき B = {0, 1} である。
S が空集合でないとき B は次の形の元全体である。

(p_1)∨．．．∨(p_n)

ここで、各 p_k は a_(k, 1)∧．．．∧a_(k, k_m) の形の元である。
ここで、a_(k, i) ∈ S または (a_(k, i))’ ∈ S である。

証明
S が空集合のとき明らかに B = {0, 1} である。

S が空集合でないとする。
上記の形の元全体を C とする。

S ⊂ C であるから C は空でない。
a, b ∈ C のとき明らかに a∨b ∈ C である。
De Morganの公式(>>565)と分配律より a ∈ C のとき a’∈ C である。
よって、C は部分代数(>>605)である。
B は上記の形の元を含むから C ⊂ B である。
よって、C = B である。
証明終

628 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 19:38:44.47 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分代数(>>616)とする。

S が空集合のとき B = {0, 1} である。
S が空集合でないとき B は次の形の元全体である。

(p_1)∧．．．∧(p_n)

ここで、各 p_k は a_(k, 1)∨．．．∨a_(k, k_m) の形の元である。
ここで、a_(k, i) ∈ S または (a_(k, i))’ ∈ S である。

証明
>>627の双対である。

629 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 19:54:57.95 ]
命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分環(>>592)とする。
C を B で生成される部分代数(>>616)とする。
このとき、C = B ∪ B’である。
ここで、B’= {x’； x ∈ B} である。

証明
D = B ∪ B’とおく。

a, b ∈ B のとき、
a∨b ∈ B
a∨b’= (a’∧b)’∈ B’
a’∨b’= (a∧b)’∈ B’

以上から x、y ∈ D のとき x∨y ∈ D である。
明らかに x ∈ D のとき x’∈ D である。
よって、D は A の部分代数である。
D ⊂ C は明らかであるから D = C である。
証明終

630 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 19:56:08.27 ]
これまでの研究成果に対して

バカセの学位をKummer ◆IxIr9aihfgに授与する　

ーーーーーーーーーーー　バカ大学ガクチョウ　馬鹿田　アホ也



631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/01(火) 20:03:48.84 ]
心底不思議なんだが、Kummerに粘着してる人は何がしたいんだ？


632 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 20:27:43.89 ]
補題
G をアーベル群とする。
G の各元 x に対して 2x = 0 とする。
S を G の n 個の元からなる有限部分集合とする。
このとき S で生成される G の部分群 H は有限群であり、その位数 ≦ 2^n である。

証明
S = {a_1、．．．、a_n} とする。
H の各元は (ε_1)(a_1) ＋．．．＋ (ε_n)(a_n) の形であることに注意すればよい。
ここで、各 ε_i は 0 または 1 である。
証明終

633 名前：猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 20:30:01.10 ]
頭が悪くて知性が無い屑は自分が理解出来ないモノが単に気に入らない
だけではないでしょうかね。まあみっともない嫉妬という事でしょう。

猫


634 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 20:38:19.42 ]
命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の有限部分集合とする。
B を S で生成される部分環(>>600)とする。
このとき B は有限集合である。
従って>>189より B はBoole代数(過去スレ021の336)である。

証明
>>44より A は一般Boole環(>>5)とみなせる。
>>7より A の加法群は>>632の条件を満たす。
よって、本命題は>>617と>>632より明らかである。
証明終

635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/01(火) 20:49:34.68 ]
煽り筆頭　名無し書き込みβ

636 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/01(火) 20:51:55.61 ]
>>634より一般Boole代数の有限個の元の間の演算 ∨、∧、△、＼ を行うとき
それらはある有限Boole代数における演算と考えてよい。
しかも、>>190より、その有限Boole代数はある集合 X の冪集合 P(X) と標準的に同型である。

637 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 21:04:24.53 ]
>>631
くま　自演乙w

638 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 21:12:31.42 ]
くまーの自演が目立って来たところを見ると、相当こたえているなあ

おまえがばかであること、無職であることは周知であるのだから

気取っても意味ないよ

639 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 21:19:21.47 ]
>>638

君は他人を馬鹿にすることでしか
自尊心の得られない可哀相な人だね|(-_-)|
謙虚にならないと人は成長しないよ？
まあ、こう言っても
一笑に付すだけだろうけど（笑）

640 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 21:46:06.86 ]
一笑w



641 名前：猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 22:17:18.63 ]
笑っても自分が寒いだけ。

猫


642 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 22:26:15.14 ]
論文書いた？
研究もせずに、粘着しているおまえが屑

643 名前：猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/01(火) 22:47:49.26 ]
そうや。研究してないワシは屑や。そやからアンタ等を狙い撃ちにスル
余裕がアルのや。

