- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/23(日) 15:43:42.90 ]
- 体K上の計量線型空間Vの部分空間W1,W2について
(W1+W2)^⊥=(W1^⊥)∩(W2^⊥)
を証明せよ。ただしA^⊥はAの直交補空間を意味する。
以下の解答で間違いがあれば指摘をお願いします。
直交補空間の定義から、
(W1+W2)^⊥={u∈V|(a+b,u)=0,∀a∈W1,∀b∈W2}={u∈V|(a,u)=-(b,u),∀a∈W1,∀b∈W2}
が成り立つ。
1≠k∈K、a'∈W1、b'∈W2 を取る。ka'∈W1 であるが、
(a',u')=-(b',u')≠0 を満たすような u'∈V は、(ka',u')=k(a',u')=-k(b',u')≠-(b',u')
を満たすから、(W1+W2)^⊥ に属さない。
よって、(W1+W2)^⊥={u∈V|(a,u)=(b,u)=0,∀a∈W1,∀b∈W2} が成り立つ。
右辺は (W1^⊥)∩(W2^⊥) に他ならない。
