（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる） 前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1701399491/ 詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照 Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13 ＜IUT最新文書＞ https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html 2024年03月24日 望月新一 ・（過去と現在の研究）2024年4月に開催予定のIUGCの研究集会での講演の スライドを公開。https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(IUGC2024%20version).pdf P8 In this context, it is important to remember that, just like SGA, IUT is formulated entirely in the framework of “ZFCG” (i.e., ZFC + Grothendieck’s axiom on the existence of universes), especially when considering various set-theoretic/foundational subtleties (?) of “gluing” operations in IUT (cf. [EssLgc], §1.5,§3.8,§3.9, as well as [EssLgc],§3.10, especially the discussion of “log-shift adjustment” in (Stp 7)): (引用終り)
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707 数学の難問「ABC予想」を証明したとする日本の数学者の新たな理論をめぐって、研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました。 ▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル ▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドルを、 それぞれ贈呈するとしています。
https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/ Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024 Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz （J. Stixさん、IUT支持側へ）
なるほど 下記の”特徴づけ 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。 ・A は正則行列である ・AB = E となる n 次正方行列 B が存在する[2] ・BA = E となる n 次正方行列 B が存在する[2] ・A の階数は n である[3]” だね 標数0に限定する必要はないな
While the most common case is that of matrices over the real or complex numbers, all these definitions can be given for matrices over any algebraic structure equipped with addition and multiplication (i.e. rings). However, in the case of a ring being commutative, the condition for a square matrix to be invertible is that its determinant is invertible in the ring, which in general is a stricter requirement than it being nonzero. For a noncommutative ring, the usual determinant is not defined. The conditions for existence of left-inverse or right-inverse are more complicated, since a notion of rank does not exist over rings.
The set of n × n invertible matrices together with the operation of matrix multiplication and entries from ring R form a group, the general linear group of degree n, denoted GLn(R).
(参考) （独原文は略す） https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix Reguläre Matrix (google 独→英訳) Equivalent characterizations （Äquivalente Charakterisierungen） Regular matrices over a unitären kommutativen Ring(単位元を持つ可換環？) More general is one (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R invertible if and only if one of the following equivalent conditions is met:
・There is a matrix B with AB=I=BA. ・The determinant of A is a unit in R (one also speaks of a unimodular matrix ). ・For all b �
165 名前：ｸ R^{n} there is exactly one solution x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b. ・For all b ∈ R^{n} there is at least one solution x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b. ・The row vectors form a basis of R^{n}. ・Generate the row vectors R^{n}. ・The column vectors form a basis of R^{n}. ・Create the column vectors R^{n}. ・By A linear mapping described R^{n} → R^{n},x→ Ax, is surjective (or even bijective ). ・The transposed matrix A^{T} is invertible.
With a singular (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R none of the above conditions are met. The essential difference here compared to the case of a body is that, in general, the injectivity of a linear mapping no longer results in its surjectivity (and thus its bijectivity), as in the simple example Z →Z, x→ 2x shows. []
成分が体の場合は ”・The rank of the matrix A is equal to n” の条件が記載がある（下記） しかし、>>153のcommutative ringでは rankについては、扱われていない
(参考) https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix Reguläre Matrix (独英 google対訳) Reguläre Matrizen über einem Körper Regular matrices over a field
Eine (n×n)-Matrix A mit Einträgen aus einem Körper K, zum Beispiel die reellen oder komplexen Zahlen, ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
172 名前：An (n×n) matrix A with entries from a field K, for example the real or complex numbers, is invertible if and only if one of the following equivalent conditions is met:
・Der Rang der Matrix A ist gleich n ・The rank of the matrix A is equal to n []
Generalization There are different generalizations of the concept of rank to matrices over arbitrary rings, where column rank, row rank, dimension of column space, and dimension of row space of a matrix may be different from the others or may not exist. Thinking of matrices as tensors, the tensor rank generalizes to arbitrary tensors; for tensors of order greater than 2 (matrices are order 2 tensors), rank is very hard to compute, unlike for matrices. There is a notion of rank for smooth maps between smooth manifolds. It is equal to the linear rank of the derivative. （google訳） 一般化 任意のリング上の行列に対するランクの概念にはさまざまな一般化があり、行列の列ランク、行ランク、列空間の次元、行空間の次元は他のものと異なる場合や存在しない場合があります。 行列をテンソルとして考えると、テンソルランクは任意のテンソルに一般化されます。 2 より大きい次数のテンソル (行列は次数 2 のテンソル) の場合、行列の場合とは異なり、ランクを計算するのは非常に困難です。 滑らかな多様体間の滑らかなマップにはランクの概念があります。これは導関数の線形ランクに等しくなります。
Matrices as tensors Matrix rank should not be confused with tensor order, which is called tensor rank. Tensor order is the number of indices required to write a tensor, and thus matrices all have tensor order 2. More precisely, matrices are tensors of type (1,1), having one row index and one column index, also called covariant order 1 and contravariant order 1; see Tensor (intrinsic definition) for details.
