- 165 名前：１３２人目の素数さん [2025/05/12(月) 17:41:44.82 ID:dLUNia17.net]
- >>95
第４章 行列式
4.3 置換の符号
定理4.3.5 置換を互換の積として書くとき、現れる互換の個数の偶奇は置換の身によって決まる
証明 差積に対して置換を作用させた場合を考える
定理4.3.6 sgn(σ)＝(-1)^i iは置換を互換の積で表したときの互換の個数
4.4 n次の行列式
定理4.4.4 行列の列に関する多重線形性と交代性
系4.4.5 列の掃き出しに関する普遍性
定理4.4.6 写像Fが多重線形性と交代性を満たすならば
F(a1,…,an)₌F(e1,…,en)det(a1,…,an)
定理4.4.8 det(AB)=det(A)det(B)
証明
F(e1,…,en)=det(Ae1,…,Aen)として
F(b1,…,bn)=F(e1,…,en)det(b1,…,bn) かつ
F(e1,…,en)=det(Ae1,…,Aen)=det(a1,…,an) であるから
定理が成り立つ
定理4.4.9 Aが正則行列⇔det A≠0
定理4.4.10 Aｘ＝０が非自明解を持つ⇔det A＝0
定理4.4.11 det tA=det A
系4.4.12 行列式は行に関しても多重線形性と交代性
4.5 余因子展開とその応用
定理4.5.3 Aの余因子行列をA^とすると AA^＝A^A＝det A E
定理4.5.4 Aが正則行列ならばA^(-1)＝A^/(det A)
系4.5.7 クラメルの公式
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