- 95 名前：１３２人目の素数さん [2025/05/09(金) 17:51:39.22 ID:z9ab/f8V.net]
- >>94
3.2 基底と次元
補題3.2.1 {v1,…,vk｝ 線形独立 & v_k+1∉<v1,…,vk>
⇒ {v1,…,vk,v_k+1｝ 線形独立
定理3.2.2 R^nの{0}以外の部分空間に基底が存在する
定理3.2.3 R^nの部分空間の基底をなすベクトルの個数は一定
次元：線形空間Vの基底をなすベクトルの個数 dim V
定理3.2.6 線形空間Vの線型独立なベクトルの最大個数はdim V
定理3.2.7 行列Aに対して rank(A)＝dim Im(A)
定義 線形写像fに対してその階数rank(f)を、dim Im(f)と定義する
系3.2.9 線形写像fに対してrank(f)＝n-dim Ker(f)
定理3.2.10 V,Wが同次元のとき、線型写像f:V→Wに対して
fが単射⇔fが全射⇔fは線型同値（全単射な線型写像）
系3.2.11 二つの線型空間V,Wに対して
dim V ＝ dim W ⇒ V=W
定理3.2.12 Vをn次元の線形空間とし、v1,…,vnをVのベクトルとするとき、以下は同値
1)v1,…,vnは線型独立
2)<v1,…,vn>=V
3){v1,…,vn}の基底
命題3.2.13
V 線型空間 v1 ,…, vn Vの基底
W 線型空間 w1 ,…, wn Wの元 のとき
f(vi)＝wiを満たす線形写像f：V→Wが一意に存在する
系3.2.14
V 線型空間 dim V=n v1 ,…, vn 線形独立なVの元 のとき
(n-m)個のVの元を追加してVの基底になるようにできる
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