(参考) 検索キーワード：Generalization Rank (linear algebra) the concept of rank to matrices ove https://www.google.com/search?as_q=Generalization+Rank+%28linear+algebra%29+the+concept+of+rank+to+matrices+over+arbitrary+rings+pdf&as_epq=&as_oq=&as_eq=&as_nlo=&as_nhi=&lr=&cr=&as_qdr=all&as_sitesearch=&as_occt=any&as_filetype=&tbs=
１） Generalized Inverses of Matrices Over Commutative Rings ScienceDirect.com https://www.sciencedirect.com › article › pii › pdf › pid=... KM Prasad 著 · 1994 · 被引用数: 30 — A Rao-regular matrix and the Rao idempotent of a matrix over a commutative ring are defined. We prove that a matrix A over a commutative
２） Linear algebra over commutative rings ResearchGate https://www.researchgate.net › 445... ... matrix' is folklore and cannot be generalized to the class of matrices over an arbitrary commutative ring. The `determinantal rank' defined by the size of ...
３） Rank of a matrix over a ring? - linear algebra Mathematics Stack Exchange https://math.stackexchange.com › r... 2021/05/17 — Note in the latest edition of his book (2018), it seems he has stated the definitions of rank for matrices over arbitrary unitary rings R (p. necessary and sufficient condition for trivial kernel of a matrix ... 2011年10月11日 Rows of a matrix over an arbitrary ring - Math Stack Exchange 2017年4月14日 math.stackexchange.com からの検索結果
https://math.stackexchange.com/questions/4141364/rank-of-a-matrix-over-a-ring Rank of a matrix over a ring? asked May 17, 2021 at 0:07 blargoner
歴史的には、まず楕円曲線の L 函数の特殊値に関するバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想があった[4]。そしてピエール・ドリーニュによってモチーフの L 函数の特殊値に関する予想が提出された。ドリーニュの予想はクリティカル・モチーフというモチーフに対するもので、このモチーフの L 函数の特殊値を有理数倍による違いを除いて予想するものだった[5]。これはライプニッツの π の公式でいうと円周率の部分を予想したことに相当する。この予想はドリーニュ予想と呼ばれている。
次にアレクサンダー・ベイリンソンがクリティカルという仮定を外しドリーニュ予想を一般化した[6]。ベイリンソンは代数的 K 理論を用いて数体のレギュレータを一般化し「高次のレギュレータ」（ベイリンソン・レギュレータ（英語版））というものを定義した。そしてモチーフの L 函数の特殊値は有理数倍による違いを除いてこの高次レギュレーターになるだろうと予想した[7]。この予想はベイリンソン予想と呼ばれている。
スペンサー・ブロック（英語版）と加藤和也はモチーフの L 函数の特殊値の有理部分を決定する予想を提出した[6]。彼らはモチーフの玉河数というものを定義しモチーフの L 函数の特殊値の有理部分はこの数によって決定できると予想した。玉河数という言葉は線型代数群の玉河数を研究していた玉河恒夫にちなむ。この予想は玉河数予想（Tamagawa number conjecture）またはブロック・加藤予想（Bloch–Kato conjecture）と呼ばれている。代数的 K 理論にもミルナー予想の拡張であるブロック・加藤予想と呼ばれる予想（ウラジーミル・ヴォエヴォドスキーらによって証明されている）があるが、これはここで述べた L 函数の特殊値に関するブロック・加藤予想とは別物である。
これらの予想はすべて、特別なケースについてのみ成立することしか知られていない。
https://en.wikipedia.org/wiki/Special_values_of_L-functions Special values of L-functions
In a further extension, the equivariant Tamagawa number conjecture (ETNC) has been formulated, to consolidate the connection of these ideas with Iwasawa theory, and its so-called Main Conjecture.
