- 104 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/02/03(月) 20:51:05.51 ID:KN6t4rnq.net]
- >>83 追加
下記も知っておく方が良い
特に
1.任意の集合は整列可能．
↓
2.任意の全順序集合は整列可能．
↓
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
これ、Jechの証明は、冪集合 P(X)を利用して 集合 Xの整列可能をしている
一見その逆の主張だね、面白い ；ｐ）
(参考)
alg-d.com/math/ac/wot.html
alg-d 壱大整域
選択公理 > 整列可能定理について
2012年08月05日
定理4 次の命題は同値
1.任意の集合は整列可能．
2.任意の全順序集合は整列可能．
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
4.順序数αに対して P(α) も整列可能．
証明 (1⇒2) 自明
(2⇒3) (X, ≦)を整列順序集合とする． P(X) に二項関係 < を
A<B ⇔ ある a∈A＼B が存在して任意の b∈B＼A に対して a<b
で定める．これによって P(α) が全順序集合になることを確かめる．
(i) ¬A<A について．
A＼A= ∅ なので明らか
(ii) A<B ⇒ ¬B<A について．
A<Bとすると < の定義より，あるa0∈A＼Bが存在して「任意の b∈B＼A に対して a0<b 」となる．よって明らかに ¬B<A である．
(iii) A<B または A=B または B<A について．
A≠B とすると，X は整列順序集合だから a := min( (A＼B)∪(B＼A) ) が存在する．勿論 a∈A または a∈B であるが，明らかに a∈A ならば A < Bで，a∈B ならば B < A である．
(iv) (A<B かつ B<C) ⇒ A<C について．
¬A<C と仮定する．A=C だとすると A<BかつB<A となり(ii)に反するので A≠B である．故に(iii)から C<A である．A<B, B<C, C<A より
(1) 任意の b∈B＼A に対して a0 < b
(2) 任意の c∈C＼B に対して b0 < c
(3) 任意の a∈A＼C に対して c0 < a
を満たすa0∈A＼B, b0∈B＼C, c0∈C＼Aが存在する．a0∈A＼Cである．
∵ a0 ∉ A＼C と仮定する．即ちa0∈Ac∪Cである．a0∈A＼Bだったから a0 ∈ (Ac∪C)∪(A＼B) = A∪C＼B ⊂ C＼B である．よって(2)により b0 < a0．従って(1)から b0 ∉ B＼A でなければならない．すると同様の議論を繰り返して a0 < c0 < b0 < a0 が導かれ，矛盾．
同様にしてb0∈B＼A, c0∈C＼Bである．従って(1)(2)(3)から a0 < b0 < c0 < a0 となり，矛盾する．
以上より(P(X), <)は全順序集合である．よって，仮定より整列可能である．
(3⇒4) 明らか．
以下略す
|
 |
