- 925 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 23:33:14.58 ID:aD5GuW9/.net]
- つづき
次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニーの埋め込み定理（英語版）(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元を要求するからである。大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。
ホイットニーのトリックの変形は、4 次元でも可能で、キャッソンハンドル（英語版）(Casson handle)と呼ばれる。十分な次元が存在しないため、ホイットニーの円板は新しい捩れ(kink)を発生させ、それを他のホイットニーの円板により解消させることができる。このことから円板の列（「塔」）が発生する。この塔の極限は、トポロジカルではあるが、微分可能ではない写像を得るので、4次元で手術はトポロジカルに機能するが、微分可能ではない。
ja.wikipedia.org/wiki/4%E6%AC%A1%E5%85%83%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
4次元多様体
滑らかな 4次元多様体
交叉形式が不定値で、偶であると、必要ならば向き変えることにより非正の符号とすることを前提とすると、その場合には、ある m と n があり、'm 個の II1,1 のコピーと 2n 個の E8(－1) のコピーの和と同型となる。m ≥ 3n であれば（従って次元は少なくとも |符号| の 11/8 倍）、滑らかな構造が存在し、n 個のK3曲面と m － 3n 個の S2×S2 のコピーの連結和を取ることで与えられる。m ≤ 2n（従って次元は多くとも |符号| の 10/8 倍である）とすると、古田幹雄は滑らかな構造が存在しないことを証明した(Furuta 2001)。このことは 10/8 と 11/8 間にギャップがあり、そこでの答えは未解決である。（上の状態をカバーしていない最小の場合は、n = 2 と m = 5 の場合であるが、しかし、これも棄却されるので、現在知られていない最小の格子は、格子 II7,55 でランクは 62 であり、n = 3 であり m = 7 である。「11/8 予想」は、滑らかな構造は、次元が |符号| の 11/8 倍以下であれば、滑らかな構造は存在しないのではないかという予想である。
対照的に、向き付けされた 4次元多様体上の滑らかな構造を分類する第二の問題はほとんど分かっていない。実際、単独の滑らかな 4次元多様体で、答えが知られているものはない。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面（英語版）のような、単連結でコンパクトな 4次元多様体が存在し、可算無限個の異なる滑らかな構造が存在することを示し�
|
 |