数学書は、推理小説では無い 一度読んで終わりは、よほどの天才だろうね ”ディリクレは、D. A. を常に携帯していたという”（下記） 昔、2ch数学板で有名なコテハンの”猫”さんが 「名著を、たまに取り出してながめのも良い」と言っていた 至言だね
(参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae Disquisitiones Arithmeticae（ディスクィジティオネス・アリトメティカエ、ラテン語で算術研究の意、以下 D. A. と略す）は、カール・フリードリヒ・ガウス唯一の著書にして、後年の数論の研究に多大な影響を与えた書物である。1801年、ガウス24歳のときに公刊された。その研究の端緒はガウス17歳の1795年にまでさかのぼり、1797年にはほぼ原稿は完成していた[1]。
いまごろ 何を見ているのかね？ ；ｐ） 下記ですよ ”The determinant of A is a unit in R (one also speaks of a unimodular matrix ).” ですよ
>>153 より再録 (参考) （独原文は略す） https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix Reguläre Matrix (google 独→英訳) Equivalent characterizations （Äquivalente Charakterisierungen） Regular matrices over a unitären kommutativen Ring(単位元を持つ可換環？) More general is one (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R invertible if and only if one of the following equivalent conditions is met:
・There is a matrix B with AB=I=BA. ・The determinant of A is a unit in R (one also speaks of a unimodular matrix ).
だった。これと同じことが、下記だってことだよ （いまさら、１周遅れだよ！ｗ） >>153 より再録 (参考) （独原文は略す） https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix Reguläre Matrix (google 独→英訳) Equivalent characterizations （Äquivalente Charakterisierungen） Regular matrices over a unitären kommutativen Ring(単位元を持つ可換環？) More general is one (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R invertible if and only if one of the following equivalent conditions is met:
・There is a matrix B with AB=I=BA. ・The determinant of A is a unit in R (one also speaks of a unimodular matrix ).
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90 環の零因子とは、環の乗法において、 零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。 左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。 環の零因子でない元は正則である または非零因子と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子または非自明な零因子と呼ばれる
まあね。しかし、「行列式det(Ａ)が逆元を持つこと」ことが本質なんだよ（下記の通りだ） (参考) >>153より再録 https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix Reguläre Matrix (google 独→英訳) Equivalent characterizations （Äquivalente Charakterisierungen） Regular matrices over a unitären kommutativen Ring(単位元を持つ可換環？) More general is one (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R invertible if and only if one of the following equivalent conditions is met: ・There is a matrix B with AB=I=BA. ・The determinant of A is a unit in R (one also speaks of a unimodular matrix ). ・For all b ∈ R^{n} there is exactly one solution x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b. ・For all b ∈ R^{n} there is at least one solution x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b. ・The row vectors form a basis of R^{n}. ・Generate the row vectors R^{n}. ・The column vectors form a basis of R^{n}. ・Create the column vectors R^{n}. ・By A linear mapping described R^{n} → R^{n},x→ Ax, is surjective (or even bijective ). ・The transposed matrix A^{T} is invertible. With a singular (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R none of the above conditions are met. The essential difference here compared to the case of a body is that, in general, the injectivity of a linear mapping no longer results in its surjectivity (and thus its bijectivity), as in the simple example Z →Z, x→ 2x shows.
