- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/08/16(土) 18:40:56.31 ID:hd6woW1J.net]
- >>433
>試験でこんな答案書いたら確実に赤点で落第
大学1年の微分積分の試験でオイラーの定数が無理数なることを示せなんていう問題は出ないw
オイラーの定数γを有理数と仮定すると
γに対して或る有限個の正の整数が存在して
γ:＝lim_{n→+∞}(γ(0,n)))＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n))
はその有限個の正の整数の逆数和として表されることになる
また、任意の a＞−1 なる実数aに対してγは
γ＝γ(a,n)＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n＋a)) と表される
適当に選んだ実数列 {γ(a,n)}∈γ^N a＞−1 が単調減少列であるか
単調増加列であるかも a＞−1 なる実数aの選び方によって変わる
その結果、γは上からの評価または下からの評価のやり方がaの選び方による
a＞−1 がどんな値を取るときに実数列 {a(a,n)} a＞−1 は
単調減少列になるかまたは単調増加列になるかという問題も生じるが、
任意の a＞−1 なる実数aに対して定義される実数列 {a(a,n)} は
単調減少列か単調増加列のどちらか片方になるから、この問題の解決は不可能である
なのだから、γは有理数と予想せざるを得ない
逆に、γを有理数としても、オイラーの総和公式の意味合いは満たしている
それだけのこと
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