- 398 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/02/08(土) 13:03:11.85 ID:23ITt7NX.net]
- つづき
1）ここでの肝は、”平行移動”、特に 有理数 q∈Q による平行移動は、無理数性を崩さない ということ
つまり ある無理数s で、s±q が 無理数であることが使える
2）いま、上記のように 区間[0, 1]に、 R/Q の代表系になっているものが取れることを認めよう
このヴィタリ集合 Vを、 V[0,1]と記す
これを、半開区間[0, 1/2)と (1/2,1]に分けて、
(1/2,1]に存在する 代表系 vi∈(1/2,1] たちを、-1/2だけ動かす つまり vi-1/2 とする
そうすると、 V[0,1]→V[0,1/2] のように、存在区間を半分にできる
3）これを繰り返すと、V[0,1]→V[0,1/2^n] ε=1/2^n とできる（任意に小さい 区間に制限できる）
4）さらに、”平行移動”、q'∈Q を使って
V[0,1]→V[q',q'+ε] とできる
5）まとめると、ヴィタリ集合 V [0, 1]は、 V[q',q'+ε] に移動できて
それは即ち、開始位置が任意q'、区間長さ 任意ε にできる （なお ε＞1 の証明は無いが、思いつくであろう by ガロア ；ｐ）
それは、もともとの この場合の 選択公理・選択関数が有する自由度によると、解せられる■
以上
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