>>210 >The essential difference here compared to the case of a body is that, in general, the injectivity of a linear mapping no longer results in its surjectivity (and thus its bijectivity), as in the simple example Z →Z, x→ 2x shows. ここ、１は全くワケワカランだろうから解説する
良い質問だ https://en.wikipedia...ombinatorial_species Combinatorial species Category theory provides a useful language for the concepts that arise here, but it is not necessary to understand categories before being able to work with species. The category of species is equivalent to the category of symmetric sequences in finite sets.[1]
https://www.kurims.k...er%20Theory%20IV.pdf [4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. (2020-04-22) P67 Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species In the present §3, we develop — albeit from an extremely naive/non-expert point of view, relative to the theory of foundations! — the language of species. Roughly speaking, a “species” is a “type of mathematical object”, such as a ”group”, a “ring”, a “scheme”, etc. In some sense, this language may be thought of as an explicit description of certain tasks typically executed at an implicit, intuitive level by mathematicians [i.e., mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] via a sort of “mental arithmetic” in the course of interpreting various mathematical arguments. In the context of the theory developed in the present series of papers, however, it is useful to describe these intuitive operations explicitly.
論文 IUT VI https://www.kurims.k...er%20Theory%20IV.pdf [4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. (2020-04-22)
これで”species”の単語検索すると P1からP7 でなど ”If,instead of working species-theoretically, one attempts to document all of the possible choices that occur in various newly introduced universes that occur in a construction,” ときて、その後P67 まで無しで ”Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species”へジャンプなんだ
https://twitter.com/math_jin math_jin 4h Submitted 29 April, 2024; （論文もアブストラクトも大幅に改訂！）
On Mochizuki's idea of Anabelomorphy and its applications Authors: Kirti Joshi #IUTabc
arxiv.org On Mochizuki's idea of Anabelomorphy and its applications I coined the term anabelomorphy (pronounced as anabel-o-morphy) as a concise way of expressing https://t.co略 https://twitter.com/thejimwatkins (deleted an unsolicited ad)
Response to Mochizuki’s comments on my papers Kirti Joshi April 30, 2024 P3 Summary All in all, I have believed, and asserted (in all my papers on this topic) that you have presented rather new ideas in Diophantine Geometry and I have shown that these ideas can be made precise using a new set of tools (especially my use of perfectoid fields and untilts in this context) which are better suited for this purpose than the ones you have created. (引用終り)
・私は、心情的には Kirti Joshi氏応援です ”using a new set of tools (especially my use of perfectoid fields and untilts in this context)” とあります。Scholze氏の”perfectoid”を”new set of tools”として使おうという ・成功するか失敗するか不明ですが 失敗でも何か意味ある結果が生まれますように ・例えば、山登りに例えると、望月IUT山がヒマラヤ級で8000ｍとして Scholze氏の”perfectoid”山が、5000ｍとして 5000ｍ地点から登れば楽になるとかね
・時計が4年くらい止まっている ・2024年4月は下記です Germany Jakob Stix、USA Florian Pop、Kiran Kedlaya、Jeff Lagarias 日本では、Ochiai Tadashi, Tokyo Institute of Technology、Toshiyuki Katsura（Tokyo） ・いまさら、”IUTを救う”とか噴飯もの ・「潰すなら潰して見せよホトトギス」と川上氏は、100万ドル（1.5億円）の懸賞金
https://ahgt.math.cnrs.fr/members/ Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN Members & Partners
The LPP-RIMS AHGT International Research Network is a France-Japan network between Laboratoire Paul Painlevé of Lille University -- Algebraic and arithmetic geometry & Geometry and Topology, the DMA of ENS Paris PSL, and RIMS of Kyoto University as leading institutions, which regroups 45 researchers and a dozen PhD students in 16 universities as core members.
The activity of the LPP-RIMS AHGT IRN is supported by 40 international researchers over 12 countries and 32 institutions. Within RIMS, the international center for next-generation geometry is a special partner of the LPP-RIMS AHGT network.
RIMS, Kyoto University Benjamin Collas
Lille University Pierre Dèbes
ENS Paris Ariane Mézard
Sorbonne University Emmanuel Lepage
Researchers Partners Germany Jakob Stix, Goethe-University Frankfurt
Japan Ochiai Tadashi, Tokyo Institute of Technology