猫


644 名前：Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g mailto:neetubot(at)gmail.com [2011/03/01(火) 23:16:06.30 ]
よしっ，ここは荒らし君のために
まとめサイトに掲示板を追加したったぞ！
www43.atwiki.jp/kummer/pages/14.html

その下にコテハン投票ってのも付けてみたよ！！お試しかっ

645 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/01(火) 23:40:21.94 ]
>>Kummer
つまらないですね。

646 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 00:38:22.53 ]
>>645
同意

647 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 00:46:04.20 ]
>>644 アホは消えな　目障り

648 名前：猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/02(水) 00:49:36.62 ]
>>645
ツマラナイのはオマエや。そやからワシがオマエを殲滅したるがな。

猫


649 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 00:50:52.66 ]
はようしてくれw　

650 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 00:53:27.75 ]
>>Kummer
見てますよね。
まあ、落ち着いたらカキコすると良いと思いますよ。



651 名前：猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/02(水) 00:54:04.92 ]
>>649
サッサと焼却処分にしたるさかい、その材料を出せや。ワシがオマエを
足腰が立たへん様にしたるがな。

猫


652 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 00:54:48.27 ]
猫は５５歳くらいやろ？　無職であと２０年くらいどうやって生きていくの？

653 名前：猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/02(水) 01:02:39.86 ]
>>652
ソレはアンタが心配スルこっちゃないがな。

猫


654 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 01:44:49.64 ]
>>653
ちゃうちゃう
もちろん
みんなは
おまえが
のたれ死に
するのを
たのしみに
してるのやがな



655 名前：猫は加齢臭 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/02(水) 01:46:17.84 ]
>>654
そんな事はワシは知ってるがな。そやけどソレがどないしたんや？

猫


656 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 01:47:39.87 ]
くまー
でてこいよ
そして
つまらないこと
かきちらしてくれよ
おねがいだからさ
そして
ねこをけちらしてくれよ

657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/02(水) 01:48:49.30 ]
実は猫さんの名前欄を見るのが楽しみだったりします

658 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 01:49:05.01 ]
>>655
どないもせんわ
のたれじにするのをたのしみにしてるだけや

じたばたするなよ
みぐるしいぞ

659 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 01:50:05.18 ]
こらぼけ猫
でてこんかいアホ

660 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 01:54:19.65 ]
逃げるな猫！



661 名前：猫は加齢臭 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/02(水) 01:54:46.05 ]
猫


662 名前：猫は加齢臭 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/02(水) 02:18:43.15 ]
>>657
「いいの」をご提案戴ければ採用を検討します。

猫


663 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/02(水) 03:54:48.67 ]
例
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a を A の任意の元とする。
{a} で生成される A の部分環(>>600)は B = {0, a} である。
B はBoole代数 {0} または {0, 1} に同型である。

664 名前：Kummer ◆IxIr9aihfg [2011/03/02(水) 04:00:10.84 ]
例
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a を A の任意の元とする。
{a} で生成される A の部分代数(>>616)は B = {0, 1, a, a’} である。

665 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/02(水) 05:00:39.08 ]
>>Kummer
電源コードを変えると味が変わるのは炊飯界では常識です。
私は発電所から専用線で我が家まで電力を引っ張り込んでいます。
電線の材質は無酸素銅が最高ですよ。
おかげで、ウチはマイコンですが、IHよりいい味がしますよ。

ちなみに電力会社の違いでも味付けにサがでるよ。

電力会社　 　　 長所　　　　　　短所　　 お奨め度
---------------------------------------------------------
東京電力　 　　 バランス　　　ﾓｯﾁﾘ遅い　 　　C
中部電力　　　　粘度強い　 粘度強すぎ　　 A+
関西電力　　　　さっぱり　　　粘度薄い　　　 B
中国電力　　　 透明感　　　　 粘度薄い　　　 B+
北陸電力　　　　ｳｪｯﾄな艶　　 個性が無い　 A-
東北電力　　　　密度と色　 　粘度薄い　 　 A+
四国電力　　　　色とﾆｵｲ 　 粘度薄い　　　　A
九州電力　　 　 バランス　　ｺﾒの距離感　　 C
北海道電力 　　 品質　　　　味が狭い 　　 　B-
沖縄電力　　　　芯に艶　　 　味ﾓｯｻﾘ 　　 　　A

で、上は発電所から５Ｋｍ地点での特徴。
それより自宅～発電所間の距離が長いと上記特徴＋マイルドの味付け
短いと上記特徴＋刺激的な味付けが加わるよ。




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